Statistika Matematika II   »   Estimasi Titik   ›   Metode Maksimum Likelihood (MLE): Distribusi Poisson

Estimasi Titik

Metode Maksimum Likelihood (MLE): Distribusi Poisson

Pada artikel ini kita akan gunakan metode estimasi maksimum likelihood untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter distribusi Poisson.

---

Salah satu metode estimasi yang cukup populer dan sering diaplikasikan dalam berbagai penelitian yaitu metode maksimum likelihood. Gagasan dari metode ini yaitu mencari estimator atau penduga bagi parameter populasi yang dapat memaksimalkan fungsi likelihood.

Pada artikel ini kita akan menggunakan metode estimasi maksimum likelihood atau biasa disingkat metode mle (maximum likelihood estimation) untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi Poisson.

Misalkan $X_1,…,X_n$ adalah sampel acak (random samples) dari populasi yang berdistribusi Poisson dengan parameter $θ$, yakni $X_i \sim Poi(θ)$. Dengan menggunakan metode maksimum likelihood atau metode mle, tentukan estimator atau penduga titik bagi parameter $θ$ yang tidak diketahui.

Pembahasan:

Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang (probability density function, pdf) dari distribusi Poisson dengan parameter $θ$, yaitu:

Untuk mencari estimator bagi parameter distribusi Poisson menggunakan metode mle, kita perlu tentukan dulu fungsi likelihoodnya, yakni:

Setelah itu, kita cari $ln \ L(θ)$ yakni:

Selanjutnya yaitu memaksimumkan fungsi $ln \ L(θ)$ yang diperoleh di atas dengan cara mencari turunan dari fungsi tersebut terhadap $\theta$ dan menyamakan hasil turunan yang diperoleh dengan nol. Kemudian kita selesaikan persamaan untuk mendapatkan estimator yang diinginkan.

Jadi, berdasarkan metode maksimum likelihood, estimator atau penduga bagi paramater distribusi Poisson yaitu $\hat{θ}_{MLE} = \bar{x}$.

Metode estimasi parameter lainnya dikenal dengan metode momen (method of moments estimation). Dengan menggunakan metode momen, kita peroleh estimator bagi parameter distribusi Poisson, yakni $\hat{θ}_{MM} = \bar{x}$. Dalam hal ini, baik metode momen maupun metode maksimum likelihood memberikan hasil estimator titik yang sama.

Cukup sekian penjelasan mengenai penggunaan metode MLE untuk mengestimasi parameter distribusi Poisson yang tidak diketahui. Semoga bermanfaat.