www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Pertidaksamaan   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Akar Matematika SMA
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Akar Matematika SMA


Flag Counter
Flag Counter

Kita telah membahas beberapa bentuk pertidaksamaan pada artikel lain. Kita tahu bahwa suatu bentuk pertidaksamaan matematika dapat berupa linear, kuadrat, pecahan, akar, nilai mutlak, eksponen, maupun logaritma.

Pada artikel ini, kita akan membahas cara menyelesaikan atau mengerjakan soal-soal pertidaksamaan yang berbentuk akar. Soal pertidaksamaan akar ini biasanya sering muncul dalam soal ujian nasional maupun soal ujian masuk perguruan tinggi.

Contoh 1: SBMPTN 2014

Semua nilai \(x\) yang memenuhi \( \sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} > 2 \) adalah…

  1. \( -2 \leq x < -1 \)
  2. \( x > 1 \)
  3. \( -\frac{3}{2} \leq x < -1 \)
  4. \( x > 2 \)
  5. \( -1 < x < 6 \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa langkah yang perlu kita lakukan.

Langkah pertama: Selesaikan pertidaksamaan bentuk akar tersebut dengan menyamakan ruas kiri dan kanan, kemudian dikuadratkan. Kita peroleh berikut ini:

pertidaksamaan akar

Langkah kedua: Carilah nilai \(x\) yang memenuhi atau membuat \( \sqrt{x+10} \) terdefinisi. Agar \( \sqrt{x+10} \) terdefinisi maka nilai \(x\) yang memenuhi, yaitu:

\begin{aligned} x+10 &\geq 0 \\[8pt] x &\geq -10 \end{aligned}

Langkah ketiga: Lakukan hal yang sama seperti pada Langkah Kedua di atas untuk mencari nilai \(x\) yang memenuhi atau membuat \( \sqrt{x+2} \) terdefinisi. Kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} x+2 &\geq 0 \\[8pt] x &\geq -2 \end{aligned}

Irisan ketiga nilai \(x\) yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan bentuk akar yang diberikan dalam soal ini. Jika digambarkan, kita peroleh berikut ini:

pertidaksamaan akar

Dari gambar di atas, himpunan penyelesaiannya adalah \( -2 \leq x < -1 \).

Jawaban A.

Contoh 2: UM UGM 2019

Jika himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan \( \sqrt{x^2-x+1} \leq \sqrt{x+1} \) adalah \( \{ x|x \ \text{bilangan real}, \ a \leq x \leq b \} \), maka \(a + b = \cdots \)

  1. \( 1 \)
  2. \( 2 \)
  3. \( 3 \)
  4. \( 4 \)
  5. \( 5 \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa langkah yang perlu dilakukan.

Langkah pertama: Kita selesaikan pertidaksamaan dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan akar tersebut. Perhatikan berikut ini:

pertidaksamaan akar

Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah \( 0 \leq x \leq 2 \).

Langkah kedua: Carilah nilai \(x\) yang memenuhi \( \sqrt{x^2-x+1} \). Ingat bahwa agar \( \sqrt{x^2-x+1} \) mempunyai nilai real, maka \( x^2-x+1 \geq 0 \). Karena \(a > 0\) da \( D = b^2-4ac < 0 \) maka \( x^2-x+1 \) definit positif yang artinya selalu bernilai positif untuk setiap \(x\) bilangan real. Dengan demikian, nilai \(x\) yang memenuhi \( x^2-x+1 \geq 0\) adalah \( x \in R\).

Langkah ketiga: Lakukan hal yang sama seperti pada Langkah Kedua di atas untuk mencari nilai \(x\) yang memenuhi atau membuat \( \sqrt{x+1} \) terdefinisi. Agar \(\sqrt{x+1}\) terdefinisi maka \( x+1 \geq 0 \). Perhatikan berikut ini:

\begin{aligned} x+1 &\geq 0 \\[8pt] x &\geq -1 \end{aligned}

Dari ketiga langkah di atas, irisan nilai \(x\) yang memenuhi pada pertidaksamaan akar di atas merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut. Jika digambarkan kurang lebih seperti berikut ini:

pertidaksamaan akar

Dari gambar di atas, himpunan penyelesaiannya adalah \( 0 \leq x \leq 2 \) dan \( a \leq x \leq b \) sehingga \( a = 0 \) dan \(b=2\). Nilai \(a+b = 2\).

Jawaban B.

Contoh 3: SBMPTN 2014

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan \( \sqrt{x^2-2x} < \sqrt{3x+6} \) adalah…

  1. \( \{ x | -1 < x < 6 \} \)
  2. \( \{ x | -2 \leq x < 0 \ \text{atau} \ x \geq 2 \} \)
  3. \( \{ x | x \geq -2 \} \)
  4. \( \{ x | -2 \leq x \leq 0 \ \text{atau} \ 2 \leq x < 6 \} \)
  5. \( \{ x | -1 < x \leq 0 \ \text{atau} \ 2 \leq x < 6 \} \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar dalam soal ini, ada beberapa tahapan yang perlu diperiksa.

Pertama, kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan tersebut, yakni:

pertidaksamaan akar

Dari hasil di atas diperoleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadratnya adalah \( -1 < x < 6 \).

Kedua, tentukan nilai \(x\) agar bentuk akar \( \sqrt{x^2-2x} \) terdefinisi atau mempunyai nilai real. Agar \( \sqrt{x^2-2x} \) mempunyai nilai real, maka syaratnya adalah:

\begin{aligned} x^2-2x &\geq 0 \\[8pt] x(x-2) &\geq 0 \\[8pt] x = 0 \ &\text{atau} \ x = 2 \\[8pt] \text{HP:} \ \{ x \ | \ x \leq 0 \ &\text{atau} \ x \geq 2 \} \end{aligned}

Ketiga, sama seperti pada tahap kedua di atas, tentukan nilai \(x\) agar bentuk akar \( \sqrt{3x+6} \) mempunyai nilai real.

\begin{aligned} 3x+6 &\geq 0 \\[8pt] 3x &\geq -6 \\[8pt] x &\geq -2 \end{aligned}

Dari ketiga tahapan penyelesaian di atas, irisan dari ketiga nilai \(x\) yang diperoleh adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan akar yang diberikan dalam soal. Jika digambarkan hasilnya kurang lebih seperti berikut:

pertidaksamaan akar

Dari gambar di atas, himpunan penyelesaiannya adalah \( HP: \{ x | -1 < x \leq 0 \ \text{atau} \ 2 \leq x < 6 \} \).

Jawaban E.

Contoh 4: UMB-PT 2014

Solusi pertidaksamaan \( \sqrt{3-x} \leq x-1 \) adalah himpunan semua bilangan real \(x\) yang memenuhi…

  1. \( -1 \leq x \leq 2 \)
  2. \( x \leq -1 \ \text{atau} \ 2 \leq x \leq 3 \)
  3. \( 1 \leq x \leq 2 \)
  4. \( x \leq -1 \ \text{atau} \ x \geq 2 \)
  5. \( 2 \leq x \leq 3 \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang perlu diperiksa.

Pertama, kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

pertidaksamaan akar

Dari hasil di atas diperoleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah \( x \leq -1 \) atau \(x \geq 2\).

Kedua, tentukan nilai \(x\) agar bentuk akar \( \sqrt{3-x} \) terdefinisi atau mempunyai nilai real. Agar \( \sqrt{3-x} \) mempunyai nilai real, maka syaratnya yaitu:

\begin{aligned} 3-x \geq 0 \\[8pt] x-3 \leq 0 \\[8pt] x \leq 3 \end{aligned}

Ketiga, karena \( 3-x \geq 0 \) dan agar \( \sqrt{3-x} \leq x-1 \) mempunyai nilai real, maka syaratnya yaitu \(x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \).

Dari ketiga tahapan penyelesaian di atas, irisan dari ketiga nilai \(x\) yang diperoleh adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan akar yang diberikan dalam soal. Jika digambarkan hasilnya kurang lebih seperti berikut:

pertidaksamaan akar

Dari hasil di atas, himpunan penyelesaiannya adalah \( HP: \{ x | 2 \leq x \leq 3 \} \).

Jawaban E.

Contoh 5: SBMPTN 2018

Himpunan penyelesaian \( x - \sqrt{6-x} \geq 0 \) adalah…

  1. \( \{ x | x < -3 \ \text{atau} \ x \geq 2 \} \)
  2. \( \{ x | x \leq -3 \ \text{atau} \ 2 \leq x \leq 6 \} \)
  3. \( \{ x | 0 \leq x \leq 6 \} \)
  4. \( \{ x | 2 \leq x \leq 6 \} \)
  5. \( \{ x | x \leq 6 \} \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang perlu diperiksa.

Pertama, kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

pertidaksamaan akar

Dari hasil di atas diperoleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah \( x \leq -3 \) atau \(x \geq 2\).

Kedua, tentukan nilai \(x\) agar bentuk akar \( \sqrt{6-x} \) terdefinisi atau mempunyai nilai real. Agar \( \sqrt{6-x} \) mempunyai nilai real, maka syaratnya yaitu:

\begin{aligned} 6-x &\geq 0 \\[8pt] x-6 &\leq 0 \\[8pt] x &\leq 6 \end{aligned}

Ketiga, karena \( 6-x \geq 0 \) dan agar \( x - \sqrt{6-x} \geq 0 \) mempunyai nilai real, maka \(x \geq 0\).

Dari ketiga tahapan penyelesaian di atas, irisan dari ketiga nilai \(x\) yang diperoleh adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan akar yang diberikan dalam soal. Jika digambarkan hasilnya kurang lebih seperti berikut:

pertidaksamaan akar

Dari hasil di atas, himpunan penyelesaiannya adalah \( HP: \{ x | 2 \leq x \leq 6 \} \).

Jawaban D.

Contoh 6: SIMAK UI 2018

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( \sqrt{x^2-4} \leq 3-x \) adalah…

  1. \( \left\{ x \in R: x \leq -2 \ \text{atau} \ 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \right\} \)
  2. \( \left\{ x \in R: x \leq -2 \ \text{atau} \ 2 \leq x \right\} \)
  3. \( \left\{ x \in R: -2 \leq x \leq \frac{13}{6} \right\} \)
  4. \( \left\{ x \in R: x \leq \frac{13}{6} \right\} \)
  5. \( \left\{ x \in R: 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \right\} \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang perlu diperiksa.

Pertama, kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

pertidaksamaan akar

Dari hasil di atas diperoleh himpunan penyelesaian \( x \leq \frac{13}{6} \).

Kedua, tentukan nilai \(x\) agar bentuk akar \( \sqrt{x^2-4} \) terdefinisi atau mempunyai nilai real. Agar \( \sqrt{x^2-4} \) mempunyai nilai real, maka syaratnya yaitu:

pertidaksamaan akar

Ketiga, karena \( \sqrt{x^2-4} \geq 0 \) dan agar \( \sqrt{x^2-4} \leq 3-x \) mempunyai nilai real, maka:

\begin{aligned} 3-x &\geq 0 \\[8pt] x-3 &\leq 0 \\[8pt] x &\leq 3 \end{aligned}

Dari ketiga tahapan penyelesaian di atas, irisan dari ketiga nilai \(x\) yang diperoleh adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan akar yang diberikan dalam soal. Jika digambarkan hasilnya kurang lebih seperti berikut:

pertidaksamaan akar

Dari hasil di atas, himpunan penyelesaiannya adalah \( HP: \left\{ x \in R : x \leq -2 \ \text{atau} \ 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \right\} \).

Jawaban A.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.