JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Statistika Matematika II » Kriteria Estimator yang Ideal › Efisiensi Relatif (Relative Efficiency)
efficiency

Efisiensi Relatif (Relative Efficiency)

Jika \(\hat{θ}_1\)dan \(\hat{θ}_2\) merupakan dua estimator tak bias (unbiased estimator) bagi parameter \(θ\) yang sama, kita lebih memilih menggunakan estimator dengan varians yang lebih kecil.


Oleh: Tju Ji Long · Statistisi

Adalah hal yang memungkinkan untuk memperoleh lebih dari satu estimator atau penduga tak bias untuk parameter populasi yang sama. Kita tahu bahwa jika \(\hat{θ}_1\)dan \(\hat{θ}_2\) merupakan dua estimator tak bias bagi parameter \(θ\) yang sama, kita lebih memilih menggunakan estimator dengan varians yang lebih kecil. Yakni, jika kedua estimator adalah tak bias, \(\hat{θ}_1\) secara relatif lebih efisien dibandingkan dengan \(\hat{θ}_2\) jika \(V(\hat{θ}_2)>V(\hat{θ}_1)\). Dalam kenyataannya, kita gunakan rasio \(V(\hat{θ}_2)/V(\hat{θ}_1)\) untuk mendefinisikan efisiensi relatif (relative efficiency) dari dua estimator yang tak bias.

Definisi: Efisiensi Relatif

Misalkan diketahui dua estimator tak bias \(\hat{θ}_1\) dan \(\hat{θ}_2\) bagi sebuah parameter \(θ\), masing-masing dengan varians \(V(\hat{θ}_1)\) dan \(V(\hat{θ}_2)\), maka efisiensi \(\hat{θ}_1\) relatif terhadap \(\hat{θ}_2\) yang dinotasikan dengan \(eff(\hat{θ}_1, \hat{θ}_2)\), didefinisikan dalam rasio berikut:

Gambar

Jika \(\hat{θ}_1\) dan \(\hat{θ}_2\)adalah estimator tak bias bagi \(θ\), maka efisiensi \(\hat{θ}_1\) relatif terhadap \(\hat{θ}_2\) \((eff(\hat{θ}_1, \hat{θ}_2))\) adalah lebih besar dari 1 hanya jika \(V(\hat{θ}_2)>V(\hat{θ}_1)\). Dalam kasus ini, \(\hat{θ}_1\) adalah estimator tak bias yang lebih baik dibandingkan dengan \(\hat{θ}_2\).

Sebagai contoh, jika \(eff(\hat{θ}_1, \hat{θ}_2)=1.8\), maka \(V(\hat{θ}_2)=(1.8) \ V(\hat{θ}_1)\), dan kita lebih memilih \(\hat{θ}_1\) daripada \(\hat{θ}_2\). Begitu pula, jika \(eff(\hat{θ}_1, \hat{θ}_2)\) lebih kecil dari 1, katakanlah 0.73, maka \(V(\hat{θ}_2)=(0.73) \ V(\hat{θ}_1)\) dan kita lebih memilih \(\hat{θ}_2\) daripada \(\hat{θ}_1\).

Sekarang mari kita perhatikan contoh lain yang melibatkan dua estimator berbeda bagi rata-rata populasi. Anggap bahwa kita ingin mengestimasi rata-rata dari suatu populasi yang berdistribusi normal. Misalkan \(\hat{θ}_1\) adalah median sampel dan \(\hat{θ}_2\) adalah rata-rata (mean) sampel. Meskipun pembuktian tidak diberikan di sini, tapi dapat kita tunjukkan bahwa varians dari median sampel untuk \(n\) besar adalah \(V(\hat{θ}_1)=(1.2533)^2 \ V(\hat{θ}_2) \cdot (σ^2/n) \).

Dengan demikian, efisiensi relatif median sampel terhadap mean sampel, yaitu:

Gambar

Oleh karena itu, kita bisa melihat bahwa varians dari mean sampel adalah mendekati 64% varians dari median sampel. Oleh karena itu, kita akan lebih memilih menggunakan mean sampel sebagai estimator bagi rata-rata atau mean populasi.

Contoh 1:

Misalkan \(Y_1,Y_2,…,Y_n\) menyatakan sampel acak dari distribusi uniform dengan interval \((0,θ)\). Diketahui dua estimator tak bias (unbiased estimator) bagi \(θ\) adalah

Gambar

di mana \(Y_{(n)}=\max⁡(Y_1,Y_2,…,Y_n)\). Carilah efisiensi relatif\(\hat{θ}_1\) terhadap\(\hat{θ}_2\).

Pembahasan:

Karena tiap \(Y_i\) mempunyai distribusi uniform pada interval \((0,θ)\), maka

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

Karena \(E(\hat{θ}_1)=θ\), maka \(\hat{θ}_1\) adalah estimator tak bias seperti klaim pada soal di atas. Selanjutnya, varians dari \(\hat{θ}_1\) yaitu

Gambar

Untuk mencari mean dan varians dari \(\hat{θ}_2\), ingat bahwa fungsi kepadatan peluang \(Y_{(n)}\) diberikan oleh:

Gambar

Oleh karena itu,

Gambar

Karena \(E(\hat{θ}_2)=θ\), maka \(\hat{θ}_2\) adalah estimator tak bias seperti klaim pada soal di atas. Untuk mendapatkan varians dari \(\hat{θ}_2\), kita perlu mencari \(V(Y_{(n)})\) terlebih dahulu, yakni:

Gambar

Selanjutnya, kita peroleh

Gambar

Dengan demikian, efisiensi \(\hat{θ}_1\) relatif terhadap \(\hat{θ}_2\) diberikan oleh:

Gambar

Efisiensi ini lebih kecil dari 1 jika \(n > 1\), yakni jika \(n > 1, \ \hat{θ}_2\) mempunyai varians lebih kecil daripada \(\hat{θ}_1\) sehingga secara umum \(\hat{θ}_2\) akan lebih dipilih sebagai estimator bagi \(θ\).

Artikel Terkait

At the touch of love everyone becomes a poet.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: