www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Limit dan Kekontinuan   ›  Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dengan Pemfaktoran
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dengan Pemfaktoran

Sebagaimana telah kita pelajari bahwa fungsi dalam limit bisa berupa fungsi aljabar, fungsi trigonometri, maupun fungsi lainnya. Untuk menyelesaikan soal limit fungsi aljabar ada beberapa metode yang bisa digunakan antara lain metode substitusi, pemfaktoran, perkalian akar sekawan, dan metode pembagian dengan pangkat tertinggi dari penyebut.

Pada artikel ini, kita akan membahas cara menyelesaikan limit fungsi aljabar dengan metode pemfaktoran. Cara pemfaktoran digunakan apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisi seperti pada contoh berikut:

\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \ \frac{x^2-4}{x-2} &= \frac{2^2-4}{2-2} = \frac{0}{0} \end{aligned}

Cara pemfaktoran dilakukan dengan menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebut. Untuk lebih jelasnya, berikut ini sudah disiapkan sejumlah contoh soal limit fungsi aljabar yang penyelesaiannya menggunakan metode atau cara pemfaktoran.

Contoh 1: EBTANAS SMA IPS 1996

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 5} \ \frac{x^2-x-20}{x-5} = \cdots \)

  1. 9
  2. 5
  3. 4
  4. -4
  5. -9
Pembahasan »

Jika kita substitusikan nilai \( x= 5\) ke fungsi pada limit akan diperoleh bentuk tak tentu 0/0 yang tak terdefinisi. Untuk soal ini, kita bisa memfaktorkan fungsi pembilang pada limit dan kemudian sederhanakan fungsi limitnya dengan mencoret suku yang sama antara pembilang dan penyebut. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} \lim_{x \to 5} \ \frac{x^2-x-20}{x-5} &= \lim_{x \to 5} \ \frac{(x-5)(x+5)}{x-5} \\[8pt] &= \lim_{x \to 5} \ (x+5) \\[8pt] &= 5 + 5 = 10 \end{aligned}

Jadi, nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 5} \ \frac{x^2-x-20}{x-5} = 10 \). Dalam bahasa lain, fungsi \( \displaystyle \frac{x^2-x-20}{x-5} \) akan mendekati nilai 10 ketika \(x\) mendekati nilai 5.

Jawaban B.

Contoh 2: EBTANAS SMA IPS 1997

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 3} \ \frac{x-3}{x^2+x-12} = \cdots \)

  1. 4
  2. 3
  3. 3/7
  4. 1/7
  5. 0
Pembahasan »

Sama seperti pada Contoh 1, jika kita substitusi nilai \(x = 3\) ke fungsi pada limit akan diperoleh bentuk tak tentu 0/0 yang tak terdefinisi. Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa faktorkan fungsi penyebut dan kemudian sederhanakan fungsi limit dengan mencoret suku yang sama antara pembilang dan penyebut. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} \lim_{x \to 3} \ \frac{x-3}{x^2+x-12} &= \lim_{x \to 3} \ \frac{x-3}{(x-3)(x+4)} \\[8pt] &= \lim_{x \to 3} \ \frac{1}{x+4} \\[8pt] &= \frac{1}{3+4} = \frac{1}{7} \end{aligned}

Jadi, nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 3} \ \frac{x-3}{x^2+x-12} = \frac{1}{7} \). Dalam bahasa lain, fungsi \( \displaystyle \frac{x-3}{x^2+x-12} \) akan mendekati nilai 1/7 ketika \(x\) mendekati nilai 3.

Jawaban B.

Untuk soal-soal berikutnya di bawah ini, saya tidak memberikan penjelasan secara rinci. Pada intinya, penyelesaiannya sama seperti pada dua Contoh di atas, yakni lakukan pemfaktoran dan kemudian coret suku yang sama antara pembilang dan penyebut untuk menyederhanakan fungsi pada limit.

Contoh 3: UN SMA IPA 2011

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 4} \ \frac{(x-4)}{\sqrt{x}-2} = \cdots \)

  1. 0
  2. 4
  3. 8
  4. 12
  5. 16
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 4} \ \frac{(x-4)}{\sqrt{x}-2} &= \lim_{x \to 4} \ \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2} \\[8pt] &= \lim_{x \to 4} \ (\sqrt{x}+2) \\[8pt] &= \sqrt{4} + 2 = 4 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 4: SPMB 2004

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 3} \ \frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} = \cdots \)

  1. 0
  2. 3
  3. 6
  4. 12
  5. 15
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 3} \ \frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} &= \lim_{x \to 3} \ \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \\[8pt] &= \lim_{x \to 3} \ (\sqrt{x}+\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3}) \\[8pt] &= (\sqrt{3}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{3}) \\[8pt] &= (2\sqrt{3}) (2\sqrt{3}) = 4 \cdot 3 \\[8pt] &= 12 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 5: UN SMA IPS 2015

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 4} \ \frac{x^2-16}{x-4} = \cdots \)

  1. 16
  2. 8
  3. 4
  4. -4
  5. -8
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 4} \ \frac{x^2-16}{x-4} &= \lim_{x \to 4} \ \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} \\[8pt] &= \lim_{x \to 4} \ (x+4) \\[8pt] &= (4+4) =8 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 6: UNBK SMA IPS 2019

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 3} \ \frac{x^2-9}{2x^2-7x+3} = \cdots \)

  1. 1/2
  2. 5/6
  3. 6/7
  4. 7/6
  5. 6/5
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 3} \ \frac{x^2-9}{2x^2-7x+3} &= \lim_{x \to 3} \ \frac{(x+3)(x-3)}{(2x-1)(x-3)} \\[8pt] &= \lim_{x \to 3} \ \frac{(x+3)}{(2x-1)} \\[8pt] &= \frac{3+3}{2(3)-1} \\[8pt] &= \frac{6}{5} \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 7: EBTANAS SMA IPA 2002

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \ \frac{x^2-5x+6}{x^2-4} = \cdots \)

  1. \( -\frac{1}{4} \)
  2. \( -\frac{1}{8} \)
  3. \( -\frac{1}{8} \)
  4. \( 1 \)
  5. \( \frac{5}{4} \)
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \ \frac{x^2-5x+6}{x^2-4} &= \lim_{x \to 2} \ \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} \\[8pt] &= \lim_{x \to 2} \ \frac{(x-3)}{(x+2)} \\[8pt] &= \frac{2-3}{2+2} = -\frac{1}{4} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 8: UN SMA IPS 2014

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to -4} \ \frac{x^2+7x+12}{2x+8} = \cdots \)

  1. \( -1 \)
  2. \( -\frac{1}{2} \)
  3. \( \frac{7}{8} \)
  4. \( \frac{3}{2} \)
  5. \( \frac{7}{2} \)
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to -4} \ \frac{x^2+7x+12}{2x+8} &= \lim_{x \to -4} \ \frac{(x+3)(x+4)}{2(x+4)} \\[8pt] &= \lim_{x \to -4} \ \frac{x+3}{2} \\[8pt] &= \frac{-4+3}{2} = -\frac{1}{2} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 9: EBTANAS SMA IPS 1995

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \ \frac{6x^5 - 4x}{2x^4+x} = \cdots \)

  1. -4
  2. -2
  3. 0
  4. 2
  5. 4
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \ \frac{6x^5 - 4x}{2x^4+x} &= \lim_{x \to 0} \ \frac{x \ (6x^4 - 4)}{x \ (2x^3+1)} \\[8pt] &= \lim_{x \to 0} \ \frac{6x^4 - 4}{2x^3+1} \\[8pt] &= \frac{6(0)^4 - 4}{2(0)^3+1} \\[8pt] &= \frac{-4}{1} = -4 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 10: EBTANAS SMA IPS 1999

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 3} \ \frac{(x-2)^2-1}{x-3} = \cdots \)

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 4
  5. 6
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 3} \ \frac{(x-2)^2-1}{x-3} &= \lim_{x \to 3} \ \frac{(x^2-4x+4)-1}{x-3} \\[8pt] &= \lim_{x \to 3} \ \frac{x^2-4x+3}{x-3} \\[8pt] &= \lim_{x \to 3} \ \frac{(x-1)(x-3)}{x-3} \\[8pt] &= \lim_{x \to 3} \ (x-1) \\[8pt] &= 3-1=2 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 11: EBTANAS SMA IPS 1998

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \ \frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2} = \cdots \)

  1. 3
  2. 2
  3. 0
  4. -2
  5. -3
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \ \frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2} &= \lim_{x \to 2} \ \frac{(x+4)(x-2)}{(x-2)(x+1)} \\[8pt] &= \lim_{x \to 2} \ \frac{x+4}{x+1} \\[8pt] &= \frac{2+4}{2+1} = \frac{6}{3} \\[8pt] &= 2 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 12: EBTANAS SMA IPS 2000

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \ \frac{x^2+2x-8}{x^2+4x-12} = \cdots \)

  1. ∞
  2. 1
  3. 3/4
  4. 1/2
  5. 0
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \ \frac{x^2+2x-8}{x^2+4x-12} &= \lim_{x \to 2} \ \frac{(x+4)(x-2)}{(x+6)(x-2)} \\[8pt] &= \lim_{x \to 2} \ \frac{x+4}{x+6} \\[8pt] &= \frac{2+4}{2+6} = \frac{6}{8} \\[8pt] &= \frac{3}{4} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 13: UN SMA IPS 2017

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 3} \ \frac{2x^2-4x-6}{x^2-2x-3} = \cdots \)

  1. -2
  2. 0
  3. 2
  4. 6
  5. 8
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 3} \ \frac{2x^2-4x-6}{x^2-2x-3} &= \lim_{x \to 3} \ \frac{2(x^2-2x-3)}{x^2-2x-3} \\[8pt] &= \lim_{x \to 3} \ 2 \\[8pt] &= 2 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 14: UN SMA IPS 2018

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \ \frac{2x^2-x-6}{3x^2-5x-2} = \cdots \)

  1. -1
  2. 0
  3. 1/5
  4. 1
  5. 7
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \ \frac{2x^2-x-6}{3x^2-5x-2} &= \lim_{x \to 2} \ \frac{(2x+3)(x-2)}{(3x+1)(x-2)} \\[8pt] &= \lim_{x \to 2} \ \frac{(2x+3)}{(3x+1)} \\[8pt] &= \frac{2(2)+3}{3(2)+1} \\[8pt] &= 1 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 15: UN SMA IPA 2008

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \ \frac{x^3-4x}{x-2} = \cdots \)

  1. 32
  2. 16
  3. 8
  4. 4
  5. 2
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \ \frac{x^3-4x}{x-2} &= \lim_{x \to 2} \ \frac{x \ (x-2)(x+2)}{x-2} \\[8pt] &= \lim_{x \to 2} \ x (x+2) \\[8pt] &= 2(2+2) \\[8pt] &= 8 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 16: UN SMA IPA 2007

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \ \frac{x^2-5x+4}{x^3-1} = \cdots \)

  1. 3
  2. \( 2 \frac{1}{2} \)
  3. 2
  4. 1
  5. -1
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 1} \ \frac{x^2-5x+4}{x^3-1} &= \lim_{x \to 1} \ \frac{(x-1)(x-4)}{(x-1)(x^2+x+1)} \\[8pt] &= \lim_{x \to 1} \ \frac{(x-4)}{(x^2+x+1)} \\[8pt] &= \frac{1-4}{1^2+1+1} = \frac{-3}{3} \\[8pt] &= -1 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 17: SPMB 2004

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \ \frac{x^3-8}{x^2+x-6} = \cdots \)

  1. \( \frac{3}{4} \)
  2. \( \frac{2}{15} \)
  3. \( 1 \frac{1}{3} \)
  4. \( 2 \frac{2}{5} \)
  5. \( 6 \)
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \ \frac{x^3-8}{x^2+x-6} &= \lim_{x \to 2} \ \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+3)} \\[8pt] &= \lim_{x \to 2} \ \frac{x^2+2x+4}{x+3} \\[8pt] &= \frac{2^2 + 2(2) + 4}{2 + 3} \\[8pt] &= \frac{12}{5} = 2 \frac{2}{5} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 18: UMB PTN 2008

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \ \frac{4t^4 + 4t - 72}{(t-2)(t^2+3t+2)} = \cdots \)

  1. \( \frac{11}{4} \)
  2. \( \frac{11}{3} \)
  3. \( 11 \)
  4. \( 22 \)
  5. \( 33 \)
Pembahasan »
\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \ \frac{4t^4 + 4t - 72}{(t-2)(t^2+3t+2)} &= \lim_{x \to 2} \ \frac{4(t-2)(t^3+2t^2+4t+9)}{(t-2)(t^2+3t+2)} \\[8pt] &= \lim_{x \to 2} \ \frac{4(t^3+2t^2+4t+9)}{(t^2+3t+2)} \\[8pt] &= \frac{4((2)^3+(2)(2)^2+(4)(2)+9)}{(2)^2+(3)(2)+2} \\[8pt] &= \frac{4(33)}{12} = 11 \end{aligned}

Jawaban C.

Cukup sekian untuk artikel ini. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

Penulis: Tju Ji Long · Statistisi

Artikel Terkait
img

Limit Matematika: Definisi, Metode, dan Contoh Soal

img

Limit Fungsi Trigonometri, Contoh Soal dan Pembahasan

Today I will do what others won't, so tomorrow I can do what others can't.

Jerry Rice