JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika » Logaritma

20 Contoh Soal dan Pembahasan Logaritma Matematika SMA


Pada artikel ini kita akan membahas beberapa contoh soal logaritma matematika SMA yang sering muncul. Ada 20 soal logaritma yang kita bahas di sini. Untuk dapat mengerjakan soal logaritma dengan lancar, kita perlu pahami dulu beberapa sifat logaritma penting berikut ini:

sifat sifat logaritma

Setelah memahami sifat-sifat logaritma di atas, mari kita ke contoh soal dan pembahasan logaritma berikut ini:

Contoh 1:

Jika \( ^{25} \! \log 5^{2x} = 8 \), maka \( x = \cdots \)

  1. 1/4
  2. 1/2
  3. 6
  4. 8
  5. 10
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini, gunakan sifat logaritma ini:

\begin{aligned} {}^{a^c} \! \log b^d = \frac{d}{c} \cdot {}^a \! \log b \end{aligned}

Penyelesaian dari soal ini, yaitu:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban D.

Contoh 2:

Diketahui \( {}^5 \! \log 4 = m \). Bentuk \( {}^{25} \! \log 20 \) jika dinyatakan dalam \(m\) adalah…

  1. \(m+1\)
  2. \(m+2\)
  3. \( \frac{1}{2}m+1 \)
  4. \( \frac{1}{2}m + \frac{1}{2} \)
  5. \( \frac{1}{2}m - \frac{1}{2} \)
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini kita bisa gunakan sifat logaritma ini:

\begin{aligned} & {}^a \! \log bc = {}^a \! \log b + {}^a \! \log c \end{aligned}

Penyelesaian dari soal ini, yaitu:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban D.

Untuk soal-soal selanjutnya di bawah ini kita akan memperingkas pembahasannya tanpa menyebutkan sifat logaritma yang dipakai. Silahkan Anda cermati sendiri sifat logaritma yang digunakan.

Contoh 3:

Jika diketahui \( {}^2 \! \log 3 = x \), maka nilai \( {}^8 \! \log 12 \) adalah…

  1. \( \frac{1}{3}(-x-2) \)
  2. \( \frac{1}{3}(x-2) \)
  3. \( \frac{1}{3}(x+2) \)
  4. \( \frac{1}{3}(x+3) \)
  5. \( \frac{1}{3}(x-3) \)
Pembahasan »

Penyelesaian dari soal ini, yaitu:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban C.

Contoh 4:

Jika \( {}^9 \! \log 8 = p \) maka \( \displaystyle {}^4 \! \log \frac{1}{3} = \cdots \)

  1. \( -\frac{3}{2}p \)
  2. \( -\frac{3}{4}p \)
  3. \( -\frac{2}{3}p \)
  4. \( -\frac{4}{3}p \)
  5. \( -\frac{6}{4}p \)
Pembahasan »

Penyelesaian dari soal ini, yaitu:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban B.

Contoh 5:

Nilai dari \( \displaystyle {}^7 \! \log 4 \cdot {}^2 \! \log 5 + {}^7 \! \log \frac{49}{25} = \cdots \)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
Pembahasan »

Penyelesaian dari soal ini, yaitu:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban B.

Contoh 6:

Nilai \( 3 ( {}^2 \! \log y ) – {}^2 \! \log y^2 + {}^2 \! \log \frac{1}{y} \) adalah…

  1. \( 1 \)
  2. \( 0 \)
  3. \( y \)
  4. \( -1 \)
  5. \( -y \)
Pembahasan »

Penyelesaian dari soal ini, yaitu:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban B.

Contoh 7:

Jika \( {}^2 \! \log 3 = a \) dan \( {}^3 \! \log 5 = b \) maka \( {}^4 \! \log 45 = \cdots \)

  1. \( a(b+2) \)
  2. \( \frac{a}{2}(b+2) \)
  3. \( \frac{b}{2}(a+2) \)
  4. \( b(a+2 \)
  5. \( (a+2)(b+2) \)
Pembahasan »

Penyelesaian dari soal ini, yaitu:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban B.

Contoh 8:

Hasil dari \( \displaystyle \frac{ {}^3 \! \log 36 \cdot {}^6 \! \log 81 + {}^4 \! \log 32 }{ {}^{\frac{1}{9}} \! \log 27 } \) adalah ….

  1. \( 11 \)
  2. \( 7 \)
  3. \( 4 \)
  4. \( -7 \)
  5. \( -11 \)
Pembahasan »

Penyelesaian dari soal ini, yaitu:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban D.

Contoh 9:

Bentuk sederhana dari \( \displaystyle \frac{\log p^3 q - 2 \log q + \log p^2 q^6}{3 \log pq} = \cdots \)

  1. \( \frac{5}{2} \log pq \)
  2. \( \frac{2}{5} \log pq \)
  3. \( \frac{2}{5} \)
  4. \( \frac{3}{5} \)
  5. \( \frac{5}{3} \)
Pembahasan »

Penyelesaian dari soal ini, yaitu:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban E.

Contoh 10:

Hasil \( \displaystyle \frac{ {}^{\sqrt{3}} \! \log 5 \cdot {}^{25} \! \log 3 \sqrt{3} - {}^4 \! \log 16}{{}^3 \! \log 54-{}^3 \! \log 2} \) adalah…

  1. \( -\frac{9}{2} \)
  2. \( -\frac{1}{6} \)
  3. \( -\frac{1}{3} \)
  4. \( 3 \)
  5. \( \frac{9}{2} \)
Pembahasan »

Penyelesaian dari soal ini, yaitu:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban B.

Contoh 11:

Nilai \(x\) yang memenuhi \( \displaystyle ({}^4 \! \log x)^2 - {}^2 \! \log \sqrt{x} - \frac{3}{4} = 0 \) adalah…

  1. 16 atau 4
  2. 16 atau \( \frac{1}{4} \)
  3. 8 atau 2
  4. 8 atau \( \frac{1}{2} \)
  5. 8 atau 4
Pembahasan »

Penyelesaian dari soal ini, yaitu:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Sekarang misalkan \( {}^2 \! \log x = p \) sehingga persamaan di atas menjadi:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Untuk \(p = 3\), maka

\begin{aligned} {}^2 \! \log x = 3 \Leftrightarrow x = 2^3 = 8 \end{aligned}

Untuk \(p = -1\), maka

\begin{aligned} {}^2 \! \log x = -1 \Leftrightarrow x = 2^{-1} = \frac{1}{2} \end{aligned}

Jadi, nilai \(x\) yang memenuhi adalah 8 atau ½.

Jawaban D.

Contoh 12:

Hasil penjumlahan semua nilai \(x\) yang memenuhi persamaan \( x^{4 \log x} = \frac{x^{12}}{10^8} \) adalah…

  1. 1
  2. 11
  3. 101
  4. 110
  5. 1100
Pembahasan »

Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma dan manipulasi aljabar, penyelesaian dari soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban D.

Contoh 13:

Diketahui \( {}^p \! \log 2 = 8 \) dan \( {}^q \! \log 8 = 4 \). Jika \( s = p^4 \) dan \( t = q^2 \), maka nilai \( {}^t \! \log 2 = \cdots \)

  1. 1/4
  2. 1/3
  3. 2/3
  4. 3/2
  5. 3
Pembahasan »

Dari soal diketahui bahwa:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban D.

Contoh 14:

Diketahui \( a = {}^4 \! \log x \) dan \( b = {}^2 \! \log x \). Jika \( {}^4 \! \log b + {}^2 \! \log a =2 \), maka \( a + b \) adalah…

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 12
  5. 16
Pembahasan »

Dari soal diketahui bahwa:

\begin{aligned} a &= {}^4 \! \log x = {}^{2^2} \! \log x \\[8pt] &= \frac{1}{2} \ {}^{2} \! \log x = \frac{1}{2}b \\[8pt] b &= 2a \end{aligned}

Dengan demikian,

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban B.

Contoh 15:

Jika \( {}^x \! \log w = \frac{1}{2} \) dan \( {}^{xy} \! \log w = \frac{2}{5} \), maka nilai \( {}^y \! \log w \) adalah…

  1. 8
  2. 6
  3. 4
  4. 2
  5. 1
Pembahasan »
contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban D.

Contoh 16:

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari \( \log a^2 \) dan keliling \( \log b^4 \), maka \( {}^a \! \log b = \cdots \)

  1. \( \frac{1}{4\pi} \)
  2. \( \frac{1}{\pi} \)
  3. \( \pi \)
  4. \( 2\pi \)
  5. \( 10^{2\pi} \)
Pembahasan »

Rumus keliling lingkaran adalah \( 2 \pi r \), sehingga berlaku:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban C.

Contoh 17:

Jika diketahui \( x = \log a, \ y = \log b \) dan \( z = \log c \), maka bentuk sederhana dari \( \displaystyle \log \left( \frac{a}{b^2} \sqrt{c} \right) \) dalam \(x, y\) dan \(z\) adalah…

  1. \( \log \left( \frac{x}{y^2} \sqrt{z} \right) \)
  2. \( \log x - \log y^2 + \log \sqrt{z} \)
  3. \( \frac{x}{y^2} \sqrt{z} \)
  4. \( x-2y+\frac{1}{2}z \)
  5. \( x-y^2+\sqrt{z} \)
Pembahasan »
contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban D.

Contoh 18:

Nilai \( \displaystyle \frac{\left({}^5 \! \log 10 \right)^2 - \left({}^5 \! \log 2 \right)^2}{ {}^5 \! \log \sqrt{20} } = \cdots \)

  1. \( \frac{1}{2} \)
  2. \( 1 \)
  3. \( 2 \)
  4. \( 4 \)
  5. \( 5 \)
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal logaritma di atas kita gunakan sifat aljabar berikut:

\[ a^2 – b^2 = (a+b)(a-b) \]

Dengan demikian,

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban C.

Contoh 19:

Jika \( \displaystyle \left( {}^2 \! \log x \right)^2 - \left( {}^2 \! \log y \right)^2 = {}^2 \! \log 256 \) dan \( \displaystyle {}^2 \! \log x^2 - {}^2 \! \log y^2 = {}^2 \! \log 16 \), maka nilai dari \( {}^2 \! \log x^6 y^{-2} \) adalah…

  1. \( 24 \)
  2. \( 20 \)
  3. \( 16 \)
  4. \( 8 \)
  5. \( 4 \)
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma di atas, kita coba sederhanakan penulisan dengan memisalkan \( {}^2 \! \log x = a \) dan \( {}^2 \! \log y = b \) sehingga dapat kita tuliskan:

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Dengan menyelesaikan persamaan \(a-b = 2\) dan \(a+b=4\), kita peroleh \(a = 3\) dan \(b = 1\) sehingga

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban C.

Contoh 20:

Apabila \(x\) dan \( y \) memenuhi \( \log x^2 - \log y = 1 \) dan \( \log x + \log y = 8 \) maka nilai \( y – x = \cdots \)

  1. \( 9 \)
  2. \( 99 \)
  3. \( 990 \)
  4. \( 9.900 \)
  5. \( 99.000 \)
Pembahasan »

Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma, maka dapat kita peroleh:

contoh soal logaritma dan pembahasannya contoh soal logaritma dan pembahasannya

Dengan demikian,

contoh soal logaritma dan pembahasannya

Jawaban E.