Statistika Matematika II   »   Estimasi Titik   ›   Metode Moment: Distribusi Eksponensial

Estimasi Titik

Metode Moment: Distribusi Eksponensial

Pada artikel ini kita akan menggunakan metode momen untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter distribusi eksponensial yang tidak diketahui.

Sebagaimana telah kita ketahui bahwa terdapat beberapa metode estimasi parameter populasi, misalnya metode maksimum likelihood, metode bayesian, dan metode momen. Pada artikel ini kita akan menggunakan metode momen (method of moments estimation) untuk memperoleh estimator bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi eksponensial.

Baca juga:

Metode momen: Materi, contoh soal dan pembahasan

Distribusi eksponensial

Misalkan \(X_1,…,X_n\) adalah sampel acak (random samples) dari populasi yang berdistribusi eksponensial dengan parameter \(θ\), yakni \(X_i \sim EXP(θ)\). Dengan menggunakan metode momen, tentukan estimator atau penduga titik bagi parameter \(θ\).

Pembahasan:

Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang (probability density function, pdf) dari distribusi eksponesial dengan parameter \(θ\), yaitu:

\[ f(x;θ) = \begin{cases} \frac{1}{θ} e^{-x/θ}, &\quad x > 0, \ θ > 0 \\[1em] 0, &\quad x \ \text{lainnya} \end{cases} \]

Untuk mencari estimator bagi parameter distribusi eksponensial menggunakan metode momen \((\hat{θ}_{MM})\), pertama kita perlu menentukan momen populasi dan momen sampel. Karena di sini hanya terdapat satu parameter populasi \(θ\), maka kita hanya perlu mencari momen populasi pertama, yakni:

\[ μ_1' = E(X) = θ \]

Adapun momen sampelnya yang bersesuaian, yaitu:

\[ M_1'= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \overline{x} \]

Dengan menyamakan momen populasi dengan momen sampel yang bersesuaian, dan menyelesaikan persamaan tersebut akan diperoleh estimator bagi parameter \(θ\), yakni:

\begin{align*} μ_1' &= M_1' \\[1em] \hat{θ}_{MM} &= \overline{x} \end{align*}

Jadi, estimator atau penduga titik bagi parameter distribusi eksponesial berdasarkan metode momen yaitu \(\hat{θ}_{MM} = \bar{x}\).