www.jagostat.com
www.jagostat.com
Website Belajar Matematika & Statistika
Website Belajar Matematika & Statistika
Bahas Soal Matematika » Integral › Contoh Soal dan Pembahasan Integral Parsial
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552
Contoh Soal dan Pembahasan Integral Parsial
Contoh 1:
Tentukan \( \int x \ln x \ dx \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = \ln x\) dan \(dv = x \ dx\) sehingga diperoleh
\begin{aligned} u = \ln x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow du &= \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] dv = x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int x \ dx \\[8pt] v &= \frac{1}{2} x^2 \end{aligned}
Dari hasil di atas, sekarang kita dapat selesaikan integral pada soal yaitu:
\begin{aligned} \int x \ln x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= \ln x \cdot \frac{1}{2}x^2 - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{2} \int x \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^2 +C \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \left( \ln x - \frac{1}{2} \right) + C \end{aligned}
Contoh 2:
Tentukan \( \int x^n \ln x \ dx \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = \ln x\) dan \(dv = x^n \ dx\) sehingga diperoleh
\begin{aligned} u = \ln x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow du &= \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] dv = x^n \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int x^n \ dx \\[8pt] v &= \frac{1}{n+1} \ x^{n+1} \end{aligned}
Dari hasil di atas, sekarang kita dapat selesaikan integral pada soal yaitu:
\begin{aligned} \int x^n \ln x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= \ln x \cdot \frac{1}{n+1} \ x^{n+1} - \int \frac{1}{n+1} \ x^{n+1} \cdot \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{n+1} \ x^{n+1} \ln x - \frac{1}{n+1} \int x^n \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{n+1} \ x^{n+1} \ln x - \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1}x^{n+1} +C \\[8pt] &= \frac{1}{n+1} \ x^{n+1} \left( \ln x - \frac{1}{n+1} \right) + C \end{aligned}
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.
Artikel terkait
Inside of every problem lies an opportunity.