www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Statistika Matematika II   »   Estimasi Titik   ›   Metode Moment: Distribusi Lognormal
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552
Estimasi Titik

Metode Moment: Distribusi Lognormal

Pada artikel ini kita akan menggunakan metode momen untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi lognormal.


Oleh: Tju Ji Long · Statistisi

Flag Counter
Flag Counter

Sebagaimana telah kita ketahui bahwa terdapat beberapa metode estimasi parameter populasi, misalnya metode maksimum likelihood, metode bayesian, dan metode momen. Pada artikel ini kita akan menggunakan metode estimasi momen (method of moments estimation) untuk memperoleh estimator bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi lognormal.

Misalkan \(X_1,…,X_n\) adalah sampel acak (random samples) dari populasi yang berdistribusi lognormal dengan parameter rata-rata \(μ\) dan varians \(σ^2\). Dengan menggunakan metode momen, tentukan estimator titik bagi parameter \(μ\) dan \(σ^2\).

Pembahasan:

Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang (probability density function, pdf) dari distribusi normal dengan parameter \(μ\) dan \(σ^2\), yaitu:

distribusi lognormal

Untuk mencari estimator bagi parameter \(μ\) dan \(σ^2\) dari suatu distribusi normal, pertama kita perlu tentukan momen populasi dan momen sampel. Karena di sini terdapat dua parameter populasi, yakni \(μ\) dan \(σ^2\) maka kita perlu mencari momen populasi dan momen sampel pertama dan kedua.

Momen populasi pertama dan keduanya, yaitu:

momen populasi distribusi lognormal

Adapun momen sampel pertama dan keduanya, yaitu:

\begin{align*} M_1' &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i =\overline{x} \\[1em] M_2' &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 \end{align*}

Dengan menyamakan momen populasi pertama dengan momen sampelnya yang bersesuaian, dan kemudian menyelesaikan persamaan tersebut akan diperoleh estimator bagi parameter \(μ\) yang diinginkan, yakni

metode momen distribusi lognormal

Begitu pula, dengan menyamakan momen populasi kedua dengan momen sampelnya yang bersesuaian akan diperoleh:

metode momen distribusi lognormal

Dengan menyamakan kedua \(\hat{\mu}\) yang kita peroleh di atas, kita dapatkan hasil berikut:

metode momen distribusi lognormal

Kemudian dengan substitusi \( \hat{\sigma}^2 \) di atas ke salah satu persamaan \(\hat{\mu}\), kita peroleh:

metode momen distribusi lognormal

Jadi, berdasarkan metode momen (method of moments, MM), estimator titik bagi parameter \(μ\) dan \(σ^2\) dari suatu populasi yang berdistribusi lognormal, yaitu:

metode momen distribusi lognormal
Artikel Terkait

Hard work beats talent when talent fails to work hard.