Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma Matematika SMA

Bahas Soal Matematika » Pertidaksamaan › Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma Matematika SMA

Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-30 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma Matematika SMA

Pada artikel yang lain kita telah membahas cara menyelesaikan persamaan logaritma. Pada artikel ini kita akan lanjutkan dengan pembahasan mengenai cara menyelesaikan suatu pertidaksamaan logaritma. Pertidaksamaan logaritma adalah bentuk lain dari persamaan logaritma di mana tanda sama dengan (=) diganti dengan tanda pertidaksamaan yakni kurang dari (<), kurang dari atau sama dengan (≤), lebih dari (>), dan lebih dari atau sama dengan (≥).

Secara umum, penyelesaian pertidaksamaan logaritma hampir sama dengan penyelesaian persamaan logaritma.

Kadang-kadang kita membutuhkan pemisalan untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma. Dengan pemisalan kita bisa mengubah bentuk pertidaksamaan logaritma yang terlebih rumit menjadi lebih sederhana sehingga lebih mudah untuk dikerjakan. Perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1: UTBK-SBMPTN 2019

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( (\log_a x)^2 + 4 \log_a x + 3 < 0 \) dengan \(a > 1\) adalah…

\( a^{-3} < x < a^{-1} \)
\( a^{-1} < x < a^{3} \)
\( a^{-1} < x < a^{-3} \)
\( a^{-3} < x < a \)
\( 1 < x < a^{-3} \} \)

Pembahasan:

Sebelum kita jawab soal ini, ingat bahwa jika \( {}^a \! \log f(x) > {}^a \! \log g(x) \), maka untuk \( a > 1 \) berlaku \( f(x) > g(x) \) dan untuk \( 0 < a < 1 \) berlaku \( f(x) < g(x) \).

Untuk menyelesaikan soal ini kita bisa sederhanakan pertidaksamaan logaritma di atas dengan memisalkan \( \log_a x = m \). Kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} (\log_a x)^2 + 4 \log_a x + 3 &< 0 \\[8pt] m^2+4m+3 &< 0 \\[8pt] (m+1)(m+3) &< 0 \\[8pt] m=-1 \ &\text{atau} \ m = -3 \end{aligned}

Dari hasil di atas, kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaannya yaitu \( -3 < m < -1 \).

Selanjutnya, kita kembalikan nilai \( m = \log_a x \). Perhatikan berikut ini:

\begin{aligned} m > -3 \Leftrightarrow \log_a x &> -3 \ \text{dan} \ a > 1 \\[8pt] \log_a x &> \log_a a^{-3} \\[8pt] x &> a^{-3} \\[8pt] m < -1 \Leftrightarrow \log_a x &< -1 \ \text{dan} \ a > 1 \\[8pt] \log_a x &< \log_a a^{-1} \\[8pt] x &< a^{-1} \end{aligned}

Jadi, himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan logaritma di atas adalah \( a^{-3} < x < a^{-1} \).

Jawaban A.

Contoh 2: UTBK-SBMPTN 2019

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( (\log_a x)^2 - \log_a x -2 > 0 \) dengan \( 0 < a < 1 \) adalah…

\( x < a^2 \ \text{atau} \ x > a^{-1} \)
\( x < a^2 \ \text{atau} \ x > a^{-2} \)
\( a^{2} < x < a^{-1} \)
\( a^{2} < x < a^{-2} \)
\( a^{-2} < x < a^{2} \} \)

Pembahasan:

Sebelum kita jawab soal ini, ingat bahwa jika \( {}^a \! \log f(x) > {}^a \! \log g(x) \), maka untuk \( a > 1 \) berlaku \( f(x) > g(x) \) dan untuk \( 0 < a < 1 \) berlaku \( f(x) < g(x) \).

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma di atas, kita bisa misalkan \( \log_a x = m \) sehingga kita peroleh berikut:

\begin{aligned} (\log_a x)^2 - \log_a x -2 &> 0 \\[8pt] m^2-m-2 &> 0 \\[8pt] (m-2)(m+1) &< 0 \\[8pt] m=2 \ &\text{atau} \ m = -1 \end{aligned}

Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadratnya yaitu \(m < -1\) atau \(m>2\).

Selanjutnya, kita kembalikan nilai \( m = \log_a x \). Perhatikan berikut ini:

\begin{aligned} m < -1 \Leftrightarrow \log_a x &< -1 \ \text{dan} \ 0 < a < 1 \\[8pt] \log_a x &< \log_a a^{-1} \\[8pt] x &> a^{-1} \\[8pt] m > 2 \Leftrightarrow \log_a x &> 2 \ \text{dan} \ 0 < a < 1 \\[8pt] \log_a x &> \log_a a^{2} \\[8pt] x &< a^2 \end{aligned}

Jadi, himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan logaritma di atas yaitu \( x < a^2 \) atau \(x > a^{-1} \).

Jawaban A.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.