Statistika Matematika II   »   Estimasi Titik   ›   Metode Moment: Distribusi Lognormal

Estimasi Titik

Metode Moment: Distribusi Lognormal

Pada artikel ini kita akan menggunakan metode momen untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi lognormal.

---

Sebagaimana telah kita ketahui bahwa terdapat beberapa metode estimasi parameter populasi, misalnya metode maksimum likelihood, metode bayesian, dan metode momen. Pada artikel ini kita akan menggunakan metode estimasi momen (method of moments estimation) untuk memperoleh estimator bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi lognormal.

Misalkan \(X_1,…,X_n\) adalah sampel acak (random samples) dari populasi yang berdistribusi lognormal dengan parameter rata-rata \(μ\) dan varians \(σ^2\). Dengan menggunakan metode momen, tentukan estimator titik bagi parameter \(μ\) dan \(σ^2\).

Pembahasan:

Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang (probability density function, pdf) dari distribusi normal dengan parameter \(μ\) dan \(σ^2\), yaitu:

Untuk mencari estimator bagi parameter \(μ\) dan \(σ^2\) dari suatu distribusi normal, pertama kita perlu tentukan momen populasi dan momen sampel. Karena di sini terdapat dua parameter populasi, yakni \(μ\) dan \(σ^2\) maka kita perlu mencari momen populasi dan momen sampel pertama dan kedua.

Momen populasi pertama dan keduanya, yaitu:

Adapun momen sampel pertama dan keduanya, yaitu:

\begin{align*} M_1' &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i =\overline{x} \\[1em] M_2' &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 \end{align*}

Dengan menyamakan momen populasi pertama dengan momen sampelnya yang bersesuaian, dan kemudian menyelesaikan persamaan tersebut akan diperoleh estimator bagi parameter \(μ\) yang diinginkan, yakni

Begitu pula, dengan menyamakan momen populasi kedua dengan momen sampelnya yang bersesuaian akan diperoleh:

Dengan menyamakan kedua \(\hat{\mu}\) yang kita peroleh di atas, kita dapatkan hasil berikut:

Kemudian dengan substitusi \( \hat{\sigma}^2 \) di atas ke salah satu persamaan \(\hat{\mu}\), kita peroleh:

Jadi, berdasarkan metode momen (method of moments, MM), estimator titik bagi parameter \(μ\) dan \(σ^2\) dari suatu populasi yang berdistribusi lognormal, yaitu: