www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Turunan   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Aplikasi Turunan
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Aplikasi Turunan


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Flag Counter
Flag Counter

Materi turunan atau diferensial mempunyai aplikasi atau penerapan yang luas dalam berbagai bidang ilmu. Beberapa penerapan turunan, antara lain:

  1. Menghitung gradien atau mencari garis singgung suatu kurva
  2. Menentukan interval di mana suatu fungsi naik atau turun
  3. Menentukan nilai stasioner suatu fungsi
  4. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persamaan gerak
  5. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum.

Kita telah membahas masing-masing dari penerapan turunan di atas pada artikel lain secara terpisah. Di artikel ini kita akan mengasah kemampuan menyelesaikan soal-soal matematika yang berkaitan dengan aplikasi atau penerapan dari turunan.

Contoh 1:

Grafik fungsi \( f(x) = x^2 – 4x + 5 \) menyinggung garis \(g\) di \( x = -1\). Gradien garis \(g\) adalah…

  1. -8
  2. -6
  3. -2
  4. 4
  5. 6
Pembahasan »

Diketahui \( f(x) = x^2 – 4x + 5 \) sehingga turunan pertama dari fungsi \( f(x) \) adalah \( f’(x) = 2x - 4 \). Karena \( m = f’(x) \), maka gradien garis singgung \(g\) diperoleh saat \(x=-1\), yaitu:

\[ m = f’(-1) = 2(-1)-4 = -6 \]

Jadi, gradien garis \(g\) adalah -6.

Jawaban B.

Contoh 2:

Garis \(k\) menyinggung grafik fungsi \( g(x) = 3x^2 – x + 6 \) di titik B(2,16). Persamaan garis \(k\) adalah…

  1. \( y = 2x - 16 \)
  2. \( y = 2x + 16 \)
  3. \( y = 11x – 6 \)
  4. \( y = 11x + 6 \)
  5. \( y = 11 x + 16 \)
Pembahasan »

Diketahui \( g(x) = 3x^2 – x + 6 \) sehingga turunan pertama dari fungsi \(g(x)\) adalah \( g’(x) = 6x-1\). Karena titik singgungnya di (2,16), maka gradien garis singgung \(k\) diperoleh saat \(x=2\), yaitu:

\[ m = g’(2) = 6(2)-1=11 \]

Selanjutnya, persamaan garis yang bergradien m = 11 dan melalui titik \( (x_1,y_1) = (2,16) \) adalah

\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\[8pt] y-16 &= 11(x-2) \\[8pt] y-16 &= 11x-22 \\[8pt] y &= 11x-6 \end{aligned}

Jadi, persamaan garis \(k\) adalah \( y = 11x-6 \).

Jawaban C.

Contoh 3:

Garis singgung pada parabola \( \displaystyle y = x^2 + 6 \frac{1}{2}x + 14 \frac{1}{2} \) yang sejajar dengan garis \( x – 2y + 3 = 0\) adalah…

  1. \( x - 2y - 9 = 0 \)
  2. \( x + 2y - 13 = 0 \)
  3. \( 2y + x + 12 = 0 \)
  4. \( 2y - x - 11 = 0 \)
  5. \( 2y - x - 1 = 0 \)
Pembahasan »

Diketahui \( \displaystyle y = x^2 + 6 \frac{1}{2}x + 14 \frac{1}{2} \) sehingga turunan pertama dari \(y\) adalah \( y’ = 2x + 6 \frac{1}{2}x \).

Selanjutnya, garis \(x – 2y + 3 = 0\) memiliki gradien

\[ m = - \frac{ \text{Koefisien} \ x}{ \text{Koefisien} \ y} = - \frac{1}{-2} = \frac{1}{2} \]

Karena \( y’ = m \) maka kita peroleh:

\begin{aligned} y' = m \Leftrightarrow 2x + 6 \frac{1}{2} &= \frac{1}{2} \\[8pt] 2x &= \frac{1}{2}-6 \frac{1}{2} \\[8pt] x &= \frac{-6}{2} = -3 \end{aligned}

Selanjutnya, dengan substitusi \(x = -3\) pada \(y\), kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} y &= x^2 + 6 \frac{1}{2}x + 14 \frac{1}{2} \\[8pt] &= (-3)^2 + 6 \frac{1}{2}(-3) + 14 \frac{1}{2} \\[8pt] &= 9 - 19 \frac{1}{2} + 14 \frac{1}{2} \\[8pt] &= 9 - 5 = 4 \end{aligned}

Jadi, titik singgungnya di (-3,4). Dengan demikian, persamaan garis yang bergradien \( m = \frac{1}{2} \) dan melalui titik \( (x_1,y_2) = (-3,4) \) adalah

\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\[8pt] y-4 &= \frac{1}{2}(x+3) \\[8pt] y-4 &= \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \\[8pt] 2y - 8 &= x + 3 \\[8pt] 2y - x - 11 &= 0 \end{aligned}

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \(2y - x - 11 = 0\).

Jawaban D.

Contoh 4: UNBK Matematika IPA 2018

Fungsi \(f(x) = x^3+3x^2-9x-7\) turun pada interval…

  1. \( 1 < x < 3 \)
  2. \( -1 < x < 3 \)
  3. \( -3 < x < 1 \)
  4. \( x < -3 \) atau \( x > 1 \)
  5. \( x < -1 \) atau \( x > 3 \)
Pembahasan »

Syarat suatu fungsi turun yaitu turunan pertamanya kurang dari nol atau \(f’(x) < 0\). Turunan pertama dari \(f(x) = x^3+3x^2-9x-7\) adalah \( f’(x) = 3x^2+6x-9 \) sehingga:

\begin{aligned} f'(x) < 0 \\[8pt] 3x^2+6x-9 < 0 \\[8pt] x^2+2x-3 < 0 \\[8pt] (x+3)(x-1) < 0 \end{aligned}

Nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan di atas yaitu \( -3 < x < 1 \). Dengan demikian, fungsi \( f(x) = x^3+3x^2-9x-7 \) akan turun pada interval \( -3 < x < 1 \).

Jawaban C.

Contoh 5: UNBK Matematika IPS 2018

Grafik fungsi \( f(x) = 2x^3-3x^2-120x+15 \) naik untuk \(x\) yang memenuhi…

  1. \( 4 < x < 5 \)
  2. \( -4 < x < 5 \)
  3. \( x < -5 \) atau \( x > 4 \)
  4. \( x < 4 \) atau \( x > 5 \)
  5. \( x < -4 \) atau \( x > 5 \)
Pembahasan »

Syarat suatu grafik fungsi akan naik yaitu turunan pertama lebih dari nol atau \( f’(x) > 0 \). Turunan pertama dari \( f(x) = 2x^3-3x^2-120x+15 \) adalah \(f’(x) = 6x^2-6x-120\) sehingga:

\begin{aligned} f'(x) > 0 \\[8pt] 6x^2-6x-120 > 0 \\[8pt] x^2-x-20 > 0 \\[8pt] (x-5)(x+4) > 0 \end{aligned}

Nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan di atas yaitu \(x < -4\) atau \(x>5\). Dengan demikian, fungsi \( f(x) = x^3+3x^2-9x-7 \) akan naik pada interval \(x < -4\) atau \(x>5\).

Jawaban E.

Contoh 6: SPMB 2004

Grafik fungsi \( f(x) = \frac{1}{6}x^3-3x^2\) naik untuk nilai \(x\) yang memenuhi…

  1. \( 1 < x < 6 \)
  2. \( 0 < x < 12 \)
  3. \( -6 < x < 6 \)
  4. \( x < 0 \) atau \( x > 12 \)
  5. \( x < 1 \) atau \( x > 6 \)
Pembahasan »

Syarat suatu grafik fungsi \(f(x)\) akan naik adalah saat \( f’(x) > 0 \). Karena \( f(x) = \frac{1}{6}x^3-3x^2\) maka \( f’(x) = \frac{1}{2}x^2-6x\) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} f'(x) > 0 \\[8pt] \frac{1}{2}x^2-6x > 0 \\[8pt] x^2-12x > 0 \\[8pt] (x)(x-12) > 0 \end{aligned}

Nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan di atas yaitu \(x < 0\) atau \(x>12\). Dengan demikian, fungsi \( f(x) = \frac{1}{6}x^3-3x^2\) akan naik pada interval \(x < 0\) atau \(x>12\).

Jawaban D.

Contoh 7: SPMB 2004

Grafik \(f(x) = 2x^3-3x^2-12x+7\) turun untuk \(x\) yang memenuhi…

  1. \( x < 2 \)
  2. \( -1 < x < 2 \)
  3. \( -3 < x < -1 \)
  4. \( x < -1 \) atau \( x > 2 \)
  5. \( x < -3 \) atau \( x > 1 \)
Pembahasan »

Syarat suatu fungsi turun yaitu turunan pertamanya kurang dari nol atau \(f’(x) < 0\). Turunan pertama dari \( f(x) = 2x^3-3x^2-12x+7\) adalah \( f’(x) = 6x^2-6x-12 \) sehingga:

\begin{aligned} f'(x) < 0 \\[8pt] 6x^2-6x-12 < 0 \\[8pt] x^2-x-2 < 0 \\[8pt] (x-2)(x+1) < 0 \end{aligned}

Nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan di atas yaitu \( -1 < x < 2 \). Dengan demikian, fungsi \( f(x) = 2x^3-3x^2-12x+7 \) akan turun pada interval \( -1 < x < 2 \).

Jawaban B.

Contoh 8: SPMB 2005 Regional I

Pada selang \(-1 \leq x \leq 2\), fungsi \(y = x^3-3x^2+3\) mempunyai nilai maksimum…

  1. -6
  2. -1
  3. 3
  4. 6
  5. 8
Pembahasan »

Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi \(f(x)\) dapat ditentukan dengan uji turunan pertama dan kedua. Langkah-langkah untuk mencari nilai minimum dan maksimum dari suatu fungsi, yaitu:

  1. Tentukan titik stasionernya, yakni nilai \(x\) yang membuat \(f’(x) = 0\).
  2. Gunakan uji turunan kedua untuk menentukan nilai \(x\) mana yang membuat fungsi \(f(x)\) minimum atau maksimum. Jika \(x=a\) memenuhi \( f’(a) = 0 \) dan \(f’’(a) > 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) minimum atau nilai minimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\). Sebaliknya, jika \(x=a\) memenuhi \(f’(a) = 0\) dan \(f’’(a) < 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) maksimum atau nilai maksimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\).

Untuk langkah pertama, kita peroleh nilai \(x\) yang membuat \(f’(x) = 0\) adalah 0 dan 2, yakni:

\begin{aligned} f(x) &= x^3-3x^2+3 \\[8pt] f'(x) &= 3x^2-6x \Leftrightarrow f'(x) = 0 \\[8pt] 0 &= 3x^2-6x \Leftrightarrow 0 = 3x(x-2) \\[8pt] x &= 0 \quad \text{atau} \quad x = 2 \end{aligned}

Ini artinya \(f(x)\) akan maksimum/minimum di \(x=0\) atau \(x=2\). Selanjutnya, sesuai langkah 2 di atas, kita peroleh:

\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2-6x \\[8pt] f''(x) &= 6x-6 \\[8pt] f''(0) &= 6(0)-6 \\[8pt] &= -6 < 0 \quad \Rightarrow \text{nilai maksimum di f(0)} \\[8pt] f''(2) &= 6(2)-6 \\[8pt] &= 6 > 0 \quad \Rightarrow \text{nilai minimum di f(2)} \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, nilai minimum di \(f(2)\) dan nilai maksimum di \(f(0)\) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} f(x) &= x^3-3x^2+3 \\[8pt] f(0) &= 0^3-2(0)^2+3 = 3 \\[8pt] f(2) &= 2^3-3(2)^2+3 = -1 \end{aligned}

Jadi, kita peroleh nilai minimumnya yaitu -1 dan nilai maksimumnya 3.

Sebenarnya, kita juga bisa mencari nilai minimum dan maksimum tanpa menggunakan uji turunan kedua. Perhatikan bahwa setelah langkah pertama, kita langsung substitusi nilai \(x\) yang diperoleh ke fungsi \(f(x)\), kemudian menentukan nilai minimum dan maksimumnya.

\begin{aligned} f(x) &= x^3-3x^2+3 \\[8pt] f(0) &= 0^3-3(0)^2+3 \\[8pt] &= 3 \quad \text{(maksimum)} \\[8pt] f(2) &= 2^3-3(2)^2+3 \\[8pt] &= -1 \quad \text{(minimum)} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 9: SPMB 2005 Regional II

Pada selang \(0 \leq x \leq 4\), jarak terjauh dari kurva \(f(x) = x^3-6x^2+9x\) dengan sumbu \(x\) adalah…

  1. 1
  2. 2
  3. 4
  4. 8
  5. 16
Pembahasan »

Dalam soal ini ditanyakan jarak terjauh dari kurva \(f(x) = x^3-6x^2+9x\) dengan sumbu \(x\), yang berarti kita perlu menggunakan konsep nilai maksimum/minimum dari suatu fungsi.

Kita bisa gunakan uji turunan pertama dan kedua untuk mencari nilai maksimum/minimum dari suatu fungsi. Ingat bahwa jika \(x=a\) memenuhi \( f’(a) = 0 \) dan \(f’’(a) > 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) minimum atau nilai minimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\). Sebaliknya, jika \(x=a\) memenuhi \(f’(a) = 0\) dan \(f’’(a) < 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) maksimum atau nilai maksimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\).

\begin{aligned} f(x) &= x^3-6x^2+9x \\[8pt] f'(x) &= 3x^2-12x+9 \Leftrightarrow f'(x) = 0 \\[8pt] 0 &= 3x^2-12x+9 \Leftrightarrow 0 = x^2-4x+3 \\[8pt] 0 &= (x-1)(x-3) \\[8pt] x &= 1 \ \text{atau} \ x = 3 \end{aligned}

Berdasarkan hasil yang kita peroleh di atas, \(f(x)\) akan maksimum/minimum di \(x=1\) atau \(x=3\). Selanjutnya, berdasarkan uji turunan kedua, kita peroleh:

\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2-12x+9 \\[8pt] f''(x) &= 6x-12 \\[8pt] f''(1) &= 6(1)-12 = 6-12 \\[8pt] &= -6 < 0 \quad \Rightarrow \text{nilai maksimum di f(1)} \\[8pt] f''(3) &= 6(3)-12 = 18-12 \\[8pt] &= 6 > 0 \quad \Rightarrow \text{nilai minimum di f(3)} \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, nilai minimum di \(f(3)\) dan nilai maksimum di \(f(1)\) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} f(x) &= x^3-6x^2+9x \\[8pt] f(3) &= 3^3-6(3)^2+9(3) \\[8pt] &= 27-54+27 \\[8pt] &= 0 \quad \Rightarrow \text{nilai minimum} \\[8pt] f(1) &= 1^3-6(1)^2+9(1) \\[8pt] &= 1-6+9 \\[8pt] &= 4 \quad \Rightarrow \text{nilai maksimum} \end{aligned}

Jadi, pada selang \(0 \leq x \leq 4\), jarak terjauh kurva sama dengan nilai maksimum. Pada kasus ini nilai minimum adalah 0 dan nilai maksimum adalah 4, sehingga jarak terjauh kurva terhadap sumbu \(x\) adalah 4.

Jawaban C.

Contoh 10: UM STIS 2011

Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah \(x\), maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah…

  1. \( \pi x \)
  2. \( 2 \pi x \)
  3. \( \frac{x}{2 \pi} \)
  4. \( \frac{x}{\pi} \)
  5. \( \frac{x^2}{4 \pi} \)
Pembahasan »

Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya, di mana keliling dalam \(x\), sehingga berlaku:

\begin{aligned} K = 2\pi r \Leftrightarrow x &= 2\pi r \\[8pt] r &= \frac{x}{2 \pi} \\[8pt] L = \pi r^2 \Leftrightarrow L &= \pi \left( \frac{x}{2 \pi} \right)^2 = \frac{x^2}{4\pi} \end{aligned}

Laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya dapat kita tuliskan sebagai \( \frac{\Delta L}{ \Delta K} = \frac{ \Delta L }{ \Delta x } = \frac{dL}{dx} \). Dengan demikian, kita peroleh:

\begin{aligned} L = \frac{x^2}{4\pi} \Leftrightarrow \frac{dL}{dx} = \frac{2x}{4\pi} = \frac{x}{2\pi} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 11:

Nilai \(x\) pada titik stasioner fungsi \( f(x) = x+\cos x \) untuk \( 0 < x < 2\pi \) adalah…

  1. \( \frac{1}{4}\pi \)
  2. \( \frac{1}{3}\pi \)
  3. \( \frac{1}{2}\pi \)
  4. \( \frac{3}{4}\pi \)
  5. \( \frac{4}{5}\pi \)
Pembahasan »

Nilai \(x\) pada titik stasioner fungsi \(f(x)\) tersebut, yaitu:

\begin{aligned} f'(x) &= 0 \\[8pt] 1 - \sin x &= 0 \\[8pt] \sin x &= 1 \\[8pt] x &= \frac{1}{2}\pi \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 12:

Nilai maksimum dan minimum dari fungsi \( f(x) = 2 \sin(3x+5)+1 \) adalah…

  1. 2 dan 1
  2. 2 dan -1
  3. 3 dan 1
  4. 3 dan -1
  5. 4 dan -1
Pembahasan »

Kita bisa gunakan uji turunan pertama dan kedua untuk mencari nilai maksimum/minimum dari suatu fungsi. Ingat bahwa jika \(x=a\) memenuhi \( f’(a) = 0 \) dan \(f’’(a) > 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) minimum atau nilai minimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\). Sebaliknya, jika \(x=a\) memenuhi \(f’(a) = 0\) dan \(f’’(a) < 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) maksimum atau nilai maksimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\).

\begin{aligned} f(x) &= 2 \sin(3x+5)+1 \\[8pt] f'(x) &= 2 \cos(3x+5) \cdot 3 \\[8pt] 0 &= 6 \cos(3x+5) \\[8pt] 0 &= \cos(3x+5) \\[8pt] 3x+5 = 90^\circ \ &\text{atau} \ 3x+5 = 270^\circ \end{aligned}

Berdasarkan hasil yang kita peroleh di atas, \(f(x)\) akan maksimum/minimum di \(3x+5 = 90^\circ\) atau \(3x+5 = 270^\circ\). Selanjutnya, berdasarkan uji turunan kedua, kita peroleh:

\begin{aligned} f(x) &= 2 \sin(3x+5)+1 \\[8pt] f'(x) &= 6 \cos(3x+5) \\[8pt] f''(x) &= -6 \sin(3x+5) \cdot 3 \\[8pt] &= -18 \sin(3x+5) \\[8pt] 3x+5=90^\circ &\Leftrightarrow f''(x) = -18 \sin 90^\circ \\[8pt] &= -18 < 0 \\[8pt] & \Rightarrow \text{nilai maksimum di } f(x) \ \text{untuk} \ 3x+5=90^\circ \\[8pt] 3x+5=270^\circ &\Leftrightarrow f''(x) = -18 \sin 270^\circ \\[8pt] &= 18 > 0 \\[8pt] & \Rightarrow \text{nilai minimum di } f(x) \ \text{untuk} \ 3x+5=270^\circ \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, kita peroleh:

\begin{aligned} \text{untuk} \ 3x+5=90^\circ \Leftrightarrow f(x) &= 2 \sin(3x+5)+1 \\[8pt] f(x) &= 2 \sin 90^\circ + 1 \\[8pt] &= 2 \cdot 1 + 1 \\[8pt] &= 3 \quad \Rightarrow \text{nilai maksimum} \\[8pt] \text{untuk} \ 3x+5=270^\circ \Leftrightarrow f(x) &= 2 \sin(3x+5)+1 \\[8pt] f(x) &= 2 \sin 270^\circ + 1 \\[8pt] &= 2 \cdot (-1) + 1 \\[8pt] &= -1 \quad \Rightarrow \text{nilai minimum} \\[8pt] \end{aligned}

Jadi, nilai maksimum dan minimum dari fungsi \( f(x) = 2 \sin(3x+5)+1 \) adalah 3 dan -1.

Jawaban D.

Contoh 13:

Nilai \(y\) pada titik stasioner fungsi \( f(x) = \sin 2x-\cos 2x \) untuk \( 0 \leq x \leq 2\pi \) adalah…

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
  5. 3
Pembahasan »

Untuk menentukan titik stasioner, kita cari turunan dari \( f(x) = \sin 2x-\cos 2x \) terlebih dahulu, yakni \( f'(x) = 2 \cos 2x+2 \sin 2x \). Ingat titik stasioner tercapai ketika \( f’(x) = 0 \) sehingga:

\begin{aligned} f'(x) &= 0 \\[8pt] 2 \cos 2x+2 \sin 2x &= 0 \\[8pt] \cos 2x + \sin 2x &= 0 \\[8pt] x = \{ 135^\circ, 315^\circ \} \ &\text{atau} \ x = \left\{ \frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4} \right\} \end{aligned}

Nilai \(x\) yang diperoleh di atas jika disubstitusikan ke \(y=f(x) = \sin 2x-\cos 2x\), diperoleh:

\begin{aligned} y=f(x) &= \sin 2x-\cos 2x \\[8pt] f(x=135^\circ) &= \sin 2(135^\circ)-\cos 2(135^\circ) \\[8pt] &= \sin 270^\circ - \cos 270^\circ \\[8pt] &= -1-0 = -1 \\[8pt] f(x=315^\circ) &= \sin 2(315^\circ)-\cos 2(315^\circ) \\[8pt] &= \sin 630^\circ - \cos 630^\circ \\[8pt] &= \sin 270^\circ - \cos 270^\circ \\[8pt] &= -1-0 = -1 \end{aligned}

Jadi, nilai \(y\) pada titik stasioner fungsi \( f(x) = \sin 2x-\cos 2x \) adalah -1.

Jawaban B.

Contoh 14:

Diketahui fungsi \( f(x) = 2\sin 2x \) dengan \( 0 < x < 2\pi \). Salah satu koordinat titik stasioner dari fungsi tersebut adalah…

  1. \( \left( \frac{\pi}{3}, \sqrt{3} \right) \)
  2. \( \left( \frac{\pi}{4}, 2 \right) \)
  3. \( \left( \frac{2\pi}{3}, -\sqrt{3} \right) \)
  4. \( \left( \frac{3\pi}{4}, -2 \right) \)
  5. \( \left( \frac{5\pi}{3}, \frac{1}{2} \right) \)
Pembahasan »

Titik stasioner tercapai ketika \( f’(x) = 0 \), yakni:

\begin{aligned} f(x) &= 2\sin 2x \\[8pt] f'(x) &= 4 \cos 2x \\[8pt] 0 &= 4 \cos 2x \\[8pt] \cos 2x &= 0 \\[8pt] x=\{ 45^\circ, 135^\circ \} \ & \text{atau} \ x=\left\{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right\} \\[8pt] \text{untuk} \ x=\frac{\pi}{4} \Rightarrow f \left(x=\frac{\pi}{4}\right) &= 2 \sin 2 \left( \frac{\pi}{4} \right) \\[8pt] &= 2 \sin 90^\circ \\[8pt] &= 2 \cdot 1 = 2 \\[8pt] \text{untuk} \ x=\frac{3\pi}{4} \Rightarrow f \left(x=\frac{3\pi}{4}\right) &= 2 \sin 2 \left( \frac{3\pi}{4} \right) \\[8pt] &= 2 \sin 270^\circ \\[8pt] &= 2 \cdot (-1) = -2 \end{aligned}

Jawaban B atau D.

Contoh 15:

Sebuah partikel bergerak mengikuti sebuah lintasan yang dinyatakan dengan rumus \( s=6 \cos 3t + \sin^2 t + t^2 + 5 \) (dalam meter). Jika waktu yang ditempuh dalam \(t\) detik, maka kecepatan pada saat \( t = \frac{\pi}{2} \) adalah….m/detik

  1. \( 18 + \pi \)
  2. \( 15 + \pi \)
  3. \( 11 + \pi \)
  4. \( 6 + \pi \)
  5. \( 5 + \pi \)
Pembahasan »

Kecepatan (v) pada saat \( t = \frac{\pi}{2} \) sama dengan turunan pertama dari \( s=6 \cos 3t + \sin^2 t + t^2 + 5 \) untuk \( t = \frac{\pi}{2} \), yakni:

\begin{aligned} s &=6 \cos 3t + \sin^2 t + t^2 + 5 \\[8pt] v(t) = \frac{ds}{dt} &= -18 \sin 3t + 2\sin t \cos t + 2t \\[8pt] v \left(t=\frac{\pi}{2} \right) &= -18 \sin 3\left(\frac{\pi}{2} \right) + 2\sin \left(\frac{\pi}{2} \right) \cos \left(\frac{\pi}{2} \right) + 2\left(\frac{\pi}{2} \right) \\[8pt] &= -18 \sin 270^\circ + 2 \sin 90^\circ \cos 90^\circ + \pi \\[8pt] &= -18 \cdot (-1)+ 2 \cdot 1 \cdot 0 + \pi \\[8pt] &= 18+\pi \end{aligned}

Jawaban A.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.