Statistika Matematika II   »   Kriteria Estimator yang Ideal   ›  Estimator (Penduga) Konsisten

Consistency

Estimator (Penduga) Konsisten

Estimator yang konsisten artinya apabila ukuran sampel bertambah besar, maka varians estimator tersebut akan semakin kecil dan nilai estimator akan mendekati nilai parameternya.

---

Salah satu kriteria estimator atau penduga yang ideal bagi parameter populasi adalah kekonsistenan. Estimator yang konsisten artinya apabila ukuran sampel semakin bertambah besar, maka ragam atau varians estimator tersebut akan semakin kecil dan nilai estimator akan semakin mendekati nilai parameternya.

Konsistensi berkaitan dengan sifat asimtotis suatu estimator, yaitu menggambarkan sifat estimator ketika sampel semakin besar (increasing sample size). Untuk menentukan konsistensi suatu estimator, digunakan konsep barisan estimator (sequence estimator).

Untuk memberikan gambaran mengenai sifat estimator yang konsisten ini, perhatikan contoh kasus berikut. Misalkan sebuah koin dilempar sebanyak n kali dan mempunyai peluang sebesar \(p\) jika muncul bagian depan. Jika tiap lemparan bersifat independen, maka \(Y\), yakni jumlah bagian depan yang muncul di antara \(n\) lemparan, akan mengikuti distribusi binomial. Jika nilai sebenarnya dari \(p\) tidak diketahui, proporsi sampel \(Y/n\) merupakan estimator atau penduga bagi \(p\). Lalu apa yang terjadi dengan proporsi sampel ini ketika jumlah lemparan \(n\) meningkat?

Intuisi kita akan menuntun kita untuk percaya bahwa ketika \(n\) bertambah besar, \(Y/n\) seharusnya mendekati nilai \(p\) yang sebenarnya, yakni ketika jumlah informasi dalam sampel meningkat, estimator yang diperoleh seharusnya semakin dekat ke kuantitas parameter yang sedang diestimasi.

Gambar 1 mengilustrasikan sebuah barisan tunggal (single sequence) dari nilai \(\hat{p}=Y/n\) untuk 1000 percobaan Bernoulli ketika nilai \(p\) sebenarnya adalah 0.5. Perhatikan bahwa nilai \(\hat{p}\) memancul di sekitaran 0.5 ketika jumlah percobaan adalah kecil, tetapi mendekati dan sangat dekat dengan \(p = 0.5\) ketika jumlah percobaan meningkat.

Gambar 1. Barisan tunggal nilai \(\hat{p}=Y/n\) untuk 1000 percobaan Bernoulli

Barisan tunggal dari 1000 percobaan sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 1 memberikan nilai estimasi yang sangat mendekati nilai p sebenarnya \((p = 0.5)\) untuk \(n\) yang besar. Pertanyaannya adalah apakah barisan lainnya menunjukkan hasil yang sama? Gambar 2 menunjukkan hasil kombinasi dari 50 barisan berbeda dari nilai \(\hat{p}\) masing-masing dengan 1000 percobaan.

Gambar 2. 50 barisan berbeda dari nilai \(\hat{p}\) untuk 1000 percobaan Bernoulli

Perhatikan bahwa 50 barisan berbeda tersebut adalah tidak identik. Lebih tepatnya, Gambar 2 menunjukkan semacam adanya konvergensi ke nilai \(p\) sebenarnya, yakni \(p = 0.5\). Hal ini ditunjukkan oleh penyebaran nilai estimasi yang lebih luas untuk jumlah percobaan yang lebih kecil, tetapi penyebaran nilai estimasi yang jauh lebih sempit ketika jumlah percobaan lebih besar.

Bagaimana kita bisa secara teknis mengungkapkan jenis "konvergensi" yang ditunjukkan pada Gambar 2? Karena \(Y/n\) merupakan variabel acak, kita dapat menyatakan "kedekatan" ini dengan \(p\) dalam istilah probabilistik. Secara khusus, mari kita periksa probabilitas bahwa jarak antara estimator dan parameter target, \(|(Y/n)-p|\), akan kurang dari sembarang bilangan real positif, yakni

\[ P \left( \left| \frac{Y}{n} - p \right| \right) \leq \varepsilon \]

Gambar 2 tampaknya menunjukkan bahwa peluang ini akan meningkat ketika \(n\) bertambah besar. Jika intuisi kita benar dan \(n\) adalah besar, peluang ini harusnya mendekati 1. Jika peluang ini dalam kenyataannya memang mendekati 1 ketika \(n→∞\), maka kita katakan bahwa \(Y/n\) adalah penduga yang konsisten bagi \(p\), atau bahwa \(Y/n\) “konvergen dalam probabilitas ke \(p\)”.

Kita nyatakan hasil di atas dengan definisi lebih formal berikut. Perhatikan bahwa Kita akan menggunakan notasi \(\hat{θ}_n\) untuk menyatakan barisan estimator yang diperoleh berdasarkan sampel berukuran \(n\). Sebagai contoh, \(\bar{Y}_2\) adalah rata-rata dari dua observasi, sedangkan \(\bar{Y}_{100}\) adalah rata-rata dari 100 observasi. Jadi, ketika membahas sifat konsistensi dari suatu estimator, kita akan selalu menggunakan notasi ini.

Ada beberapa konsep penting yang perlu dipahami terkait kekonsistenan estimator, yakni konsep tentang estimator tak bias secara asimtotis (asymptotically unbiased estimator) dan mean square error (MSE).

Konsistensi dalam MSE berakibat bahwa Bias \( \hat{θ} \) dan varians \( \hat{θ} \) akan mendekati nol. Sehingga dapat dikatakan bahwa \( \hat{θ}_n \) adalah barisan estimator yang konsisten jika

Berdasarkan penjelasan kita di atas, untuk menentukan apakah suatu estimator bersifat konsisten, kita dapat lakukan beberapa langkah berikut:

1. Memerika apakah estimator yang dihasilkan merupakan estimator tak bias secara asimtotis, yakni apakah persamaan berikut terpenuhi:

\[ \lim_{x\to \infty} E \left( \hat \theta_n \right) = \theta \]

2. Memeriksa apakah varians \( \hat{θ}_n \) akan konvergen ke nol untuk \(n\) menuju tak hingga \((n→∞)\), yakni apakah persamaan berikut ini terpenuhi:

\[ \lim_{x\to \infty} Var \left( \hat \theta_n \right) = 0 \]

Untuk lebih jelasnya, mari kita perhatikan beberapa contoh soal berikut ini.

Cukup sekian penjelasan mengenai estimator atau penduga yang konsisten dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Wackerly, Denis D., Mendenhall III, Wiliam., dan Scheaffer, Richard L. 2008. Mathematical Statistics with Applications. Belmont, CA: Thomson Learning, Inc.