Bahas Soal Matematika » Integral › Integral Fungsi Eksponensial, Contoh Soal dan Pembahasan
Integral Fungsi Eksponensial, Contoh Soal dan Pembahasan
Integral yang melibatkan fungsi eksponensial merupakan topik yang menarik untuk dibahas karena penerapannya yang cukup luas dalam berbagai bidang. Pada artikel ini kita akan mempelajari cara mengintegralkan fungsi eksponensial lengkap dengan contoh soal beserta dengan pembahasannya.
Rumus untuk mengintegralkan fungsi eksponensial, yaitu:
Contoh Soal Integral Fungsi Eksponensial
Contoh 1:
Tentukan \(\displaystyle \int e^{-x} \ dx \).
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \(u = -x\) sehingga:
\begin{aligned} u = -x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= -1 \\[8pt] dx &= - du \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int e^{-x} \ dx &= \int e^u \ -du = -e^u + C \\[8pt] &= -e^{-x} + C \end{aligned}
Contoh 2:
Tentukan \( \displaystyle \int \left( e^x \right)^{-2} \ dx \).
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \(u = e^x\) sehingga:
\begin{aligned} u = e^x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= e^x \Rightarrow dx = \frac{du}{e^x} \\[8pt] dx &= \frac{1}{u} \ du \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int \left( e^x \right)^{-2} \ dx &= \int u^{-2} \cdot \frac{1}{u} \ du = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{u} \ du \\[8pt] &= \int \frac{1}{u^3} \ du = \int u^{-3} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{-3+1} u^{-3+1} + C \\[8pt] &= -\frac{1}{2}u^{-2} + C \\[8pt] &= -\frac{1}{2} \left( e^x \right)^{-2} + C \end{aligned}
Contoh 3:
Tentukan \( \displaystyle \int x \ e^x \ dx \).
Pembahasan:
Gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = x\) dan \(dv = e^{x} \ dx\), sehingga:
\begin{aligned} u &= x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 1 \Leftrightarrow du = dx \\[8pt] dv &= e^x \ dx \Leftrightarrow v = \int e^x \ dx = e^x \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int u \ dv &= uv - \int v \ du \\[8pt] \int x \ e^x \ dx &= x \ e^x - \int e^x \ dx \\[8pt] &= x \ e^x - e^x + C \\[8pt] &= (x-1) e^x + C \end{aligned}
Contoh 4:
Tentukan \( \displaystyle \int x \ e^{-x} \ dx \).
Pembahasan:
Gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = x\) dan \(dv = e^{-x} \ dx\), sehingga:
\begin{aligned} u &= x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 1 \Leftrightarrow du = dx \\[8pt] dv &= e^{-x} \ dx \Leftrightarrow v = \int e^{-x} \ dx = -e^{-x} \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int u \ dv &= uv - \int v \ du \\[8pt] \int x \ e^{-x} \ dx &= x \cdot -e^{-x} - \int -e^{-x} \ dx \\[8pt] &= -x \ e^{-x} + \int e^{-x} \ dx \\[8pt] &= -x \ e^{-x} + \left( -e^{-x} \right) + C \\[8pt] &= -x \ e^{-x} -e^{-x} + C \\[8pt] &= -(x+1) e^{-x} + C \end{aligned}
Contoh 5:
Tentukan \( \displaystyle \int \ e^{\sqrt{x}} \ dx \).
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi dan parsial. Misalkan \(t = \sqrt{x}\), sehingga:
\begin{aligned} t = \sqrt{x} \Leftrightarrow \frac{dt}{dx} &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \Leftrightarrow \frac{dt}{dx} = \frac{1}{2t} \\[8pt] dx &= 2t \ dt \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int e^{\sqrt{x}} \ dx &= \int e^t \cdot 2t \ dt = 2 \int t \ e^t \ dt \\[8pt] &= 2 \left[ (t-1) \ e^t \right] + C \\[8pt] &= 2 \ (\sqrt{x}-1) \ e^{\sqrt{x}} + C \end{aligned}
Contoh 6:
Tentukan \( \displaystyle \int \frac{dx}{e^x + 1} \ dx \).
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \(u = e^{-x} + 1\), sehingga:
\begin{aligned} u &= e^{-x} + 1 \Leftrightarrow u = \frac{1}{e^x} + \frac{e^x}{e^x} \Leftrightarrow u \ e^x = e^x + 1 \\[8pt] \frac{du}{dx} &= -e^{-x} \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = -\frac{1}{e^x} \Leftrightarrow dx = -e^x \ du \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int \frac{dx}{e^x + 1} &= \int \frac{-e^x \ du}{e^x \ u} = - \int \frac{1}{u} \ du \\[8pt] &= - \ln|u| + C = -\ln |e^{-x} + 1| + C \\[8pt] &= -\ln \left|\frac{e^x+1}{e^x} \right| + C \\[8pt] &= \ln \left|\frac{e^x}{e^x+1} \right| + C \end{aligned}
Contoh 7:
Tentukan \(\int e^x \cos x \ dx\).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = \cos x\) dan \(dv = e^x \ dx\) sehingga diperoleh
\begin{aligned} u = \cos x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = -\sin x \Leftrightarrow du &= -\sin x \ dx \\[8pt] dv = e^x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int e^x \ dx \\[8pt] v &= e^x \end{aligned}
Selanjutnya dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int e^x \cos x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= \cos x \cdot e^x - \int e^x \cdot (-\sin x) \ dx \\[8pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \ dx \end{aligned}
Untuk melanjutkan hasil di atas, kita perlu menyelesaikan \(\int e^x \sin x \ dx\) terlebih dahulu. Kita bisa selesaikan integral tersebut menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \(u = \sin x\) dan \(dv = e^x \ dx\) sehingga kita dapatkan berikut ini:
\begin{aligned} u = \sin x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \cos x \Leftrightarrow du &= \cos x \ dx \\[8pt] dv = e^x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int e^x \ dx \\[8pt] v &= e^x \end{aligned}
Dengan melanjutkan hasil yang kita peroleh sebelumnya kita peroleh jawaban dari integral pada soal, yaitu:
\begin{aligned} \int e^x \cos x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= \cos x \cdot e^x - \int e^x \cdot (-\sin x) \ dx \\[8pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \ dx \\[8pt] &= e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \ dx \\[8pt] \int e^x \cos x \ dx + \int e^x \cos x \ dx &= e^x \cos x + e^x \sin x \\[8pt] 2 \int e^x \cos x \ dx &= e^x \cos x + e^x \sin x \\[8pt] \int e^x \cos x \ dx &= \frac{1}{2} (e^x \cos x + e^x \sin x) + C \\[8pt] &= \frac{e^x}{2} \ (\cos x + \sin x) + C \end{aligned}
Contoh 8:
Tentukan \(\int e^x \sin x \ dx\).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = e^x\) dan \(dv = \sin x \ dx\) sehingga diperoleh
\begin{aligned} u = e^x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = e^x \Leftrightarrow du &= e^x \ dx \\[8pt] dv = \sin x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int \sin x \ dx \\[8pt] v &= -\cos x \ dx \end{aligned}
Selanjutnya dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int e^x \sin x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= e^x \cdot (-\cos x) - \int -\cos x \cdot e^x \ dx \\[8pt] &= -e^x \cos x + \int e^x \cos x \ dx \end{aligned}
Untuk melanjutkan hasil di atas, kita perlu menyelesaikan \(\int e^x \cos x \ dx\) terlebih dahulu. Kita bisa selesaikan integral tersebut menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \(u = e^x\) dan \(dv = \cos x \ dx\) sehingga kita dapatkan berikut ini:
begin{aligned} u = e^x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = e^x \Leftrightarrow du &= e^x \ dx \\[8pt] dv = \cos x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int \cos x \ dx \\[8pt] v &= \sin x \end{aligned}
Dengan melanjutkan hasil yang kita peroleh sebelumnya kita peroleh jawaban dari integral pada soal, yaitu:
\begin{aligned} \int e^x \sin x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= e^x \cdot (-\cos x) - \int -\cos x \cdot e^x \ dx \\[8pt] &= -e^x \cos x + \int e^x \cos x \ dx \\[8pt] &= -e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \sin x \ dx \\[8pt] \int e^x \sin x \ dx + \int e^x \sin x \ dx &= e^x \sin x - e^x \cos x \\[8pt] 2 \int e^x \sin x \ dx &= e^x \sin x - e^x \cos x \\[8pt] \int e^x \sin x \ dx &= \frac{1}{2} (e^x \sin x - e^x \cos x) + C \\[8pt] &= \frac{e^x}{2} \ (\sin x - \cos x) + C \end{aligned}
Contoh 9:
Tentukan hasil dari \( \displaystyle \int (e^x - e^{-x})^2 \ dx = \cdots \)
Pembahasan:
Kita bisa sederhanakan fungsi dalam integralnya terlebih dahulu agar mudah untuk diintegralkan. Perhatikan berikut ini:
\begin{aligned} \int (e^x - e^{-x})^2 \ dx &= \int \left[ (e^x)^2-2 \cdot e^x \cdot e^{-x} + (e^{-x})^2 \right] \ dx \\[8pt] &= \int (e^{2x}-2e^0+e^{-2x}) \ dx \\[8pt] &= \int (e^{2x}-2+e^{-2x}) \ dx \\[8pt] &= \int e^{2x} \ dx - \int 2 \ dx + \int e^{-2x} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}e^{2x}-2x-\frac{1}{2}e^{-2x} + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}(e^{2x}-e^{-2x})-2x + C \end{aligned}
Contoh 10:
Tentukan hasil dari \( \int 6x^2 e^{x^3} \ dx = \cdots \)
Pembahasan:
Untuk mengerjakan integral ini, kita bisa gunakan teknik substitusi dengan memisalkan \( u = x^3 \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u=x^3 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 3x^2 \\[8pt] dx &= \frac{du}{3x^2} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int 6x^2 e^{x^3} \ dx &= \int 6x^2 e^{u} \cdot \frac{du}{3x^2} \\[8pt] &= 2 \int e^u \ du \\[8pt] &= 2e^u + C \\[8pt] &= 2e^{x^3} + C \end{aligned}
Contoh 11:
Tentukan hasil dari \( \displaystyle \int \frac{e^x}{1-e^x} \ dx = \cdots \)
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi untuk menyelesaikan soal ini. Misalkan \( u = 1-e^x \) sehingga diperoleh berikut:
\begin{aligned} u=1-e^x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= -e^x \\[8pt] dx &= \frac{du}{-e^x} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int \frac{e^x}{1-e^x} \ dx &= \int \frac{e^x}{u} \cdot \frac{du}{-e^x} \\[8pt] &= -\int \frac{1}{u} \ du \\[8pt] &= -\ln|u| + C \\[8pt] &= -\ln|1-e^x|+C \end{aligned}
Contoh 12:
Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut: \( \displaystyle \int x e^{x^2-2} \ dx \)
Pembahasan:
Dari soal ini kamu mungkin berpikiran untuk menggunakan teknik parsial mengingat fungsi dalam integralnya merupakan perkalian dua fungsi, tetapi untuk soal ini akan jauh lebih cepat dan mudah jika dikerjakan dengan metode substitusi. Misalkan \( u = x^2-2 \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = x^2-2 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 2x \\[8pt] \Leftrightarrow dx &= \frac{du}{2x} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int x e^{x^2-2} \ dx &= \int x e^u \cdot \frac{du}{2x} \\[8pt] &= \frac{1}{2} \int e^u \ du = \frac{1}{2}e^u + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}e^{x^2-2} + C \end{aligned}
Contoh 13:
Tentukan hasil dari \( \displaystyle \int \frac{e^x + 1}{e^x} \ dx = \cdots \)
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa sederhanakan dulu fungsi dalam integralnya. Perhatikan berikut:
\begin{aligned} \int \frac{e^x + 1}{e^x} \ dx &= \int \left( 1 + \frac{1}{e^x} \right) \ dx = \int (1+e^{-x}) \ dx \\[8pt] &= \int 1 \ dx + \int e^{-x} \ dx \\[8pt] &= x-e^{-x} + C \end{aligned}
Contoh 14:
Hitunglah \( \displaystyle \int e^x (e^x+1)^{ \frac{1}{5} } \ dx = \cdots \)
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \( u = e^x + 1 \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = e^x + 1 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= e^x \\[8pt] \Leftrightarrow dx &= \frac{du}{e^x} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int e^x (e^x+1)^{ \frac{1}{5} } \ dx &= \int e^x u^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{du}{e^x} \\[8pt] &= \int u^{\frac{1}{5}} \ du = \frac{1}{\frac{1}{5}+1}u^{\frac{1}{5}+1} + C \\[8pt] &= \frac{5}{6}u^{\frac{6}{5}} + C = \frac{5}{6}(e^x+1)^{\frac{6}{5}}+C \end{aligned}
Contoh 15:
Hitunglah \( \displaystyle \int \frac{e^{\sqrt{x}} }{ \sqrt{x} } \ dx \).
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \( u = \sqrt{x} \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = \sqrt{x} \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \\[8pt] \Leftrightarrow dx &= 2\sqrt{x} \ du \\[8pt] \Leftrightarrow dx &= 2u \ du \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int \frac{e^{\sqrt{x}} }{ \sqrt{x} } \ dx &= \int \frac{e^u}{u} \cdot 2u \ du \\[8pt] &= 2 \int e^u \ du \\[8pt] &= 2e^u + C \\[8pt] &= 2e^{\sqrt{x}} + C \end{aligned}
Contoh 16:
Tentukan hasil dari \( \displaystyle \int \frac{e^{2x}-1 }{ e^{2x}-3 } \ dx \).
Pembahasan:
Misalkan \( u = e^{2x} \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = e^{2x} \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 2e^{2x} \\[8pt] \Leftrightarrow dx &= \frac{du}{2e^{2x}} \\[8pt] &= \frac{du}{2u} \end{aligned}
Substitusi hasil pemisalan di atas ke bentuk integral dalam soal, diperoleh:
\begin{aligned} \int \frac{e^{2x}-1 }{ e^{2x}-3 } \ dx &= \int \frac{u-1}{u-3} \cdot \frac{du}{2u} \\[8pt] &= \frac{1}{2} \int \frac{u-1}{u(u-3)} \ du \end{aligned}
Selanjutnya, gunakan teknik integral fungsi rasional untuk menyelesaikan integral baru yang diperoleh di atas. Kita akan jabarkan dulu fungsi dalam integralnya. Perhatikan berikut:
\begin{aligned} \frac{u-1}{u(u-3)} &= \frac{A}{u} + \frac{B}{u-3} \\[8pt] \frac{u-1}{u(u-3)} &= \frac{A(u-3)+Bu}{u(u-3)} \\[8pt] \frac{u-1}{u(u-3)} &= \frac{(A+B)u-3A}{u(u-3)} \\[8pt] 3A &=1 \Leftrightarrow A = \frac{1}{3} \\[8pt] A+B &= 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3}+B = 1 \\[8pt] B &= \frac{2}{3} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int \frac{e^{2x}-1 }{ e^{2x}-3 } \ dx &= \frac{1}{2} \int \frac{u-1}{u(u-3)} \ du = \frac{1}{2} \int \left( \frac{A}{u} + \frac{B}{u-3} \right) \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \int \left( \frac{1/3}{u} + \frac{2/3}{u-3} \right) \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u-3} \ du \right) \\[8pt] &= \frac{1}{6} \ln |u| + \frac{1}{3} \ln|u-3| + C \\[8pt] &= \frac{1}{6}\ln|e^{2x}| + \frac{1}{3} \ln|e^{2x}-3|+C \\[8pt] &= \frac{2x}{6} \cdot \ln e + \frac{1}{3} \ln|e^{2x}-3|+C \\[8pt] &= \frac{1}{3}x+\frac{1}{3} \ln|e^{2x}-3|+C \end{aligned}
Contoh 17:
Hitunglah \( \displaystyle \int e^x \sqrt{1+e^x} \ dx \).
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \( u = 1 + e^x \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = 1 + e^x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= e^x \\[8pt] \Leftrightarrow dx &= \frac{du}{e^x} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int e^x \sqrt{1+e^x} \ dx &= \int e^x (1+e^x)^{1/2} \ dx \\[8pt] &= \int e^x \ u^{1/2} \cdot \frac{du}{e^x} \\[8pt] &= \int u^{1/2} \ du = \frac{2}{3}u^{3/2}+C \\[8pt] &= \frac{2}{3}(1+e^x)^{3/2}+C \\[8pt] &= \frac{2}{3}(1+e^x) \sqrt{1+e^x} + C \end{aligned}
Contoh 18:
Hitunglah \( \displaystyle \int (x+3)e^{x^2+6x+6} \ dx = \cdots \).
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \( u = x^2+6x+6 \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = x^2+6x+6 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 2x+6 \\[8pt] \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 2(x+3) \\[8pt] \Leftrightarrow dx &= \frac{du}{2(x+3)} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int (x+3)e^{x^2+6x+6} \ dx &= \int (x+3) e^u \cdot \frac{du}{2(x+3)} \\[8pt] &= \frac{1}{2} \int e^u \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2}e^u + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}e^{x^2+6x+6} + C \end{aligned}
Contoh 19:
Hitunglah \( \displaystyle \int e^{x+e^x} \ dx = \cdots \)
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \( u = e^x \) maka \( du = e^x \ dx \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} \int e^{x+e^x} \ dx &= \int (e^x \cdot e^{e^x}) \ dx \\[8pt] &= \int e^u \ du \\[8pt] &= e^u + C \\[8pt] &= e^{e^x} + C \end{aligned}
Contoh 20:
Hitunglah \( \displaystyle \int \frac{e^{3x}-e^{-3x}}{e^{3x}+e^{-3x}} \ dx = \cdots \)
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \( u = e^{3x}+e^{-3x} \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = e^{3x}+e^{-3x} \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 3e^{3x}-3e^{-3x} \\[8pt] \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 3(e^{3x}-e^{-3x}) \\[8pt] \Leftrightarrow dx &= \frac{du}{3(e^{3x}-e^{-3x})} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int \frac{e^{3x}-e^{-3x}}{e^{3x}+e^{-3x}} \ dx &= \int \frac{e^{3x}-e^{-3x}}{u} \cdot \frac{du}{3(e^{3x}-e^{-3x})} \\[8pt] &= \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{3} \ln|u| + C \\[8pt] &= \frac{1}{3}\ln|e^{3x}+e^{-3x}|+C \end{aligned}
Contoh 21:
Hitunglah \( \displaystyle \int \frac{e^{2x} + 1 }{ e^{2x}-1 } \ dx = \cdots \)
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \( u = e^x – e^{-x} \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = e^x-e^{-x} \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= e^x + e^{-x} \\[8pt] dx &= \frac{du}{e^x+e^{-x}} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int \frac{e^{2x} + 1 }{ e^{2x}-1 } \ dx &= \int \frac{e^{2x} + 1 }{ e^{2x}-1 } \cdot \frac{e^{-x}}{e^{-x}} \ dx \\[8pt] &= \int \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \ dx \\[8pt] &= \int \frac{e^x+e^{-x}}{u} \cdot \frac{du}{e^x+e^{-x}} \\[8pt] &= \int \frac{1}{u} \ du \\[8pt] &= \ln|u| + C \\[8pt] &= \ln|e^x-e^{-x}| + C \end{aligned}
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.
