Statistika Matematika II   »   Estimasi Titik   ›   Metode Moment: Distribusi Pareto

Estimasi Titik

Metode Moment: Distribusi Pareto

Pada artikel ini kita akan menggunakan metode momen untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi Pareto.

---

Sebagaimana telah kita ketahui bahwa terdapat beberapa metode estimasi parameter populasi, misalnya metode maksimum likelihood, metode bayesian, dan metode momen. Pada artikel ini kita akan menggunakan metode estimasi momen (method of moments estimation) untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi Pareto.

Misalkan \(X_1,X_2,…,X_n\) adalah sampel acak bebas dari distribusi Pareto dengan parameter \(α\) dan \(θ\), yakni \(X_i \sim Pa(α,θ)\) di mana \(α>0\) dan \(θ>2\). Gunakan metode momen untuk mencari estimator atau penduga bagi \(α\) dan \(θ\).

Pembahasan:

Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang (probability density function, pdf) dari distribusi Pareto dengan parameter \(α>0\) dan \(θ>2\), yaitu:

Untuk mencari estimator bagi parameter \(α\) dan \(θ\), pertama kita perlu tentukan momen populasi dan momen sampel. Karena di sini terdapat dua parameter populasi yang akan diestimasi, yakni \(α\) dan \(θ\), maka kita perlu mencari momen populasi dan momen sampel pertama dan kedua.

Momen populasi pertama dan keduanya, yaitu:

Adapun momen sampel pertama dan keduanya, yaitu:

Dengan menyamakan momen populasi pertama dengan momen sampelnya yang bersesuaian, dan kemudian menyelesaikan persamaan tersebut akan diperoleh estimator bagi parameter \(α\) yang diinginkan, yakni

Begitu pula, dengan menyamakan momen populasi kedua dengan momen sampelnya yang bersesuaian dan substitusi \(\hat{\alpha}\) yang diperoleh di atas, dan menyelesaikan persamaan tersebut sehingga kita dapatkan:

Persamaan ini dapat disederhanakan sehingga menjadi:

Dengan memisalkan bahwa:

Sehingga diperoleh:

Perhatikan bahwa persamaan di atas merupakan suatu persamaan kuadrat. Kita tahu bahwa bentuk umum suatu persamaan kuadrat dengan peubah acak \(x\), yaitu:

di mana \(a\) adalah koefisien dari \(x^2\), \(b\) adalah koefisien dari \(x\), dan \(c\) adalah suatu konstanta. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat atau mencari nilai \(x\) yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut, kita bisa gunakan rumus \(abc\) yang diberikan oleh:

Dengan demikian, berdasarkan bentuk umum persamaan kuadrat di atas, maka persamaan yang kita peroleh sebelumnya merupakan persamaan kuadrat dengan variabelnya yaitu \(\hat{θ}\) dan koefisien-koefisiennya yaitu \(a = p, \ b = -2p\), dan \(c = -q\), sehingga untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut atau mencari nilai estimator \(\hat{θ}\), kita gunakan rumus abc, yakni:

Ingat bahwa di awal kita memisalkan

Sehingga, kita tuliskan kembali hasil yang kita peroleh di atas menjadi:

Perhatikan bahwa karena \(θ>2\), maka kita peroleh estimator atau penduga \(\hat{θ}\) yang unik, yakni:

Selanjutnya, dengan substitusi \(\hat{θ}_{MM}\) ke persamaan berikut, kita peroleh:

Jadi, berdasarkan metode momen (method of moments, MM), estimator atau penduga titik bagi parameter \(α\) dan \(θ\) pada distribusi Pareto, yaitu: