Statistika Matematika II   »   Estimasi Titik   ›   Metode Moment: Distribusi Gamma

Estimasi Titik

Metode Moment: Distribusi Gamma

Pada artikel ini kita akan menggunakan metode momen untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter distribusi gamma yang tidak diketahui.

---

Sebagaimana telah kita ketahui bahwa terdapat beberapa metode estimasi parameter populasi, misalnya metode maksimum likelihood, metode bayesian, dan metode momen. Pada artikel ini kita akan menggunakan metode momen (method of moments estimation) untuk memperoleh estimator bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi gamma.

Misalkan \(X_1,…,X_n\) adalah sampel acak (random samples) dari populasi yang berdistribusi gamma dengan parameter \(α\) dan \(β\), yakni \(X_i \sim Gamma(α,β)\). Dengan menggunakan metode momen, tentukan estimator atau penduga titik bagi parameter \(α\) dan \(β\).

Pembahasan:

Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang (probability density function, pdf) dari distribusi gamma dengan parameter \(α\) dan \(β\), yaitu:

Untuk mencari estimator bagi parameter \(α\) dan \(β\) dari suatu distribusi gamma, pertama kita perlu tentukan momen populasi dan momen sampel. Karena di sini terdapat dua parameter populasi, yakni \(α\) dan \(β\) maka kita perlu mencari momen populasi dan momen sampel pertama dan kedua.

Momen populasi pertama dan keduanya, yaitu:

Adapun momen sampel pertama dan keduanya, yaitu:

Dengan menyamakan momen populasi pertama dengan momen sampel yang bersesuaian, dan kemudian menyelesaikan persamaan tersebut akan diperoleh estimator bagi parameter \(β\), yakni

Dengan menyamakan momen populasi kedua dan momen sampel yang bersesuaian, dan substitusi \(\hat{β}=\bar{x}/\hat{α}\), diperoleh estimator bagi \(α\), yakni:

Terakhir, substitusi \(\hat{α}\) ke persamaan \(\hat{β}=\bar{x}/\hat{α}\), sehingga diperoleh:

Jadi, estimator titik bagi parameter \(α\) dan \(β\) dari suatu populasi yang berdistribusi gamma yaitu