Statistika Matematika II   »   Estimasi Titik   ›   Metode Maksimum Likelihood (MLE): Distribusi Cauchy

Estimasi Titik

Metode Maksimum Likelihood (MLE): Distribusi Cauchy

Pada artikel ini, kita akan menggunakan metode estimasi maksimum likelihood untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter distribusi Cauchy.

---

Salah satu metode estimasi yang cukup populer dan sering diaplikasikan dalam berbagai penelitian yaitu metode maksimum likelihood. Gagasan dari metode ini yaitu mencari estimator atau penduga bagi parameter populasi yang dapat memaksimalkan fungsi likelihood.

Pada artikel ini kita akan menggunakan metode estimasi maksimum likelihood atau biasa disingkat metode mle (maximum likelihood estimation) untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi Cauchy.

Misalkan \(X_1,…,X_n\) adalah sampel acak (random samples) dari suatu populasi yang berdistribusi Cauchy dengan parameter \(β\). Carilah MLE atau estimator maksimum likelihood (maximum likelihood estimators) bagi parameter \(β\) yang tidak diketahui.

Pembahasan:

Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang (probability density function, pdf) dari distribusi Cauchy dengan parameter \(β\), yaitu:

Untuk mencari MLE bagi parameter distribusi Cauchy, kita perlu tentukan dulu fungsi likelihoodnya, yakni:

Setelah itu, kita cari \(ln \ L(\beta)\) yakni:

Selanjutnya yaitu memaksimumkan fungsi \(ln \ L(\beta)\) yang diperoleh di atas dengan cara mencari turunan dari fungsi tersebut dan menyamakan hasil turunan dengan nol. Kemudian kita selesaikan persamaan untuk mendapatkan estimator yang diinginkan.

Perhatikan bahwa kita tidak dapat menyelesaikan persamaan tersebut secara langsung untuk mendapatkan estimator \(\hat{\beta}\) karena masih dalam bentuk persamaan implisit. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut atau mencari nilai estimator \(\hat{\beta}\), kita dapat gunakan pendekatan numerik, misalnya menggunakan metode Newton-Raphson untuk memperoleh nilai estimasinya.