JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Vektor & Ruang Vektor › Perkalian Titik dan Silang
Vektor

Perkalian Titik dan Silang

Terdapat perbedaan penting antara hasil kali titik dan hasil kali silang dari dua vektor yakni hasil kali titik adalah suatu skalar dan hasil kali silang adalah suatu vektor.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Jika \(u\) dan \(v\) adalah vektor-vektor di ruang-2 dimensi atau ruang-3 dimensi dan \(θ\) adalah sudut di antara \(u\) dan \(v\), maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) \(u \cdot v\) didefinisikan sebagai

Gambar (1)

Contoh 1:

Perlihatkan Gambar 1, sudut di antara vektor \(u=(0,0,1)\) dan vektor \(v=(0,2,2)\) adalah 450. Jadi,

Gambar Gambar

Gambar 1.

Contoh di atas merupakan hasil kali titik dari dua vektor di ruang-3 dimensi, untuk hasil kali titik dari dua vektor di ruang-2 dimensi dapat diperoleh dengan cara serupa.

Misalkan \(u=(u_1, u_2, u_3)\) dan \(v=(v_1, v_2, v_3)\) adalah dua vektor taknol. Jika, seperti pada Gambar 2, \(θ\) adalah sudut di antara \(u\) dan \(v\), maka hukum cosinus menghasilkan

Gambar (2)
Gambar

Gambar 2.

Karena \( \overrightarrow{PQ} = v-u \), maka dapat kita tuliskan kembali persamaan (2) sebagai

Gambar

atau dengan mensubstitusikan

Gambar

dan

Gambar

maka setelah dilakukan penyederhanaan, kita akan dapatkan:

Gambar

Jika \(u=(u_1, u_2)\) dan \(v=(v_1, v_2)\) adalah dua vektor di ruang-2, maka rumus yang bersesuaian adalah

Gambar

Jika \(u\) dan \(v\) adalah vektor taknol, maka Rumus (1) dapat kita tuliskan sebagai

Gambar (3)

Contoh 2:

Tinjaulah vektor-vektor \(u = (2, -1, 1)\) dan \(v = (1, 1, 2)\). Carilah \(u⋅v\) dan tentukanlah sudut \(θ\) di antara \(u\) dan \(v\).

Penyelesaian:

Gambar

Untuk vektor yang diberikan kita dapat \(\left \| u \right \|=\left \| v \right \|=\sqrt{6}\), sehingga dari persamaan (3), kita peroleh

Gambar

Teorema berikutnya memperlihatkan bagaimana hasil kali titik dapat digunakan untuk mendapatkan informasi mengenai sudut di antara dua vektor; teorema tersebut juga menghasilkan hubungan penting di antara normal dan hasil kali titik.

Teorema:

Misalkan \(u\) dan \(v\) adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3.

  1. \( v⋅v = \left \| v \right \|^2 \), yakni \( \left \| v \right \| = (v⋅v)^{1/2} \)
  2. Jika \(u\) dan \(v\) adalah vektor-vektor taknol dan \(θ\) adalah sudut di antara kedua vektor tersebut, maka
  3. \(θ\) lancip, jika dan hanya jika \( u⋅v > 0 \)

    \(θ\) tumpul, jika dan hanya jika \( u⋅v < 0 \)

    \(θ = \pi/2 \) , jika dan hanya jika \( u⋅v = 0 \)

Contoh 3:

Jika \(u = (1, -2, 3)\), \(v = (-3, 4, 2)\), dan \(w = (3, 6, 3)\), maka

Gambar

Dengan demikian, \(u\) dan \(v\) membentuk sudut tumpul, \(v\) dan \(w\) membentuk sudut lancip, dan \(u\) serta \(w\) tegak lurus satu sama lain.

Vektor tegaklurus disebut juga vektor ortogonal. Pada penjelasan Teorema di atas, dua vektor taknol adalah tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya adalah nol. Jadi, dua vektor adalah tegak lurus jika dan hanya jika \(u⋅v = 0\). Untuk menetapkan bahwa \(u⋅v\) adalah vektor ortogonal maka kita dapat menuliskan \(u⊥v\).

Hubungan Perkalian titik dan panjang vektor

Pada kasus khusus jika vektor \(u = v\), maka hasil kali titik antara \(u\) dan \(v\);

Gambar

Contoh 4:

Jika \(u = (1, -2,3)\), maka:

Gambar

Teorema berikut akan memaparkan sifat penting dari hasil kali titik tersebut. Hasil kali titik ini akan bermanfaat dalam penghitungan yang mencakup vektor-vektor.

Teorema:

Jika \(u\), \(v\) dan \(w\) adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan \(k\) adalah skalar, maka

Gambar
Hasil Kali Silang

Definisi:

Jika \(u=(u_1, u_2, u_3)\) dan \(v=(v_1, v_2, v_3)\) adalah vektor di ruang-3 dimensi, maka hasil kali silang \(u × v\) adalah vektor yang didefinisikan oleh

Gambar

atau dalam notasi determinan

Gambar

Hasil perkalian vektor silang \(u \times v\) adalah berupa suatu vektor di mana tiap sel-nya merupakan hasil determinan. Determinan sel pertama diperoleh dengan membuang kolom (atau baris) pertama dari matriks, determinan sel kedua diperoleh dengan membuat kolom (atau baris) kedua dari matriks dan determinan sel ketiga dengan cara membuang kolom (atau baris) ketiga dari matriks.

Contoh 5:

Carilah \(u \times v\), di mana \(u = (1,2,-2)\) dan \(v = (3,0,1)\).

Penyelesaian:

Gambar Gambar
Hubungan perkalian titik dan perkalian silang

Terdapat perbedaan penting antara hasil kali titik dan hasil kali silang dari dua vektor yakni hasil kali titik adalah suatu skalar dan hasil kali silang adalah suatu vektor. Hubungan penting antara hasil kali titik dan hasil kali silang \(u \times v\), menunjukkan bahwa \(u \times v\) adalah ortogonal terhadap \(u\) maupun terhadap \(v\). (Perhatikan kaidah tangan kanan pada gambar di bawah bahwa \(u \times v\) tegak lurus baik terhadap \(u\) maupun \(v\))

Definisi:

Jika \(u\) dan \(v\) adalah vektor di ruang-3, maka:

Gambar

Contoh 6:

Tinjaulah vektor \( u = (1, 2, -2) \) dan \( v = (3, 0, 1) \). Kita telah menampilkan pada Contoh 5 bahwa

Gambar

karena

Gambar

dan

Gambar

maka, \(u \times v\) ortogonal baik untuk \(u\) maupun \(v\) seperti ditunjukkan oleh Teorema 5.

Teorema:

Jika \(u, v\) dan \(w\) adalah sebarang vektor di ruang-3 dimensi dan \(k\) adalah sebarang skalar, maka:

Gambar

Dapat diketahui dari teorema di atas bahwa \(u \times v\) ortogonal terhadap kedua vektor \(u\) dan \(v\). Jika vektor \(u\) dan \(v\) adalah vektor taknol, dapat ditunjukkan bahwa arah \(u \times v\) dapat ditentukan menggunakan “aturan tangan kanan”. Jika dimisalkan vektor u adalah jari telunjuk, dan vektor \(v\) adalah jari tengah dari tangan kanan kita, maka hasil perkalian silang \(u \times v\) adalah suatu vektor yang arahnya seperti ibu jari tangan kanan.

Gambar
Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

Watch your thoughts; they become words. Watch your words; they become actions. Watch your actions; they become habits. Watch your habits; they become character. Watch your character; it becomes your destiny.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: