www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Turunan   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar


Kita telah mempelajari konsep dasar turunan dan cara mencari turunan pada beberapa artikel sebelumnya di mana kita tahu definisi turunan dinyatakan dalam limit. Pada artikel ini kita akan mendalami materi turunan untuk fungsi aljabar dengan latihan mengerjakan soal-soal.

Pada dasarnya, turunan fungsi aljabar ini merupakan pengembangan dari limit fungsi aljabar sehingga untuk dapat lebih cepat menguasai materi turunan fungsi aljabar sebaiknya Anda sudah menguasai limit fungsi aljabar dengan baik.

Contoh 1: UNBK Matematika SMA IPS 2019

Turunan pertama fungsi \( f(x) = (4x^2-12x)(x+2) \) adalah…

  1. \( f'(x) = 12x^2-4x-24 \)
  2. \( f'(x) = 12x^2-8x+24 \)
  3. \( f'(x) = 24x-8 \)
  4. \( f'(x) = 12x^2-16x+24 \)
  5. \( f'(x) = 12x^2-8x-24 \)
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini kita bisa kerjakan dengan dua cara:

Pertama pakai aturan perkalian turunan, yakni untuk \( f(x) = u \cdot v \) maka \( f’(x) = u'v + uv' \). Misalkan \( u = 4x^2-12x \) dan \( v = x+2 \) maka:

\begin{aligned} u &= 4x^2-12x \Leftrightarrow u' = 8x-12 \\[8pt] v &= x+2 \Leftrightarrow v' = 1 \\[8pt] f'(x) &= u'v+uv' \\[8pt] f'(x) &= (8x-12)(x+2)+(4x^2-12)(1) \\[8pt] &= 8x^2+16x-12x-24+4x^2-12x \\[8pt] &= 12x^2-8x-24 \end{aligned}

Cara kedua adalah dengan menyederhanakan fungsi ke bentuk penjumlahan dan pengurangan, kemudian mencari turunannya.

\begin{aligned} f(x) &= (4x^2-12x)(x+2) \\[8pt] &= 4x^3+8x^2-12x^2-24x \\[8pt] &= 4x^3-4x^2-24x \\[8pt] f'(x) &= 12x^2-8x-24 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 2: SBMPTN 2018

Diketahui \( f(x) = ax^2 + 2x + 4 \) dan \( g(x) = x^2+ax-2 \). Jika \( h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \) dengan \( h’(0) = 1 \) maka nilai \(a\) adalah…

  1. \( 2 \)
  2. \( \frac{1}{2} \)
  3. \( 0 \)
  4. \( -\frac{1}{2} \)
  5. \( -2 \)
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \) dan \( h’(0) = 1 \) maka kita peroleh berikut:

\begin{aligned} f(x) = ax^2 + 2x + 4 &\Leftrightarrow f(0) = a(0)^2+2(0)+4 = 4 \\[8pt] f(x) = ax^2 + 2x + 4 &\Leftrightarrow f'(x) = 2ax+2 \\[8pt] &\Leftrightarrow f'(0) = 2 \\[8pt] g(x) = x^2+ax-2 &\Leftrightarrow g(0) = (0)^2+a(0)-2 = -2 \\[8pt] g(x) = x^2+ax-2 &\Leftrightarrow g'(x) = 2x+a \\[8pt] &\Leftrightarrow g'(0) = a \end{aligned}
\begin{aligned} h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \Leftrightarrow h'(x) &= \frac{ f'(x)g(x)-f(x)g(x) }{g^2(x)} \\[8pt] \Leftrightarrow h'(0) &= \frac{ f'(0)g(0)-f(0)g(0) }{g^2(0)} \\[8pt] \Leftrightarrow 1 &= \frac{(2)(-2)-(4)(a)}{(-2)^2} \\[8pt] 1 = \frac{-4-4a}{4} \Leftrightarrow 1 &= -1-a \\[8pt] a &= -2 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 3: SBMPTN 2018

Diketahui \( f(x) = ax^2-4x+1 \) dan \( g(x) = 3x^2+ax+2 \). Jika \( h(x) = f(x) + g(x) \) dan \( k(x) = f(x) g(x) \) dengan \( h’(0) = -3 \), maka nilai \( k’(0) \) adalah…

  1. -7
  2. -4
  3. -3
  4. 0
  5. 2
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( h(x) = f(x) + g(x) \) dan \( h’(0) = -3 \), maka kita perlu mencari \( h’(x) \) terlebih dahulu. Perhatikan bahwa untuk \( f(x) = ax^2-4x+1 \) maka \( f(0)=1 \) dan \( f’(x) = 2ax-4 \) sehingga \( f’(0) = -4 \). Selanjutnya, untuk \( g(x) = 3x^2+ax+2 \) maka \(g(0) = 2) dan \( g’(x) = 6x+a \) sehingga \( g’(0) = a \).

Dengan demikian, kita peroleh hasil berikut ini:

\begin{aligned} h(x) &= f(x) + g(x) \\[8pt] h'(x) &= f'(x) + g'(x) \\[8pt] h'(0) &= f'(0) + g'(0) \\[8pt] -3 &= -4 + a \\[8pt] a &= 1 \\[8pt] k(x) &= f(x)g(x) \\[8pt] k'(x) &= f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\[8pt] k'(0) &= f'(0)g(0)+f(0)g'(0) \\[8pt] &= (-4)(2)+(1)(1) \\[8pt] &= -7 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 4: UMB 2008

Jika \( \displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x} + 1 \), maka \( \displaystyle f’ \left( \frac{1}{2} \right) = \cdots \)

  1. -20
  2. -16
  3. -12
  4. -8
  5. -4
Pembahasan »
\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x} + 1 \\[8pt] &= x^{-2}-x^{-1}+1 \\[8pt] f'(x) &= -2x^{-3}+x^{-2} \\[8pt] f' \left( \frac{1}{2} \right) &= -2\left( \frac{1}{2} \right)^{-3} + \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \\[8pt] &= -2 \left( 2^{-1} \right)^{-3} + \left( 2^{-1} \right)^{-2} \\[8pt] &= -2(2^3)+2^2 = -2 \cdot 8 + 4 \\[8pt] &= -16 + 4 = -12 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 5: UNBK Matematika IPA 2018

Diketahui \( g(x) = 3-x \) dengan \( f(x) = 6x^2+3x-9 \). Jika \( h(x) = f(x) \cdot g(x) \), turunan pertama dari \( h(x) \) adalah \( h’(x) = \cdots \)

  1. \( -6x^2 + 36x \)
  2. \( -6x^2 + 36x + 18 \)
  3. \( -18x^2 + 30x + 18 \)
  4. \( 18x^2 + 30x + 18 \)
  5. \( 18x^2 - 30x - 18 \)
Pembahasan »

Turunan pertama dari \( h(x) \), yaitu:

\begin{aligned} h(x) &= f(x) \cdot g(x) \\[8pt] h'(x) &= f'(x) \cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x) \\[8pt] &= (12x+3)(3-x)+(6x^2+3x-9)(-1) \\[8pt] &= 36x-12x^2+9-3x-6x^2-3x+9 \\[8pt] &= -18x^2+30x+18 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 6: SPMB 2004 Regional I

Turunan pertama dari fungsi \( f(x) = (x-1)^2(x+1) \) adalah \( f’(x) = \cdots \)

  1. \( x^2-2x+1 \)
  2. \( x^2+2x+1 \)
  3. \( 3x^2-2x-1 \)
  4. \( 3x^2-2x+1 \)
  5. \( 3x^2+2x+1 \)
Pembahasan »

Untuk menentukan turunan pertama dari fungsi \( f(x) = (x-1)^2(x+1) \) kita bisa gunakan aturan perkalian turunan, yakni untuk \( f(x) = u \cdot v \) maka \( f’(x) = u’ \cdot v + u \cdot v’ \). Misalkan \( u = (x-1)^2 \) maka \( u’ = 2(x-1) \) dan \( v = (x+1) \) maka \( v’ = 1 \).

Dengan demikian, kita peroleh sebagai berikut:

\begin{aligned} f(x) &= u \cdot v \\[8pt] f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\[8pt] &= 2(x-1) (x+1) + (x-1)^2 (1) \\[8pt] &= 2(x^2-1)+(x-1)^2 \\[8pt] &= 2x^2-2+x^2-2x+1 \\[8pt] &= 3x^2-2x-1 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 7: UM UGM 2005

Turunan pertama dari \( \displaystyle f(x) = \frac{x^2-7}{x \sqrt{x}} \) adalah…

  1. \( \displaystyle \frac{ x^2+21 }{ 2x^2 \sqrt{x} } \)
  2. \( \displaystyle \frac{ x^2+21 }{ x^2 \sqrt{x} } \)
  3. \( \displaystyle \frac{ x^2-21 }{ 2x^2 \sqrt{x} } \)
  4. \( \displaystyle \frac{ x^2 }{ x^2 \sqrt{x} + 21 } \)
  5. \( \displaystyle \frac{ x^2+21 }{ 2x \sqrt{x} } \)
Pembahasan »

Untuk menentukan turunan pertama fungsi \( f(x) \) di atas kita bisa gunakan aturan pembagian turunan, yakni untuk \( \displaystyle f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) maka \( \displaystyle f’(x) = \frac{ u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x) }{v^2(x)} \). Misalkan \( u(x) = x^2-7 \) sehingga \( u’(x) = 2x \) dan \( v(x) = x \sqrt{x} = x^{3/2} \) sehingga \( v’(x) = \frac{3}{2}x^{ 1/2 } \).

Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} f’(x) &= \frac{ u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x) }{v^2(x)} \\[8pt] &= \frac{2x \cdot x^{3/2} - (x^2-7) \cdot \frac{3}{2} x^{1/2}}{ (x^{3/2})^2 } \\[8pt] &= \frac{ 2x^{5/2} - \frac{3}{2} x^{5/2} + \frac{21}{2}x^{1/2} }{x^3} \\[8pt] &= \frac{ \frac{1}{2}x^{5/2} + \frac{21}{2}x^{1/2} }{ x^3 } \\[8pt] &= \frac{ \frac{1}{2}x^{1/2} \left( x^2 + 21 \right) }{ x^3 } = \frac{(x^2+21)}{2x^{5/2}} \\[8pt] &= \frac{(x^2+21)}{2x^2 \sqrt{x}} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 8: UNBK Matematika IPS 2018

Turunan pertama dari \( h(x) = (-x+1)^3 \) adalah…

  1. \( h'(x) = -3x^2 + 6x - 3 \)
  2. \( h'(x) = -3x^2 - 6x + 3 \)
  3. \( h'(x) = 3x^2 + 6x - 3 \)
  4. \( h'(x) = 3x^2 + 3x - 6 \)
  5. \( h'(x) = -3x^2 - 6x + 3 \)
Pembahasan »

Ingat bahwa rumus turunan pertama dari \( h(x) = [f(x)]^n \) adalah \( h’(x) = n [f(x)]^{n-1} \cdot f’(x) \). Dengan demikian,

\begin{aligned} h(x) &= (-x+1)^3 \\[8pt] h'(x) &= 3(-x+1)^{3-1} \cdot (-1) \\[8pt] &= -3(-x+1)^2 \\[8pt] &= -3(x^2-2x+1) \\[8pt] &= -3x^2+6x-3 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 9: SNMPTN 2007

Turunan pertama dari fungsi \( \displaystyle y = \frac{2}{ \sqrt{(3x^2+5)^3} } \) adalah \( y’ = \cdots \)

  1. \( \displaystyle \frac{ -3 }{ \sqrt{ (3x^2+5)^5 } } \)
  2. \( \displaystyle \frac{ -18x }{ \sqrt{ (3x^2+5)^5 } } \)
  3. \( \displaystyle \frac{ -3 }{ \sqrt{ 3x^2+5 } } \)
  4. \( \displaystyle \frac{ -18x }{ \sqrt{ 3x^2+5 } } \)
  5. \( \displaystyle \frac{ 18x }{ \sqrt{ 3x^2+5 } } \)
Pembahasan »

Untuk menentukan turunan pertama dari fungsi \(y\) kita bisa gunakan aturan pembagian turunan, yakni untuk \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) maka \( f’(x) = \frac{ u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x) }{v^2(x)} \). Misalkan \( u(x) = 2 \) sehingga \( u’(x) = 0 \) dan \( v(x) = \sqrt{(3x^2+5)^3} = (3x^2+5)^{3/2} \) sehingga \( v’(x) = \frac{3}{2}(3x^2+5)^{1/2}(6x) = 9x(3x^2+5)^{1/2} \).

Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} f’(x) &= \frac{ u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x) }{v^2(x)} \\[8pt] &= \frac{0 \cdot (3x^2+5)^{3/2} - 2 \cdot 9x(3x^2+5)^{1/2} }{ \left( (3x^2+5)^{3/2} \right)^2 } \\[8pt] &= \frac{ -18x (3x^2+5)^{1/2} }{ (3x^2+5)^3 } \\[8pt] &= \frac{ -18x }{ (3x^2+5)^{5/2} } \\[8pt] &= \frac{ -18x }{ \sqrt{ (3x^2+5)^5 } } \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 10: SBMPTN 2014

Diketahui \( f(0) = 1 \) dan \(f’(0) = 2\). Jika \( g(x) = \frac{1}{(2 f(x)-1)^3} \) maka \( g’(0) = \cdots \)

  1. -12
  2. -6
  3. 6
  4. 8
  5. 12
Pembahasan »

Ingat bahwa \( g(x) = \frac{u}{v} \) maka \( g’(x) = \frac{ u’v - uv’ }{v^2} \). Dengan demikian, kita peroleh:

\begin{aligned} g’(x) &= \frac{ u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x) }{v^2(x)} \\[8pt] &= \frac{0 \cdot (2f(x)-1)^3 - (1) \cdot 3(2f(x)-1)^2 \cdot 2f'(x) }{ \left( (2f(x)-1)^3 \right)^2 } \\[8pt] &= \frac{ -6f'(x) \cdot (2f(x)-1)^2 }{ (2f(x)-1)^6 } \\[8pt] g'(0) &= \frac{ -6f'(0) \cdot (2f(0)-1)^2 }{ (2f(0)-1)^6 } \\[8pt] &= \frac{ -6(2) \cdot (2(1)-1)^2 }{ (2(1)-1)^6 } \\[8pt] &= \frac{-12}{1} = -12 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 11: SNMPTN 2008

Jika \( f(x) = \frac{bx-a}{x+b} \) memenuhi \( f(1) = 1 \) dan \( f’(1) = 2 \), maka \( f(2) = \cdots \)

  1. -5
  2. -21
  3. -1
  4. 2
  5. 5
Pembahasan »

Dari \( f(1) = 1 \) kita peroleh:

\begin{aligned} f(x) &= \frac{bx-a}{x+b} \Leftrightarrow f(1) = \frac{b(1)-a}{1+b} \\[8pt] 1 &= \frac{b-a}{1+b} \Leftrightarrow 1+b = b-a \\[8pt] a &= -1 \\[8pt] f(x) &= \frac{bx-a}{x+b} \Leftrightarrow f(x) = \frac{bx+1}{x+b} \end{aligned}

Selanjutnya, kita cari turunan dari fungsi \( f(x) \). Ingat bahwa untuk \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), maka turunannya, yakni:

\begin{aligned} f'(x) &= \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \\[8pt] f'(x) &= \frac{b(x+b)-(bx+1)(1)}{(x+b)^2} \\[8pt] &= \frac{bx+b^2-bx-1}{(x+b)^2} \\[8pt] &= \frac{b^2-1}{(x+b)^2} \\[8pt] f'(1) &= \frac{b^2-1}{(1+b)^2} \Leftrightarrow 2 = \frac{(b+1)(b-1)}{(b+1)^2} \\[8pt] 2 &= \frac{b-1}{b+1} \Leftrightarrow 2(b+1) = b-1 \\[8pt] 2b+2 &= b-1 \Leftrightarrow b = -3 \end{aligned}

Dari hasil di atas, kita peroleh \( a = -1 \) dan \(b = -3) sehingga:

\begin{aligned} f(x) = \frac{bx-a}{x+b} \Leftrightarrow f(x) &= \frac{-3x+1}{x-3} \\[8pt] f(2) &= \frac{-3(2)+1}{2-3} \\[8pt] &= \frac{-5}{-1} = 5 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 12: SBMPTN 2014

Jika \( f(x) = \frac{ax+b}{x^2+1} \) dengan \( f(0) = f’(0) \) dan \( f’(-1) = 1 \), maka \( a + b = \cdots \)

  1. 4
  2. 21
  3. 0
  4. -2
  5. 2
Pembahasan »

Kita cari turunan dari fungsi \( f’(x) \) terlebih dahulu menggunakan aturan turunan pembagian, yakni:

\begin{aligned} f'(x) &= \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \\[8pt] f'(x) &= \frac{(a)(x^2+1)-(ax+b)(2x)}{(x^2+1)^2} \\[8pt] &= \frac{ ax^2+a-2ax^2-2bx }{ (x^2+1)^2 } \end{aligned}

Dengan demikian, kita peroleh:

\begin{aligned} f'(x) &= \frac{ ax^2+a-2ax^2-2bx }{ (x^2+1)^2 } \\[8pt] f'(0) &= \frac{a(0)^2+a-2a(0)^2-2b(0)}{(0^2+1)^2} \\[8pt] &= a \\[8pt] f'(1) &= \frac{ a(-1)^2+a-2a(-1)^2-2b(-1) }{ ((-1)^2+1)^2 } \\[8pt] 1 &= \frac{a+a-2a+2b}{4} \\[8pt] 4 &= 2b \Leftrightarrow b = 2 \end{aligned}

Untuk \(b=2\) dan \( f(0) = f’(0) = a\), kita peroleh:

\begin{aligned} f(x) &= \frac{ax+b}{x^2+1} \\[8pt] f(0) &= \frac{a(0)+2}{0^2+1} \\[8pt] a &= \frac{2}{1} = 2 \\[8pt] a + b &= 2 + 2 = 4 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 13: SBMPTN 2014

Jika \(m\) dan \(n\) bilangan real dan fungsi \( f(x) = mx^3+2x^2-nx+5 \) memenuhi \( f’(1) = f’(-5) = 0 \), maka \(3m-n = \cdots \)

  1. -6
  2. -4
  3. -2
  4. 2
  5. 4
Pembahasan »

Kita cari turunan dari fungsi \(f(x)\) terlebih dahulu, lalu substitusi nilai \(x=1\) dan \(x=-5\). Kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} f(x) &= mx^3+2x^2-nx+5 \\[8pt] f'(x) &= 3mx^2+4x-n \\[8pt] f'(1) &= 3m+4-n \\[8pt] 0 &= 3m+4-n \\[8pt] -4 &= 3m-n \quad \cdots (1) \\[8pt] f'(-5) &= 3m(-5)^2 + 4(-5)-n \\[8pt] 0 &= 75m-20-n \\[8pt] 20 &= 75m-n \quad \cdots (2) \end{aligned}

Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) di atas, kita peroleh nilai \( m = -\frac{1}{3} \) dan \( n = 3 \). Dengan demikian,

\begin{aligned} 3m-n &= 3 \left( - \frac{1}{3} \right)-3 \\[8pt] &= -1-3 \\[8pt] &= -4 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 14: SIMAK UI 2020

Misalkan fungsi \( f:R \rightarrow R \) didefinisikan dengan \( f(2x-3) = 4x^2+2x-5 \) dan \(f’\) adalah turunan pertama dari \(f\). Hasil dari \( f’(2x-3) \).

  1. \( 2x-7 \)
  2. \( 2x-1 \)
  3. \( 2x+7 \)
  4. \( 4x+1 \)
  5. \( 8x+2 \)
Pembahasan »

Pada fungsi \( f(2x-3) = 4x^2+2x-5 \), ruas kiri dan kanannya kita turunkan terhadap \(x\) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} \frac{d}{dx} (f(2x-3)) &= \frac{d}{dx} (4x^2+2x-5) \\[8pt] f'(2x-3) \cdot 2 &= 8x+2 \\[8pt] f'(2x-3) &= \frac{8x+2}{2} \\[8pt] &= 4x+1 \end{aligned}

Kita juga bisa mengerjakan soal di atas dengan cara lain yakni menggunakan konsep komposisi fungsi di mana pada fungsi \( f(2x-3) = 4x^2+2x-5 \) akan dilakukan manipulasi aljabar sehingga variabelnya menjadi \((2x-3)\). Berikut hasil yang kita peroleh:

\begin{aligned} f(2x-3) &= 4x^2+2x-5 \\[8pt] &= (2x-3)^2+12x-9+2x-5 \\[8pt] &= (2x-3)^2+14x-14 \\[8pt] &= (2x-3)^2+7(2x-3)+21-14 \\[8pt] &= (2x-3)^2+7(2x-3)+7 \\[8pt] f'(2x-3) &= 2(2x-3)+7 \\[8pt] &= 4x-6+7 \\[8pt] &= 4x+1 \end{aligned}

Cara yang kedua tampak lebih rumit, tetapi hasil yang diperoleh masih tetap sama.

Jawaban D.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.

Artikel terkait

What you do every day matters more than what you do once in a while.

Gretchen Rubin