www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga


Kita telah mempelajari sejumlah uji untuk menentukan konvergensi suatu deret tak hingga. Ada 10 uji yang telah kita pelajari, yakni

  1. Uji Divergen (Divergent Test)
  2. Uji Deret-P (P-Series Test)
  3. Uji Integral (Integral Test)
  4. Uji Banding (Comparison Test)
  5. Uji Banding Limit (Limit Comparison Test)
  6. Uji Rasio (Ratio Test)
  7. Uji Akar (Root Test)
  8. Uji Deret Ganti Tanda (Alternating Series Test)
  9. Uji Konvergen Mutlak (Absolutely Convergent Test)
  10. Uji Konvergen Bersyarat (Conditionally Convergent Test)

Pada artikel ini kita akan memperdalam pemahaman terkait uji konvergensi yang telah dipelajari di atas dengan mengerjakan contoh-contoh soal yang sering keluar.

Contoh Soal Uji Divergen

Perhatikan definisi dari Uji Divergen berikut ini.

Uji Divergen

Misalkan kita mempunyai deret \( \sum a_n \).

  1. Jika \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n \neq 0 \), maka \(\displaystyle \sum a_n \) divergen.
  2. Jika \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n = 0 \), maka \(\displaystyle \sum a_n \) bisa konvergen atau divergen; belum dapat disimpulkan (ganti uji yang lain).
  3. Jika deret \(\displaystyle \sum a_n \) konvergen, maka \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n = 0 \).
Contoh 1:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n^2-1}{n^2+n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Kita cari limit berikut:

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \ a_n &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{n^2-1}{n^2+n} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{1 - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}} \\[8pt] &= 1 \neq 0 \end{aligned}

Karena hasil limit tidak sama dengan nol maka menurut Uji Divergen, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n^2-1}{n^2+n}\) divergen.

Contoh 2:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{1+n^2}} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Kita cari limit berikut:

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \ a_n &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{1}{\sqrt{1+n^2}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{1}{\sqrt{1+n^2}} \cdot \frac{1/n}{1/n} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{1/n}{\sqrt{\frac{1}{n^2}} \cdot \sqrt{1+n^2}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{1/n}{\sqrt{\frac{1}{n^2}+1}} \neq 0 \\[8pt] &= \frac{0}{1} = 0 \end{aligned}

Karena hasil limit sama dengan nol maka menurut Uji Divergen, kita tidak bisa menentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n^2-1}{n^2+n}\) konvergen atau divergen.

Contoh Soal Uji Deret-p

Perhatikan definisi dari Uji Deret-p berikut ini.

Uji Deret-P

Misalkan terdapat deret berikut:

\begin{aligned} \sum_{k=1}^\infty \ \frac{1}{k^p} = 1 + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \frac{1}{4^p} + \cdots \end{aligned}

Deret di atas disebut deret-p dan konvergen jika \(p > 1\) dan divergen untuk \(0 < p \leq 1\).

Contoh 3:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{k^2}} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa

\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[3]{k^2}} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2/3}} \]

Karena \(p = \frac{2}{3} < 1\), maka berdasarkan uji deret-p, deret dalam soal ini adalah divergen.

Contoh 4:

Tentukan apakah deret \(\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty} k^{-4/3} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa

\[ \sum_{k=1}^\infty k^{-4/3} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{4/3}} \]

Karena \(p = \frac{4}{3} > 1\), maka berdasarkan uji deret-p, deret dalam soal ini adalah konvergen.

Contoh Soal Uji Integral

Perhatikan definisi dari Uji Integral berikut ini.

Uji Integral

Andaikan \(f\) adalah fungsi yang kontinu, positif dan turun pada selang \([k, ∞]\). Andaikan \(f(n) = a_n\) untuk semua \(n\) positif bulat.

  1. Jika \( \int_k^\infty f(x) \ dx \) adalah konvergen maka \( \displaystyle{\sum_{n=k}^\infty} a_n \) juga konvergen.
  2. Jika \( \int_k^\infty f(x) \ dx \) adalah divergen maka \( \displaystyle{\sum_{n=k}^\infty} a_n \) juga divergen.
Contoh 5:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n^2+1} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Kita cari integral berikut ini:

\begin{aligned} \int_1^\infty \frac{1}{x^2+1} \ dx &= \lim_{t \to \infty} \ \int_1^t \frac{1}{x^2+1} \ dx \\[8pt] &= \lim_{t \to \infty} \left[ \tan^{-1} x \right]_1^t \\[8pt] &= \lim_{t \to \infty} \left[ \tan^{-1} t - \tan^{-1} 1 \right] \\[8pt] &= \lim_{t \to \infty} \tan^{-1} t - \frac{\pi}{4} \\[8pt] &= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \end{aligned}

Karena hasil integral ini konvergen ke suatu bilangan terbatas yakni \( \frac{\pi}{4} \), maka deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n^2+1} \) juga akan konvergen.

Contoh 6:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \ \frac{1}{n \ln n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Kita cari integral berikut ini:

\begin{aligned}\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x} \ dx & = \lim_{t \to \infty } \int_{2}^{t}{{\frac{1}{{x\ln x}}\,dx}} \\[8pt] & = \lim_{t \to \infty } \left[ \ln(\ln x) \right]_2^t \\[8pt] & = \lim_{t \to \infty } \left[ \ln(\ln t) - \ln(\ln 2) \right] \\[8pt] &= \infty \end{aligned}

Karena hasil integral ini adalah tak hingga yang artinya divergen, maka deret \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \ \frac{1}{n \ln n} \) juga divergen.

Contoh Soal Uji Banding

Perhatikan definisi dari Uji Banding berikut ini.

Uji Banding Biasa (Comparison Test)

Misalkan \(∑ a_n\) dan \(∑ b_n\) adalah deret dengan suku-suku yang tak negatif dan andaikan

Gambar
  1. Jika deret yang lebih besar \(∑ b_n\) konvergen, maka deret yang lebih kecil \(∑ a_n\) juga konvergen (tidak berlaku sebaliknya).
  2. Jika deret yang lebih kecil \(∑ a_n\) divergen, maka deret yang lebih besar \(∑ b_n\) juga divergen (tidak berlaku sebaliknya).
Contoh 7:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n+1} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa \( \displaystyle \frac{2^n}{3^n+1}\) mirip dengan \( \displaystyle \frac{2^n}{3^n} \) untuk \(n\) yang besar sehingga kita akan gunakan \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n}\) sebagai deret pembanding.

Selain itu, karena \( \displaystyle \frac{2^n}{3^n+1} \leq \frac{2^n}{3^n} \) untuk setiap bilangan asli positif \(n\) dan \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2}{3} \right)^n \) merupakan deret geometri yang konvergen karena \(|r| = 2/3 < 1\), maka menurut Uji Banding, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n+1} \) juga konvergen.

Contoh 8:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{2+3^n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Contoh Soal Uji Banding Limit

Perhatikan definisi dari Uji Banding Limit berikut ini.

Uji Banding Limit (Limit Comparison Test)

Misalkan kita mempunyai dua deret \(\sum a_n\) dan \(\sum b_n\). Andaikan bahwa \( a_n \geq 0 \) dan \( b_n > 0 \) untuk setiap \(n\) dan

\[ L = \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \frac{a_n}{b_n} \]

Apabila \( 0 < L < \infty \) maka \( \sum a_n \) dan \( \sum b_n \) bersama-sama akan konvergen atau divergen. Apabila \(L = 0\) dan \( \sum b_n \) konvergen, maka \( \sum a_n \) konvergen.

Contoh 9:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n-n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Untuk menggunakan uji banding limit kita perlu mencari deret kedua sebagai pembanding yang bisa kita tentukan konvergensinya dengan mudah. Selain itu, limit dari perbandingan deret asli dengan deret pembandingnya juga mudah dihitung.

Perhatikan bahwa \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n-n} \) mirip dengan \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n} \) sehingga deret pembandingnya \(b_n = \frac{1}{3^n}\). Dengan demikian,

\begin{aligned} L &= \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{3^n-n}}{\frac{1}{3^n}} \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \frac{3^n}{3^n - n} \\[8pt] &= 1 \end{aligned}

Karena \(L\) adalah bilangan yang positif dan terbatas, dan deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n} \) konvergen, maka menurut Uji Banding Limit, deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n-n} \) juga konvergen.

Contoh 10:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{4^n}{2^n + 3^n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa \( \displaystyle \frac{4^n}{2^n + 3^n} \) mirip dengan \( \displaystyle \frac{4^n}{3^n} \) untuk n yang besar sehingga kita akan gunakan deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{4^n}{3^n}\) sebagai perbandingan.

Dengan demikian, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} L &= \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{4^n}{2^n + 3^n}}{\frac{4^n}{3^n} } \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \frac{3^n}{2^n + 3^n} \\[8pt] &= 1 \end{aligned}

Karena hasil limit adalah positif dan terbatas, yakni \(0 < 1 < \infty\), maka deret kita dapat diperbandingkan. Kita tahu deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{3^n} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{4}{3} \right)^n \) merupakan deret geometri yang divergen karena \(|r| = 4/3 > 1\), sehingga menurut Uji Banding Limit, deret \( \displaystyle \frac{4^n}{2^n + 3^n} \) juga divergen.

Contoh Soal Uji Rasio

Perhatikan definisi dari Uji Rasio berikut ini.

Uji Rasio atau Uji Hasil Bagi

Andaik \(∑a_n\) sebuah deret yang sukunya positif dan andaikan

\[\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \frac{a_{n+1}}{a_n}\]

  1. Jika \(ρ<1\) deret konvergen.
  2. Jika \(ρ>1\) atau \(\infty \) deret divergen
  3. Jika \(ρ=1\), deret bisa konvergen atau divergen (pengujian ini tidak memberikan kepastian).
Contoh 11:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{n!}{5^n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Kita cari limit berikut ini:

\begin{aligned} L &= \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{\frac{{(n+1)}!}{5^{n+1}}}{\frac{n!}{5^n}} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \left|\frac{{(n+1)} \ n!}{5^n \cdot 5} \times \frac{5^n}{n!} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \frac{n+1}{5} \\[8pt] &= \infty \end{aligned}

Karena \( L = \infty > 1 \), maka menurut Uji Rasio Mutlak, deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{n!}{5^n} \displaystyle \) divergen.

Contoh 12:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^n \ \frac{n^3}{3^n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

Kita cari limit berikut ini:

\begin{aligned} L &= \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \left| \ \frac{(-1)^{n+1} \ \frac{{(n+1)}^3}{3^{n+1}}}{\ (-1)^n \ \frac{n^3}{3^n}} \right| \\[8pt] &= \lim_{n\to \infty} \ \left| \frac{{(n+1)}^3}{3^n \cdot 3} \times \frac{3^n}{n^3} \right| = \lim_{n\to \infty} \ \frac{(n+1)^3}{3 \cdot n^3} \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \lim_{n\to \infty} \ \left( \frac{n+1}{n} \right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \lim_{n\to \infty} \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^3 \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \end{aligned}

Karena \( L = 1/3 < 1 \), maka menurut Uji Rasio, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^n \ \frac{n^3}{3^n} \) konvergen.

Contoh Soal Uji Akar

Perhatikan definisi dari Uji Akar berikut ini.

Uji Akar (Root Test)

Misalkan kita mempunyai deret \(∑ a_n\) dan anggap bahwa

\begin{aligned} L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} &= \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \end{aligned}

Maka kita peroleh berikut ini:

  1. Jika \(L < 1\), deret tersebut konvergen multak dan karena itu konvergen.
  2. Jika \(L > 1\), deret tersebut divergen
  3. Jika \(L = 1\), deret tersebut bisa saja divergen, konvergen bersyarat, atau konvergen mutlak. Dengan kata lain, kita tidak bisa menarik kesimpulan mengenai kekonvergenan deret tersebut.
Contoh 13:

Dengan menggunakan Uji Akar, tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \\[8pt] &= 1 + \frac{1}{\infty} = 1 + 0 = 1 \end{aligned}

Karena \(L = 1\), maka menurut Uji Akar, tidak tersedia informasi mengenai kekonvergenan deret. Dengan kata lain, kita tidak bisa menyimpulkan apakah deret tersebut adalah konvergen atau divergen.

Contoh 14:

Dengan menggunakan Uji Akar, tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan:

\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e \end{aligned}

Karena \(L = e > 1\), maka menurut Uji Akar, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} \) divergen.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.