Kita telah mempelajari sejumlah uji untuk menentukan konvergensi suatu deret tak hingga. Ada 10 uji yang telah kita pelajari, yakni
Pada artikel ini kita akan memperdalam pemahaman terkait uji konvergensi yang telah dipelajari di atas dengan mengerjakan contoh-contoh soal yang sering keluar.
Perhatikan definisi dari Uji Divergen berikut ini.
Uji Divergen
Misalkan kita mempunyai deret \( \sum a_n \).
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n^2-1}{n^2+n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Kita cari limit berikut:
Karena hasil limit tidak sama dengan nol maka menurut Uji Divergen, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n^2-1}{n^2+n}\) divergen.
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{1+n^2}} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Kita cari limit berikut:
Karena hasil limit sama dengan nol maka menurut Uji Divergen, kita tidak bisa menentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n^2-1}{n^2+n}\) konvergen atau divergen.
Perhatikan definisi dari Uji Deret-p berikut ini.
Uji Deret-P
Misalkan terdapat deret berikut:
Deret di atas disebut deret-p dan konvergen jika \(p > 1\) dan divergen untuk \(0 < p \leq 1\).
Tentukan apakah deret \( \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{k^2}} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[3]{k^2}} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2/3}} \]
Karena \(p = \frac{2}{3} < 1\), maka berdasarkan uji deret-p, deret dalam soal ini adalah divergen.
Tentukan apakah deret \(\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty} k^{-4/3} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
\[ \sum_{k=1}^\infty k^{-4/3} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{4/3}} \]
Karena \(p = \frac{4}{3} > 1\), maka berdasarkan uji deret-p, deret dalam soal ini adalah konvergen.
Perhatikan definisi dari Uji Integral berikut ini.
Uji Integral
Andaikan \(f\) adalah fungsi yang kontinu, positif dan turun pada selang \([k, ∞]\). Andaikan \(f(n) = a_n\) untuk semua \(n\) positif bulat.
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n^2+1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Kita cari integral berikut ini:
Karena hasil integral ini konvergen ke suatu bilangan terbatas yakni \( \frac{\pi}{4} \), maka deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n^2+1} \) juga akan konvergen.
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \ \frac{1}{n \ln n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Kita cari integral berikut ini:
Karena hasil integral ini adalah tak hingga yang artinya divergen, maka deret \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \ \frac{1}{n \ln n} \) juga divergen.
Perhatikan definisi dari Uji Banding berikut ini.
Uji Banding Biasa (Comparison Test)
Misalkan \(∑ a_n\) dan \(∑ b_n\) adalah deret dengan suku-suku yang tak negatif dan andaikan
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n+1} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa \( \displaystyle \frac{2^n}{3^n+1}\) mirip dengan \( \displaystyle \frac{2^n}{3^n} \) untuk \(n\) yang besar sehingga kita akan gunakan \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n}\) sebagai deret pembanding.
Selain itu, karena \( \displaystyle \frac{2^n}{3^n+1} \leq \frac{2^n}{3^n} \) untuk setiap bilangan asli positif \(n\) dan \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2}{3} \right)^n \) merupakan deret geometri yang konvergen karena \(|r| = 2/3 < 1\), maka menurut Uji Banding, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n+1} \) juga konvergen.
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{2+3^n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Perhatikan definisi dari Uji Banding Limit berikut ini.
Uji Banding Limit (Limit Comparison Test)
Misalkan kita mempunyai dua deret \(\sum a_n\) dan \(\sum b_n\). Andaikan bahwa \( a_n \geq 0 \) dan \( b_n > 0 \) untuk setiap \(n\) dan
\[ L = \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \frac{a_n}{b_n} \]
Apabila \( 0 < L < \infty \) maka \( \sum a_n \) dan \( \sum b_n \) bersama-sama akan konvergen atau divergen. Apabila \(L = 0\) dan \( \sum b_n \) konvergen, maka \( \sum a_n \) konvergen.
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n-n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Untuk menggunakan uji banding limit kita perlu mencari deret kedua sebagai pembanding yang bisa kita tentukan konvergensinya dengan mudah. Selain itu, limit dari perbandingan deret asli dengan deret pembandingnya juga mudah dihitung.
Perhatikan bahwa \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n-n} \) mirip dengan \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n} \) sehingga deret pembandingnya \(b_n = \frac{1}{3^n}\). Dengan demikian,
Karena \(L\) adalah bilangan yang positif dan terbatas, dan deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n} \) konvergen, maka menurut Uji Banding Limit, deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{1}{3^n-n} \) juga konvergen.
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{4^n}{2^n + 3^n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa \( \displaystyle \frac{4^n}{2^n + 3^n} \) mirip dengan \( \displaystyle \frac{4^n}{3^n} \) untuk n yang besar sehingga kita akan gunakan deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{4^n}{3^n}\) sebagai perbandingan.
Dengan demikian, kita peroleh berikut:
Karena hasil limit adalah positif dan terbatas, yakni \(0 < 1 < \infty\), maka deret kita dapat diperbandingkan. Kita tahu deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{3^n} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{4}{3} \right)^n \) merupakan deret geometri yang divergen karena \(|r| = 4/3 > 1\), sehingga menurut Uji Banding Limit, deret \( \displaystyle \frac{4^n}{2^n + 3^n} \) juga divergen.
Perhatikan definisi dari Uji Rasio berikut ini.
Uji Rasio atau Uji Hasil Bagi
Andaik \(∑a_n\) sebuah deret yang sukunya positif dan andaikan
\[\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \frac{a_{n+1}}{a_n}\]
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{n!}{5^n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Kita cari limit berikut ini:
Karena \( L = \infty > 1 \), maka menurut Uji Rasio Mutlak, deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{n!}{5^n} \displaystyle \) divergen.
Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^n \ \frac{n^3}{3^n} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Kita cari limit berikut ini:
Karena \( L = 1/3 < 1 \), maka menurut Uji Rasio, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^n \ \frac{n^3}{3^n} \) konvergen.
Perhatikan definisi dari Uji Akar berikut ini.
Uji Akar (Root Test)
Misalkan kita mempunyai deret \(∑ a_n\) dan anggap bahwa
\begin{aligned} L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} &= \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \end{aligned}
Maka kita peroleh berikut ini:
Dengan menggunakan Uji Akar, tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Karena \(L = 1\), maka menurut Uji Akar, tidak tersedia informasi mengenai kekonvergenan deret. Dengan kata lain, kita tidak bisa menyimpulkan apakah deret tersebut adalah konvergen atau divergen.
Dengan menggunakan Uji Akar, tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} \) konvergen atau divergen.
Pembahasan:
Karena \(L = e > 1\), maka menurut Uji Akar, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} \) divergen.
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.