www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Integral   ›  Integral Fungsi Logaritma Natural, Contoh Soal dan Pembahasan
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Integral Fungsi Logaritma Natural, Contoh Soal dan Pembahasan


Sering kali kita menjumpai soal integral yang melibatkan fungsi logaritma natural (ln) dan penerapannya pun cukup luas. Fungsi logaritma natural adalah suatu fungsi logaritma dengan basisnya berupa bilangan e dengan e = 2,718281828…

Jika dinyatakan dalam bentuk integral, fungsi logaritma natural dapat dituliskan sebagai:

\[ \ln x = \int_1^x \frac{1}{t} \ dt, \quad x > 0 \]

Domain dari fungsi logaritma natural adalah semua himpunan bilangan riil positif.

Ada beberapa sifat logaritma natural yang penting dan perlu untuk Anda ketahui agar dapat mengintegralkan fungsi logaritma natural dengan mantap, antara lain:

sifat sifat logaritma natural
Contoh Soal Integral Logaritma Natural
Contoh 1:

Tentukan \( \int x \ln x \ dx \).

Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = \ln x\) dan \(dv = x \ dx\) sehingga diperoleh

\begin{aligned} u = \ln x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow du &= \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] dv = x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int x \ dx \\[8pt] v &= \frac{1}{2} x^2 \end{aligned}

Dari hasil di atas, sekarang kita dapat selesaikan integral pada soal yaitu:

\begin{aligned} \int x \ln x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= \ln x \cdot \frac{1}{2}x^2 - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{2} \int x \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^2 +C \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \left( \ln x - \frac{1}{2} \right) + C \end{aligned}
Contoh 2:

Tentukan \( \int x^n \ln x \ dx \).

Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = \ln x\) dan \(dv = x^n \ dx\) sehingga diperoleh

\begin{aligned} u = \ln x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow du &= \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] dv = x^n \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int x^n \ dx \\[8pt] v &= \frac{1}{n+1} \ x^{n+1} \end{aligned}

Dari hasil di atas, sekarang kita dapat selesaikan integral pada soal yaitu:

\begin{aligned} \int x^n \ln x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= \ln x \cdot \frac{1}{n+1} \ x^{n+1} - \int \frac{1}{n+1} \ x^{n+1} \cdot \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{n+1} \ x^{n+1} \ln x - \frac{1}{n+1} \int x^n \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{n+1} \ x^{n+1} \ln x - \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1}x^{n+1} +C \\[8pt] &= \frac{1}{n+1} \ x^{n+1} \left( \ln x - \frac{1}{n+1} \right) + C \end{aligned}
Contoh 3:

Tentukan \( \int_1^e \ln x \ dx \).

Pembahasan »

Untuk menyelesaikan integral ini, kita dapat gunakan teknik integral parsial. Dengan memisalkan \(u = \ln x\) dan \(dv = dx\), sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} &u = \ln x \ \Rightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \ \Rightarrow du = \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] &dv = dx \ \Rightarrow v = x \end{aligned}

Dengan demikian, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} \int_1^e \ln x \ dx &= [uv]_1^e - \int_1^e v \ du \\[8pt] &= [x \cdot \ln x]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] &= [e\cdot \ln e - 1 \cdot \ln 1] - \int_1^e dx \\[8pt] &= [e \cdot 1 - 1 \cdot 0] - [x]_1^e \\[8pt] &= e - 0 - (e - 1) \\[8pt] &= e - e + 1 \\[8pt] &= 1 \end{aligned}

Jadi, \( \int_1^e \ln ⁡x\ dx = 1\).

Contoh 4:

Tentukan \( \displaystyle \int \frac{\sqrt{\ln x}}{x} \ dx \).

Pembahasan »

Untuk menyelesaikan integral ini kita bisa menggunakan teknik integral substitusi. Kita misalkan \(u = \ln x\), sehingga kita peroleh berikut ini:

\[ u = \ln x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \Rightarrow du = \frac{1}{x} \ dx \]

Dengan substitusi hasil di atas ke soal integral, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{\ln x}}{x} \ dx &= \int \sqrt{\ln x} \cdot \frac{1}{x} \ dx = \int \sqrt{u} \ du \\[8pt] &= \int u^{1/2} \ du = \frac{1}{\frac{1}{2}+1} u^{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\[8pt] &= \frac{2}{3} \left( \ln x \right)^{3/2} + C \quad \text{atau} \\[8pt] &= \frac{2}{3} \sqrt{(\ln x)^3} + C \end{aligned}
Contoh 5:

Tentukan \( \displaystyle \int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} \ dx \).

Pembahasan »

Kita akan gunakan teknik integral substitusi secara berulang untuk menyelesaikan integral ini. Pertama, misalkan \(u = \ln x\) sehingga kita dapatkan berikut ini:

\[ u = \ln x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \Rightarrow du = \frac{1}{x} \ dx \]

Dengan substitusi hasil di atas ke dalam soal integral, sehingga:

\begin{aligned} \int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} \ dx &= \int \frac{\ln(\ln x)}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] &= \int \frac{\ln u}{u} \ du \end{aligned}

Selanjutnya, kita akan menyelesaikan \( \int \frac{\ln u}{u} \ du \). Kita bisa selesaikan integral ini menggunakan teknik integral substitusi sekali lagi. Misalkan \( t = \ln u \) sehingga,

\[ t = \ln u \Leftrightarrow \frac{dt}{du} = \frac{1}{u} \Rightarrow dt = \frac{1}{u} \ du \]

Dengan demikian, kita peroleh hasil penyelesaian integral sebagai berikut:

\begin{aligned} \int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} \ dx &= \int \frac{\ln(\ln x)}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} \ dx = \int \frac{\ln u}{u} \ du \\[8pt] &= \int t \ dt = \frac{1}{2}t^2 + C \\[8pt] &= \frac{1}{2} (\ln u)^2 + C \\[8pt] &= \frac{1}{2} \left( \ln (\ln x) \right)^2 + C \end{aligned}
Contoh 6:

Tentukan \( \displaystyle \int \cos x \ln(\sin x) \ dx \).

Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini kita akan gunakan kombinasi dari teknik integral substitusi dan parsial. Pertama kita gunakan metode substitusi dengan memisalkan \( t = \sin x \), sehingga kita peroleh berikut:

\begin{aligned} &t = \sin x \Leftrightarrow \frac{dt}{dx} = \cos x \Rightarrow dt = \cos x \ dx \\[8pt] &\int \cos x \ln(\sin x) \ dx = \int \ln t \ dt \end{aligned}

Untuk menyelesaikan integral \( \int \ln t \ dt \), kita gunakan teknik integral parsial.

\begin{aligned} \int cos x \ln(\sin x) \ dx &= \int \ln t \ dt = \int u \ dv \\[8pt] &= uv - \int v \ du \\[8pt] &= \ln t \cdot t - \int t \cdot \frac{1}{t} \ dt \\[8pt] &= t \ln t - t + C \\[8pt] &= \sin x \cdot \ln(\sin x) - \sin x + C \end{aligned}
Contoh 7:

Tentukan \( \displaystyle \int \sin x \ln(\cos x) \ dx \).

Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini kita akan gunakan kombinasi dari teknik integral substitusi dan parsial. Pertama kita gunakan metode substitusi dengan memisalkan \( t = \cos x \), sehingga \( dt = -\sin x \ dx \) dan

\begin{aligned} \int \sin x \ln(\cos x) \ dx = -\int \ln t \ dt \end{aligned}

Untuk menyelesaikan integral \( \int \ln t \ dt \), kita gunakan teknik integral parsial.

\begin{aligned} \int \sin x \ln(\cos x) \ dx &= -\int \ln t \ dt = - \int u \ dv \\[8pt] &= -\left(uv - \int v \ du \right) \\[8pt] &= -\left( \ln t \cdot t - \int t \cdot \frac{1}{t} \ dt \right) \\[8pt] &= -t \ln t + t + C \\[8pt] &= -\cos x \cdot \ln(\cos x) - \cos x + C \end{aligned}

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.

Artikel terkait

Inside of every problem lies an opportunity.

Robert Kiyosaki