Statistika Matematika II   »   Estimasi Titik   ›   Metode Maksimum Likelihood (MLE): Distribusi Geometrik

Estimasi Titik

Metode Maksimum Likelihood (MLE): Distribusi Geometrik

Pada artikel ini kita akan menggunakan metode estimasi maksimum likelihood untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi geometrik.

---

Dalam statistika, dikenal beberapa metode estimasi parameter populasi seperti metode maksimum likelihood, metode bayesian, dan metode momen. Salah satu metode estimasi yang cukup populer dan sering diaplikasikan dalam berbagai penelitian yaitu metode maksimum likelihood. Gagasan dari metode ini yaitu mencari estimator atau penduga bagi parameter populasi yang dapat memaksimalkan fungsi likelihood.

Pada artikel ini kita akan menggunakan metode estimasi maksimum likelihood atau biasa disingkat metode mle (maximum likelihood estimation) untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi geometrik.

Misalkan \(X_1,…,X_n\) adalah sampel acak (random samples) dari populasi yang berdistribusi geometrik dengan parameter \(p\), yakni \(X_i \sim Geo(p)\). Dengan menggunakan metode maksimum likelihood atau metode mle, tentukan estimator atau penduga titik bagi parameter \(p\) yang tidak diketahui.

Pembahasan:

Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang (probability density function, pdf) dari distribusi geometrik dengan parameter \(p\), yaitu:

Untuk mencari estimator bagi parameter distribusi geometrik menggunakan metode mle, kita perlu tentukan dulu fungsi likelihoodnya, yakni:

Setelah itu, kita cari \(\ln \ L(p)\) yakni:

Selanjutnya yaitu memaksimumkan fungsi \(\ln \ L(p)\) yang diperoleh di atas dengan cara mencari turunan dari fungsi tersebut terhadap \(p\) dan menyamakan hasil turunan yang diperoleh dengan nol. Kemudian kita selesaikan persamaan untuk mendapatkan estimator yang diinginkan.

Jadi, berdasarkan metode maksimum likelihood, estimator atau penduga bagi paramater \(p\) dari suatu distribusi geometrik yaitu \(\hat{p}_{MLE} = 1/\bar{x} \).

Metode Estimasi Momen

Seperti sudah disinggung di awal bahwa metode estimasi lainnya dikenal dengan metode momen (method of moments estimation). Dengan menggunakan metode estimasi momen, kita peroleh estimator bagi parameter distribusi geometrik, yakni \(\hat{p}_{MM} = 1/\bar{x} \).

Dalam hal ini, baik metode momen maupun metode maksimum likelihood memberikan hasil estimator titik yang sama.

Cukup sekian penjelasan mengenai penggunaan metode MLE untuk mengestimasi parameter distribusi geometrik yang tidak diketahui. Semoga bermanfaat.