Diketahui \( f(x) = x^2 – 4x + 5 \) sehingga turunan pertama dari fungsi \( f(x) \) adalah \( f’(x) = 2x - 4 \). Karena \( m = f’(x) \), maka gradien garis singgung \(g\) diperoleh saat \(x=-1\), yaitu:

\[ m = f’(-1) = 2(-1)-4 = -6 \]

Jadi, gradien garis \(g\) adalah -6.

Jawaban B.

Diketahui \( g(x) = 3x^2 – x + 6 \) sehingga turunan pertama dari fungsi \(g(x)\) adalah \( g’(x) = 6x-1\). Karena titik singgungnya di (2,16), maka gradien garis singgung \(k\) diperoleh saat \(x=2\), yaitu:

\[ m = g’(2) = 6(2)-1=11 \]

Selanjutnya, persamaan garis yang bergradien m = 11 dan melalui titik \( (x_1,y_1) = (2,16) \) adalah

Jadi, persamaan garis \(k\) adalah \( y = 11x-6 \).

Jawaban C.

Diketahui \( \displaystyle y = x^2 + 6 \frac{1}{2}x + 14 \frac{1}{2} \) sehingga turunan pertama dari \(y\) adalah \( y’ = 2x + 6 \frac{1}{2}x \).

Selanjutnya, garis \(x – 2y + 3 = 0\) memiliki gradien

\[ m = - \frac{ \text{Koefisien} \ x}{ \text{Koefisien} \ y} = - \frac{1}{-2} = \frac{1}{2} \]

Karena \( y’ = m \) maka kita peroleh:

Selanjutnya, dengan substitusi \(x = -3\) pada \(y\), kita peroleh hasil berikut:

Jadi, titik singgungnya di (-3,4). Dengan demikian, persamaan garis yang bergradien \( m = \frac{1}{2} \) dan melalui titik \( (x_1,y_2) = (-3,4) \) adalah

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \(2y - x - 11 = 0\).

Jawaban D.

Syarat suatu fungsi turun yaitu turunan pertamanya kurang dari nol atau \(f’(x) < 0\). Turunan pertama dari \(f(x) = x^3+3x^2-9x-7\) adalah \( f’(x) = 3x^2+6x-9 \) sehingga:

Nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan di atas yaitu \( -3 < x < 1 \). Dengan demikian, fungsi \( f(x) = x^3+3x^2-9x-7 \) akan turun pada interval \( -3 < x < 1 \).

Jawaban C.

Syarat suatu grafik fungsi akan naik yaitu turunan pertama lebih dari nol atau \( f’(x) > 0 \). Turunan pertama dari \( f(x) = 2x^3-3x^2-120x+15 \) adalah \(f’(x) = 6x^2-6x-120\) sehingga:

Nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan di atas yaitu \(x < -4\) atau \(x>5\). Dengan demikian, fungsi \( f(x) = x^3+3x^2-9x-7 \) akan naik pada interval \(x < -4\) atau \(x>5\).

Jawaban E.

Syarat suatu grafik fungsi \(f(x)\) akan naik adalah saat \( f’(x) > 0 \). Karena \( f(x) = \frac{1}{6}x^3-3x^2\) maka \( f’(x) = \frac{1}{2}x^2-6x\) sehingga kita peroleh:

Nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan di atas yaitu \(x < 0\) atau \(x>12\). Dengan demikian, fungsi \( f(x) = \frac{1}{6}x^3-3x^2\) akan naik pada interval \(x < 0\) atau \(x>12\).

Jawaban D.

Syarat suatu fungsi turun yaitu turunan pertamanya kurang dari nol atau \(f’(x) < 0\). Turunan pertama dari \( f(x) = 2x^3-3x^2-12x+7\) adalah \( f’(x) = 6x^2-6x-12 \) sehingga:

Nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan di atas yaitu \( -1 < x < 2 \). Dengan demikian, fungsi \( f(x) = 2x^3-3x^2-12x+7 \) akan turun pada interval \( -1 < x < 2 \).

Jawaban B.

Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi \(f(x)\) dapat ditentukan dengan uji turunan pertama dan kedua. Langkah-langkah untuk mencari nilai minimum dan maksimum dari suatu fungsi, yaitu:

1. Tentukan titik stasionernya, yakni nilai \(x\) yang membuat \(f’(x) = 0\).
2. Gunakan uji turunan kedua untuk menentukan nilai \(x\) mana yang membuat fungsi \(f(x)\) minimum atau maksimum. Jika \(x=a\) memenuhi \( f’(a) = 0 \) dan \(f’’(a) > 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) minimum atau nilai minimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\). Sebaliknya, jika \(x=a\) memenuhi \(f’(a) = 0\) dan \(f’’(a) < 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) maksimum atau nilai maksimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\).

Untuk langkah pertama, kita peroleh nilai \(x\) yang membuat \(f’(x) = 0\) adalah 0 dan 2, yakni:

Ini artinya \(f(x)\) akan maksimum/minimum di \(x=0\) atau \(x=2\). Selanjutnya, sesuai langkah 2 di atas, kita peroleh:

Berdasarkan hasil di atas, nilai minimum di \(f(2)\) dan nilai maksimum di \(f(0)\) sehingga kita peroleh:

Jadi, kita peroleh nilai minimumnya yaitu -1 dan nilai maksimumnya 3.

Sebenarnya, kita juga bisa mencari nilai minimum dan maksimum tanpa menggunakan uji turunan kedua. Perhatikan bahwa setelah langkah pertama, kita langsung substitusi nilai \(x\) yang diperoleh ke fungsi \(f(x)\), kemudian menentukan nilai minimum dan maksimumnya.

Jawaban C.

Dalam soal ini ditanyakan jarak terjauh dari kurva \(f(x) = x^3-6x^2+9x\) dengan sumbu \(x\), yang berarti kita perlu menggunakan konsep nilai maksimum/minimum dari suatu fungsi.

Kita bisa gunakan uji turunan pertama dan kedua untuk mencari nilai maksimum/minimum dari suatu fungsi. Ingat bahwa jika \(x=a\) memenuhi \( f’(a) = 0 \) dan \(f’’(a) > 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) minimum atau nilai minimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\). Sebaliknya, jika \(x=a\) memenuhi \(f’(a) = 0\) dan \(f’’(a) < 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) maksimum atau nilai maksimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\).

Berdasarkan hasil yang kita peroleh di atas, \(f(x)\) akan maksimum/minimum di \(x=1\) atau \(x=3\). Selanjutnya, berdasarkan uji turunan kedua, kita peroleh:

Berdasarkan hasil di atas, nilai minimum di \(f(3)\) dan nilai maksimum di \(f(1)\) sehingga kita peroleh:

Jadi, pada selang \(0 \leq x \leq 4\), jarak terjauh kurva sama dengan nilai maksimum. Pada kasus ini nilai minimum adalah 0 dan nilai maksimum adalah 4, sehingga jarak terjauh kurva terhadap sumbu \(x\) adalah 4.

Jawaban C.

Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya, di mana keliling dalam \(x\), sehingga berlaku:

Laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya dapat kita tuliskan sebagai \( \frac{\Delta L}{ \Delta K} = \frac{ \Delta L }{ \Delta x } = \frac{dL}{dx} \). Dengan demikian, kita peroleh:

Jawaban C.

Nilai \(x\) pada titik stasioner fungsi \(f(x)\) tersebut, yaitu:

Jawaban C.

Kita bisa gunakan uji turunan pertama dan kedua untuk mencari nilai maksimum/minimum dari suatu fungsi. Ingat bahwa jika \(x=a\) memenuhi \( f’(a) = 0 \) dan \(f’’(a) > 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) minimum atau nilai minimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\). Sebaliknya, jika \(x=a\) memenuhi \(f’(a) = 0\) dan \(f’’(a) < 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) maksimum atau nilai maksimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\).

Berdasarkan hasil yang kita peroleh di atas, \(f(x)\) akan maksimum/minimum di \(3x+5 = 90^\circ\) atau \(3x+5 = 270^\circ\). Selanjutnya, berdasarkan uji turunan kedua, kita peroleh:

Berdasarkan hasil di atas, kita peroleh:

Jadi, nilai maksimum dan minimum dari fungsi \( f(x) = 2 \sin(3x+5)+1 \) adalah 3 dan -1.

Jawaban D.

Untuk menentukan titik stasioner, kita cari turunan dari \( f(x) = \sin 2x-\cos 2x \) terlebih dahulu, yakni \( f'(x) = 2 \cos 2x+2 \sin 2x \). Ingat titik stasioner tercapai ketika \( f’(x) = 0 \) sehingga:

Nilai \(x\) yang diperoleh di atas jika disubstitusikan ke \(y=f(x) = \sin 2x-\cos 2x\), diperoleh:

Jadi, nilai \(y\) pada titik stasioner fungsi \( f(x) = \sin 2x-\cos 2x \) adalah -1.

Jawaban B.

Titik stasioner tercapai ketika \( f’(x) = 0 \), yakni:

Jawaban B atau D.

Kecepatan (v) pada saat \( t = \frac{\pi}{2} \) sama dengan turunan pertama dari \( s=6 \cos 3t + \sin^2 t + t^2 + 5 \) untuk \( t = \frac{\pi}{2} \), yakni:

Jawaban A.