JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Statistika Matematika II » Kriteria Estimator yang Ideal › Estimator (Penduga) Tak Bias (Unbiased Estimator)
Unbiasedness

Estimator (Penduga) Tak Bias (Unbiased Estimator)

Sebuah estimator dari suatu parameter populasi dikatakan tidak bias (unbiased) jika nilai harapannya sama dengan nilai sebenarnya dari parameter populasi.


Oleh: Tju Ji Long · Statistisi

Sebuah estimator dari suatu parameter populasi dikatakan tidak bias (unbiased) jika nilai harapannya sama dengan nilai sebenarnya dari parameter populasi. Dengan kata lain, sebuah estimator dikatakan tidak bias jika ia menghasilkan estimasi parameter yang secara rata-rata benar.

Kita berikan definisinya secara lebih formal berikut ini.

Definisi:

Misalkan \(\hat{θ}\) adalah estimator titik bagi parameter \(θ\), maka \(\hat{θ}\) disebut estimator tak bias bagi \(θ\), jika \(E(\hat{θ})=θ\).

Definisi:

Bila \(\hat{θ}\) adalah estimator yang bias bagi parameter \(θ\), maka besarnya bias adalah

Gambar
Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut diberikan beberapa contoh soal dan pembahasan terkait sifat ketidakbiasan (unbiasedness) suatu estimator bagi parameter populasi.

Contoh 1:

Misal \(X_1, …,X_n\) adalah sampel acak (random sample) dari populasi yang berdistribusi Poisson dengan parameter \(θ\). Tentukan apakah estimator \(\hat{θ} = \overline{x} \) merupakan estimator yang tak bias bagi \(θ\).

Pembahasan:

Seperti sudah dijelaskan di atas bahwa untuk suatu estimator yang tak bias, maka \(E(\hat{θ})=θ\), sehingga kita peroleh

Gambar

Dengan demikian, karena \(E(\hat{θ})=θ\), maka \(\hat{θ} = \overline{x} \) adalah estimator yang tak bias bagi parameter \(θ\).

Contoh 2:

Misalkan \(X_1, …, X_n\) adalah sampel acak (random sample) dari populasi berdistribusi normal dengan rata-rata \(μ\) dan varians \(σ^2\). Tentukan apakah estimator bagi \(μ\) dan \(σ^2\) adalah estimator yang tak bias?

Pembahasan:

Dari metode momen atau metode maksimum likelihood, diperoleh estimator bagi \(μ\) dan \(σ^2\), yaitu:

Gambar

\(\bullet\) Memeriksa apakah \(\hat{μ} = \overline{x}\) adalah estimator yang tak bias bagi parameter \(μ\):

Gambar

Karena \(E(\hat{μ})=μ\), maka \(\hat{μ} = \overline{x} \) adalah estimator yang tak bias bagi parameter \(μ\).

\(\bullet\) Memeriksa apakah \(\hat{σ}^2 = \frac{\sum_\limits{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}{n}\) adalah estimator yang tak bias bagi parameter \(σ^2\):

Gambar

Karena \(E(\hat{σ}^2)≠σ^2\), maka \(\hat{σ}^2\) adalah estimator yang bias bagi \(σ^2\).

Note:

Gambar

Jika \(X_i \sim χ_v^2\), maka \(E(X)=v\) dan \(V(X)=2v\) sehingga,

Gambar

Contoh 3:

Misalkan \(X_1, …,X_n\) adalah sampel acak bebas (independent random sample) dari populasi yang berdistribusi uniform, yakni \(X_i \sim Uniform(θ-0,5;θ+0,5)\). Dengan menggunakan metode momen, tentukan estimator bagi parameter \(θ\) dan selidiki apakah estimator tersebut adalah tak bias.

Pembahasan:

Kita cari estimator untuk \( \theta \) terlebih dahulu menggunakan metode momen. Karena random sampel berdistribusi uniform, maka kita peroleh berikut ini.

Gambar

Selanjutnya, kita periksa apakah estimator yang kita peroleh adalah bias atau tidak.

Gambar

Karena \( E(\hat{\theta}) = \theta \) maka \( \hat{\theta} = \overline{x} \) merupakan estimator tak bias (unbiased estimator) bagi parameter \( \theta \).

Contoh 4:

Misalkan \(X_1, …,X_n\) adalah sampek acak bebas dari populasi berdistribusi geometrik \(Geo(θ); \ i =1,2,...,n\). Periksalah apakah \(\hat{θ} = 1/\overline{x}\) adalah estimator tak bias bagi parameter \( θ \).

Pembahasan:

Seperti sudah dijelaskan di atas bahwa untuk suatu estimator yang tak bias, maka \(E(\hat{θ})=θ\), sehingga kita peroleh

Gambar

Karena \( E(\hat{\theta}) = \theta \), maka \( \hat{\theta} = 1/\overline{x} \) merupakan estimator tak bias (unbiased estimator) bagi parameter \( \theta \).

Cukup sekian ulasan singkat mengenai estimator (penduga) tak bias (unbiased estimator) dalam artikel ini. Terima kasih telah membaca sampai selesai. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, boleh dibantu share ke teman-temannya, supaya mereka juga bisa belajar dari artikel ini.

Artikel Terkait

A life spent making mistakes is not only more honorable, but more useful than a life spent doing nothing.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: