JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Vektor & Ruang Vektor › Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor
Vektor

Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor

Vektor dapat dinyatakan secara geometris dengan segmen-segmen garis yang mempunyai arah atau panah-panah di ruang-2 atau 3 dimensi.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Dalam matematika, vektor adalah objek geometri yang memiliki besar dan arah. Contoh dari vektor misalnya adalah gaya, kecepatan, perpindahan dan lainnya. Vektor dapat dinyatakan secara geometris dengan segmen-segmen garis yang mempunyai arah atau panah-panah di ruang-2 atau 3 dimensi.

Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besar vektor. Ekor panah dinamakan titik awal (initial point) dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point).

Gambar

Gambar 1.

Kita akan menyatakan vektor dengan huruf kecil tebal misalnya, a, k, v, w, dan x. Ketika membahas vektor, kita akan menyatakan bilangan sebagai skalar. Semua skalar merupakan bilangan riil dan akan dinyatakan oleh huruf kecil biasa misalnya, a, k, v, w dan x.

Sebagai contoh vektor, perhatikanlah Gambar 2. Titik awal (initial point) dari vektor \(v\) adalah \(A\) dan titik terminalnya (terminal point) adalah titik \(B\), sehingga kita bisa menuliskan: \[ v = \overrightarrow{AB} \]

Gambar

Gambar 2.

Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama, seperti vektor-vektor pada Gambar 3, dinamakan vektor yang ekivalen. Jika \(v\) dan \(w\) ekivalen maka kita dapat menuliskan: \[v=w\]

Gambar

Gambar 3.

Operasi Vektor

Penjumlahan Vektor

Aturan Jajaran Genjang untuk Penambahan Vektor

Jika \(v\) dan \(w\) adalah vektor dalam ruang 2 atau 3 dimensi yang diposisikan sehingga titik awalnya berimpit, maka kedua vektor membentuk sisi yang berdekatan dari jajaran genjang, dan jumlah \(v + w\) adalah vektor yang diwakili oleh panah dari titik awal \(v\) dan \(w\) ke titik berlawanan dari jajaran genjang (Gambar 4.a).

Aturan Segitiga untuk Penambahan Vektor

Jika \(v\) dan \(w\) adalah sebarang dua vektor, maka jumlah \(v+w\) adalah vektor yang ditentukan dengan menempatkan vektor \(w\) sehingga titik awalnya berimpit dengan titik terminal \(v\). Vektor \(v+w\) dinyatakan oleh panah dari titik awal \(v\) terhadap titik terminal \(w\) (Gambar 4.b).

Gambar

Gambar 4.

Dalam Gambar 4c kita telah membentuk dua jumlah, yakni \(v+w\) (panah biru) dan w+v (panah putih). Jelaslah bahwa: \[v+w=w+v\]

dan bahwa jumlah tersebut berimpit dengan diagonal jajaran genjang yang ditentukan oleh \(v\) dan \(w\) bila vektor-vektor ini dilokasikan sehingga vektor-vektor tersebut mempunyai titik awal yang sama.

Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol (zero vector) dan dinyatakan dengan 0. Kita definisikan \[0+v=v+0=v\] untuk tiap-tiap vektor v.

Jika \(v\) adalah sebarang vektor taknol, maka \(–v\) adalah negatif, yang didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besaran sama seperti v, tetapi mempunyai arah yang berlawanan dengan \(v\) (Gambar 5.a).

Gambar

Gambar 5.

Pengurangan Vektor

Definisi:

Jika \(v\) dan \(w\) adalah sebarang dua vektor, pengurangan \(w\) dari \(v\) didefinisikan oleh \[v-w=v+(-w)\] Perhatikan Gambar 5.b untuk ilustrasi pengurangan vektor.

Untuk mendapatkan selisih v-w tanpa menggambarkan \(–w\), maka tempatkanlah \(v\) dan \(w\) sehingga titik awalnya berimpit; vektor dari titik terminal \(w\) ke titik terminal \(v\) adalah vektor \(v-w\) (Gambar 5.c).

Perkalian Skalar

Definisi:

Jika \(v\) adalah vektor taknol dan \(k\) bilangan riil taknol (skalar), maka hasil kali \(kv\) didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya \(|k|\) kali panjang \(v\) dan yang arahnya sama seperti arah \(v\) jika \(k > 0\) dan berlawanan dengan arah \(v\) jika \(k < 0\). Kita definisikan \(kv=0\) jika \(k = 0\) atau \(v = 0\).

Gambar 6 melukiskan hubungan di antara vektor \(v\) dan vektor-vektor \(1/2v, (-1)v, 2v\), dan \((-3)v\).

Gambar

Gambar 6.

Perhatikan bahwa vektor \((-1)v\) mempunyai panjang yang sama seperti \(v\) tetapi mempunyai arah yang berlawanan. Jadi \((-1)v\) tak lain adalah negatif \(v\); yakni, \[(-1)v=-v\]

Vektor dalam Sistem Koordinat

Jika sebuah vektor v dalam ruang 2 atau ruang 3 dimensi diposisikan sehingga titik awalnya berada di titik asal sistem koordinat siku-sku, maka vektor tersebut ditentukan oleh koordinat titik terminalnya (Gambar 7). Kita sebut koordinat tersebut sebagai komponen-komponen v yang relatif terhadap sistem koordinat. Kita akan menuliskan \(v=(v_1,v_2)\) untuk menotasikan sebuah vektor v dalam ruang 2 dimensi dengan komponen-komponen \((v_1,v_2)\) dan \(v=(v_1,v_2,v_3)\) untuk menotasikan sebuah vektor v dalam ruang 3 dimensi dengan komponen-komponen \((v_1,v_2,v_3)\).

Gambar

Gambar 7.

Vektor dengan komponen yang sama harus mempunyai panjang dan arah yang sama, dan sebagai konsekuensinya vektor-vektor tersebut ekivalen. Sebagai contoh, maka dua vektor

Gambar

dalam ruang 3 dimensi adalah ekivalen jika dan hanya jika

Gambar

Operasi penambahan vektor dan operasi perkalian oleh skalar sangat mudah dilaksanakan dalam komponen-komponen. Seperti yang dilukiskan pada Gambar 8, jika \(v = (v_1, v_2)\) dan \(w=(w_1,w_2) \) maka \[ v+w=(v_1+w_2, v_2+w_2)\]

\[kv= (kv_1, kv_2) \]

Gambar

Gambar 8.

Contoh 1: Vektor

Misalkan \(v=(1,-2)\) dan \(w=(7,6)\), maka

Gambar

Contoh 2: Vektor

Jika \(v=(1,-3,2)\) dan \(w=(4,2,1)\), maka

Gambar
Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

Life is not a problem to be solved, but a reality to be experienced.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: