Statistika Matematika II   »   Estimasi Titik   ›   Metode Moment: Distribusi Binomial

Estimasi Titik

Metode Moment: Distribusi Binomial

Pada artikel ini kita akan menggunakan metode momen untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter distribusi binomial yang tidak diketahui.

---

Sebagaimana telah kita ketahui bahwa terdapat beberapa metode estimasi parameter populasi, misalnya metode maksimum likelihood, metode bayesian, dan metode momen. Pada artikel ini kita akan menggunakan metode momen (method of moments estimation) untuk memperoleh estimator bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi binomial.

Misalkan \(X_1,…,X_k\) adalah sampel acak (random samples) dari populasi yang berdistribusi binomial dengan parameter \(n\) dan \(p\), yakni \(X_i \sim Bin(n, p)\). Dengan menggunakan metode momen, tentukan estimator atau penduga titik bagi parameter \(n\) dan \(p\) yang tidak diketahui.

Pembahasan:

Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang (probability density function, pdf) dari distribusi binomial dengan parameter \(n\) dan \(p\), yaitu:

Untuk mencari estimator bagi parameter \(n\) dan \(p\) dari suatu distribusi binomial, pertama kita perlu tentukan momen populasi dan momen sampel. Karena di sini terdapat dua parameter populasi yang tak diketahui, yakni \(n\) dan \(p\) maka kita perlu mencari momen populasi dan momen sampel pertama dan kedua.

Momen populasi pertama dan keduanya, yaitu:

Adapun momen sampel pertama dan keduanya, yaitu:

Dengan menyamakan momen populasi pertama dengan momen sampelnya yang bersesuaian, dan kemudian menyelesaikan persamaan tersebut akan diperoleh estimator bagi parameter \(p\) yang diinginkan, yakni

Begitu pula, samakan momen populasi kedua dengan momen sampelnya yang bersesuaian, dan substitusi \( \hat{p} = \overline{x}/\hat{n} \) yang diperoleh di atas, sehingga diperoleh:

Ingat bahwa:

Sehingga kita dapat tuliskan bahwa:

Selanjutnya, substitusi \(\hat{n}\) yang kita peroleh di atas ke persamaan \( \hat{p} = \overline{x}/\hat{n} \), sehingga diperoleh

Jadi, berdasarkan metode momen (method of moments, MM), estimator titik bagi parameter \(p\) dan \(n\) dari suatu populasi yang berdistribusi binomial, yaitu: