Statistika Matematika II   »   Kriteria Estimator yang Ideal   ›  Estimator (Penduga) Efisien

Estimator (Penduga) Efisien

Estimator atau penduga yang efisien artinya estimator tak bias yang mempunyai ragam atau varians paling kecil. Semakin kecil varians suatu estimator, maka estimator tersebut akan semakin efisien.

---

Sejauh ini kita telah membahas dua kriteria estimator atau penduga yang ideal yakni ketidakbiasan dan kekonsistenan. Sekarang kita lanjutkan untuk kriteria berikutnya yaitu efisiensi. Jika ada beberapa estimator yang tak bias, maka estimator yang mempunyai ragam atau varians terkecil merupakan estimator yang paling efisien. Dengan kata lain, semakin kecil varians suatu estimator yang tak bias, maka estimator tersebut akan semakin efisien.

Untuk memeriksa apakah suatu estimator dapat dikatakan efisien, ada beberapa istilah yang perlu dipahami terlebih dahulu yakni mengenai Batas Bawah Cramer Rao (Cramer Rao Lower Bound), Informasi Fisher atau Pertidaksamaan Fisher, dan Efisiensi Estimator.

Perhatikan bahwa \( I_n (θ) \) menyatakan Informasi Fisher untuk sampel acak berukuran \(n\) dan \( I_n (θ) = n \cdot I(θ) \) menyatakan bahwa Informasi Fisher untuk sampel acak berukuran \(n\) sama dengan \(n\) dikali dengan Informasi Fisher untuk pengamatan tunggal \( (I(θ)) \).

Jadi, estimator dikatakan efisien jika estimator tersebut tak bias dan variansnya minimum, yakni ketika varians dari estimator mencapai Batas Bawah Cramer-Rao (CRLB).

Berdasarkan penjelasan kita di atas, untuk menentukan apakah sebuah estimator termasuk estimator yang efisien, kita dapat melakukan beberapa langkah berikut:

1. Tentukan apakah estimator yang dihasilkan adalah tak bias, yakni \(E(\hat{θ})=θ\).
2. Carilah varians dari estimator, yakni \(Var(\hat{θ})\).
3. Tentukan nilai Informasi Fisher, yakni \[ I(θ) = - E \left[ \frac{\partial^2}{\partial θ^2} \ln f(x,θ) \right] \]
4. Tentukan nilai Batas Bawah Cramer Rao atau Cramer Rao Lower Bound (CRLB), yakni: \[ CRLB = \frac{ 1 }{n \cdot I(θ)} \]
5. Hitung nilai efisiensi bagi \( \hat{θ} \), yakni \[ e(\hat{θ}) = \frac{CRLB}{Var(\hat{θ})} \]
6. Kesimpulan: Jika \(e(\hat{θ})=1\), maka varians minimum yang artinya estimator yang dihasilkan adalah efisien. Akan tetapi, jika \(e(\hat{θ})≠1\), maka varians belum minimum atau estimator belum efisien bagi parameter \(θ\).

Cukup sekian penjelasan mengenai estimator atau penduga yang efisien dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Wackerly, Denis D., Mendenhall III, Wiliam., dan Scheaffer, Richard L. 2008. Mathematical Statistics with Applications. Belmont, CA: Thomson Learning, Inc.