Contoh 1:

Anggap \(X_i \sim BIN (1,p)\). Tentukan estimator maksimum likelihoodnya (MLE).

Pembahasan:

Karena peubah acak \(X_i\) berdistribusi binomial dengan n = 1 atau disebut juga berdistribusi Bernoulli, maka fungsi kepadatan peluangnya yaitu

Untuk mencari estimator maksimum likelihood, kita ikuti beberapa langkah yang telah dijelaskan di atas, yakni

Langkah 1: Tentukan fungsi likelihood

Langkah 2: Tentukan \( \ln L(p) \)

Langkah 3: Maksimumkan fungsi \( \ln L(p) \)

Untuk memaksimumkan fungsi \( \ln L(p) \), kita mencari turunan pertamanya kemudian menyamakannya dengan nol. Setelah itu, kita selesaikan persamaan untuk mendapatkan estimator yang diinginkan.

Langkah 4: Tentukan \(\hat{p}\)

Jadi, estimator maksimum likelihood nya yaitu \(\hat{p}_{MLE} = \overline{x}\).

Contoh 2:

Anggap \(X_1, …, X_n\) adalah sampel acak dari distribusi eksponensial.

Tentukan \(\hat{θ}_{MLE}\).

Pembahasan:

Langkah 1: Tentukan fungsi likelihood

Langkah 2: Tentukan \( \ln L(θ) \)

Langkah 3: Maksimumkan fungsi \( \ln L(θ) \)

Untuk memaksimumkan fungsi \( \ln L(θ) \), kita mencari turunan pertamanya kemudian menyamakannya dengan nol. Setelah itu, kita selesaikan persamaan untuk mendapatkan estimator yang diinginkan.

Langkah 4: Tentukan \(\hat{θ}\)

Jadi, estimator maksimum likelihood nya yaitu \(\hat{\theta}_{MLE} = \overline{x}\).

Contoh 3:

Anggap \(X_1, …, X_n\) adalah random sampel dari distribusi normal dengan parameter \((θ_1, θ_2)\), yakni \( X_i \sim N(θ_1, θ_2) \). Tentukan \(\hat{θ}_1\) dan \(\hat{θ}_2\) dengan menggunakan metode maksimum likehood.

Pembahasan:

Fungsi kepadatan peluang dari distribusi normal dengan parameter \((θ_1, θ_2)\), yaitu

Langkah 1: Tentukan fungsi likelihood

Langkah 2: Tentukan \( \ln L(\theta_1,\theta_2) \)

Langkah 3: Maksimumkan fungsi \( \ln L(\theta_1,\theta_2) \)

Untuk memaksimumkan fungsi \( \ln L(\theta_1,\theta_2) \), kita mencari turunan pertama masing-masing terhadap \(\theta_1\) dan \(\theta_2\), kemudian menyamakannya dengan nol. Setelah itu, kita selesaikan persamaan untuk mendapatkan estimator yang diinginkan.

Dari hasil penghitungan diperoleh turunan pertama terhadap \(\theta_1\) dan terhadap \(\theta_2\), yaitu:

Dengan membuat kedua turunan ini sama dengan nol dan menyelesaikan ini secara simultan; akan diperoleh MLE bagi \(θ_1\) dan \(θ_2\) sebagai berikut:

Jadi, penduga maksimum likelihood bagi parameter \(\hat{θ}_1\) adalah \(\overline{x}\).

Jadi, penduga maksimum likelihood bagi parameter \(\hat{θ}_2\) adalah \( \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}{n}} \).