Statistika Matematika II   »   Estimasi Titik   ›   Metode Moment: Distribusi Geometrik

Estimasi Titik

Metode Moment: Distribusi Geometrik

Pada artikel ini kita akan menggunakan metode momen untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter distribusi geometrik yang tidak diketahui.

---

Oleh: Tju Ji Long · Statistisi

Sebagaimana telah kita ketahui bahwa terdapat beberapa metode estimasi parameter populasi, misalnya metode maksimum likelihood, metode bayesian, dan metode momen. Pada artikel ini kita akan menggunakan metode momen (method of moments estimation) untuk memperoleh estimator bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi geometrik.

Misalkan \(X_1,…,X_n\) adalah sampel acak (random samples) dari populasi yang berdistribusi geometrik dengan parameter \(p\), yakni \(X_i \sim Geo(p)\). Dengan menggunakan metode momen, tentukan estimator atau penduga titik bagi parameter \(p\).

Pembahasan:

Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang (probability density function, pdf) dari distribusi geometrik dengan parameter \(p\), yaitu:

Untuk mencari estimator bagi parameter distribusi geometrik menggunakan metode momen, pertama kita perlu menentukan momen populasi dan momen sampel. Karena di sini hanya terdapat satu parameter populasi \(p\) yang akan diestimasi, maka kita hanya perlu mencari momen populasi pertama, yakni:

\[ μ_1' = E(X) = \frac{1}{p} \]

Adapun momen sampelnya yang bersesuaian, yaitu:

\[ M_1'= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \overline{x} \]

Dengan menyamakan momen populasi dengan momen sampel yang bersesuaian, dan menyelesaikan persamaan tersebut akan diperoleh estimator atau penduga bagi parameter \(p\), yakni:

\begin{align*} μ_1' &= M_1' \\[1em] \frac{1}{\hat{p}} &= \overline{x} \\[1em] \hat{p}_{MM} &= \frac{1}{\overline{x}} \end{align*}

Jadi, estimator atau penduga titik bagi parameter populasi yang berdistribusi geometrik berdasarkan metode momen yaitu \(\hat{p}_{MM} = 1/\bar{x}\).