Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen Matematika SMA

Bahas Soal Matematika » Pertidaksamaan › Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen Matematika SMA

Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen Matematika SMA

Bentuk pertidaksamaan yang kadang sulit dipahami sebagian siswa yaitu pertidaksamaan eksponen. Mengapa? Karena untuk mengerjakan soal pertidaksamaan eksponen diperlukan penguasaan terhadap sifat-sifat bilangan berpangkat atau eksponen. Bisa dibayangkan sendiri, mempelajari materi pertidaksamaan saja sudah susah apalagi ditambah harus menguasai materi eksponen.

Untuk materi terkait pertidaksamaan silahkan baca beberapa artikel berikut:

Pertidaksamaan matematika: Rumus, contoh soal dan pembahasan

Pertidaksamaan kuadrat: Rumus, contoh soal dan pembahasan

Pertidaksamaan hasil bagi: Rumus, contoh soal dan pembahasan

Berikut adalah beberapa sifat penting bilangan berpangkat atau eksponen:

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( 9^{x-1} < 3^{-x+2} \).

\( x < 3 \) atau \( x > \frac{4}{3} \)
\( x > 3 \)
\( x > -\frac{4}{3} \)
\( x < \frac{4}{3} \)
\( x < -3 \) atau \( x > \frac{4}{3} \)

Pembahasan »

Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan eksponen, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} 9^{x-1} &< 3^{-x+2} \\[8pt] (3^2)^{x-1} &< 3^{-x+2} \\[8pt] 3^{2x-2} &< 3^{-x+2} \\[8pt] 2x-2 &< -x + 2 \\[8pt] 3x &< 4 \\[8pt] x &< \frac{4}{3} \end{aligned}

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen tersebut adalah \( x < \frac{4}{3} \).

Jawaban D.

Contoh 2: SBMPTN 2019

Jika \( 0 < a < 1\) maka \( \frac{3+3a^x}{a^x+1} < a^x \) mempunyai penyelesaian…

\( x > \ ^a \! \log 3 \)
\( x < -2 \ ^a \! \log 3 \)
\( x < \ ^a \! \log 3 \)
\( x > -10 \ ^a \! \log 3 \)
\( x < 2 \ ^a \! \log 3 \)

Pembahasan »

Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan, kita misalkan \(a^x = m\) di mana \(m>0\) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} \frac{3+3a^x}{a^x+1} < a^x \Leftrightarrow \frac{3+3m}{m+1} &< m \\[8pt] 3+3m &< m(m+1) \\[8pt] 3+3m &< m^2+m \\[8pt] m^2-2m-3 &> 0 \\[8pt] (m-3)(m+1) &> 0 \\[8pt] m < -1 \ \text{atau} \ m &> 3 \end{aligned}

Selanjutnya, karena di awal kita misalkan \( m = a^x\), maka kita peroleh berikut:

Untuk \( a^x < -1 \) dan \( 0 < a < 1 \) maka tidak ada nilai \(x\) yang memenuhi.
Untuk \(a^x > 3\) dan \( 0 < a < 1\), maka berlaku:

\begin{aligned} m > 3 \Leftrightarrow a^x &> 3 \\[8pt] ^a \! \log a^x &< \ ^a \! \log 3 \\[8pt] x &< \ ^a \! \log 3 \end{aligned}

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( \frac{3+3a^x}{a^x+1} < a^x \) untuk \( 0 < a < 1\) adalah \( x < \ ^a \! \log 3 \).

Jawaban C.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.