www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Vektor & Ruang Vektor   ›  Contoh Soal Menghitung Sudut antara Dua Vektor
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal Menghitung Sudut antara Dua Vektor

Pada tulisan ini kita akan mempelajari cara menghitung besar sudut di antara dua vektor beserta contoh soal dan pembahasannya. Misalkan \( u = (u_1, u_2, u_3) \) dan \(v = (v_1, v_2, v_3)\) adalah dua vektor pada ruang-3 dimensi, maka rumus untuk menghitung besar sudut antara dua vektor tersebut, yaitu:

rumus menghitung sudut dua vektor
Contoh 1: UM UNDIP 2019

Diberikan dua vektor \(u\) dan \(v\), dengan \( u = (-1,-2,1)\) dan \(v=(2,1,1)\). Besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah…

  1. \( 45^\circ \)
  2. \( 60^\circ \)
  3. \( 75^\circ \)
  4. \( 90^\circ \)
  5. \( 120^\circ \)
Pembahasan »

Perkalian titik dua vektor \(u\) dan \(v\) yaitu \( u \cdot v = |u| \cdot |v| \cdot \cos \theta \). Kita hitung dulu panjang vektor \(u\) dan \(v\) yakni:

\begin{aligned} u = (-1,-2,1) \Leftrightarrow |u| &= \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+1^2} \\[8pt] &= \sqrt{6} \\[8pt] v = (2,1,1) \Leftrightarrow |v| &= \sqrt{2^2+1^2+1^2} \\[8pt] &= \sqrt{6} \end{aligned}

Dengan demikian, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} u \cdot v &= |u| |v| \cos \theta \\[8pt] \cos \theta &= \frac{u \cdot v}{|u| |v|} \\[8pt] &= \frac{(-1)(2)+(-2)(1)+(1)(1)}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \\[8pt] &= \frac{-2-2+1}{6} = -\frac{3}{6} \\[8pt] \cos \theta &= -\frac{1}{2} \\[8pt] \theta &= 120^\circ \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 2: UMPTN 2001

Jika \( \vec{a} = (2,k) \) dan \( \vec{b} = (3,5) \) dan \( \angle \left( \vec{a}, \vec{b} \right) = \frac{\pi}{4} \), maka konstanta positif \(k\) adalah…

  1. \( \frac{1}{4} \)
  2. \( \frac{1}{2} \)
  3. \( 2 \)
  4. \( 4 \)
  5. \( 8 \)
Pembahasan »

Dengan menggunakan rumus aturan perkalian titik dua vektor, diperoleh berikut:

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \\[8pt] (2 \cdot 3) + (k \cdot 5) &= \sqrt{2^2+k^2} \cdot \sqrt{3^2+5^2} \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \\[8pt] 6+5k &= \sqrt{4+k^2} \cdot \sqrt{9+25} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \\[8pt] (6+5k)^2 &= \left( \sqrt{4+k^2} \cdot \sqrt{34} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^2 \\[8pt] 36+60k+25k^2 &= (4+k^2) \cdot 34 \cdot \frac{1}{2} \\[8pt] 36+60k+25k^2 &= 68+17k^2 \\[8pt] 25k^2-17k^2+60k+36-68 &= 0 \\[8pt] 8k^2+60k-32 &= 0 \\[8pt] 2k^2+15k-8 &= 0 \\[8pt] (2k-1)(k+8) &= 0 \\[8pt] k = \frac{1}{2} \ \text{atau} \ k &= -8 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 3: UMPTN 2001

Jika \( \overrightarrow{OA} = (1,2) \), \( \overrightarrow{OB} = (4,2) \) dan \( \theta = \angle \left( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} \right) \), maka \( \tan \theta = \cdots \)

  1. \( \frac{3}{5} \)
  2. \( \frac{3}{4} \)
  3. \( \frac{4}{3} \)
  4. \( \frac{9}{16} \)
  5. \( \frac{16}{9} \)
Pembahasan »

Dengan menggunakan rumus aturan perkalian dua vektor, diperoleh hasil berikut:

\begin{aligned} \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} &= |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}| \cdot \cos \theta \\[8pt] (1 \cdot 4) + (2 \cdot 2) &= \sqrt{1^2+2^2} \cdot \sqrt{4^2+2^2} \cdot \cos \theta \\[8pt] 4 + 4 &= \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} \cdot \cos \theta \\[8pt] 8 &= \sqrt{100} \cdot \cos \theta \\[8pt] 8 &= 10 \cdot \cos \theta \\[8pt] \cos \theta &= \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \end{aligned}

Untuk \( \cos \theta = \frac{4}{5} \), kita peroleh \( \tan \theta = \frac{3}{4} \).

Jawaban B.

Contoh 4: SPMB 2005

Diketahui vektor-vektor \( \vec{a}=(1,3,3), \ \vec{b}=(3,2,1) \) dan \( \vec{c} = (1,-5,0) \). Sudut antara vektor \( \left( \vec{a}-\vec{b} \right) \) dan \( \left( \vec{a}+\vec{c} \right) \) adalah…

  1. \( 30^\circ \)
  2. \( 45^\circ \)
  3. \( 60^\circ \)
  4. \( 90^\circ \)
  5. \( 120^\circ \)
Pembahasan »

Kita cari dulu vektor berikut:

\begin{aligned} \vec{a}-\vec{b} &= (1,3,3)-(3,2,1) \\[8pt] &= (1-3,3-2,3-1) \\[8pt] &= (-2,1,2) \\[8pt] \vec{a}+\vec{c} &= (1,3,3)+(1,-5,0) \\[8pt] &= (1+1,3-5,3+0) \\[8pt] &= (2,-2,3) \end{aligned}

Kemudian dengan menggunakan rumus perkalian titik dua vektor, diperoleh berikut:

\begin{aligned} (\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{c}) &= | (\vec{a}-\vec{b}) | \cdot |\vec{a}+\vec{c}| \cdot \cos \beta \\[8pt] \cos \beta &= \frac{(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{c})}{| (\vec{a}-\vec{b}) | \cdot |\vec{a}+\vec{c}|} \\[8pt] &= \frac{(-2)(2)+(1)(-2)+(2)(3)}{\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2} \cdot \sqrt{2^2+(-2)^2+3^2} } \\[8pt] &= \frac{-4-2+6}{\sqrt{4+1+4} \cdot \sqrt{4+4+9}} \\[8pt] &= \frac{0}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{17}} = 0 \\[8pt] \cos \beta &= 0 \Leftrightarrow \beta = \frac{\pi}{2}=90^\circ \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 5: SBMPTN 2007

Vektor \( \textbf{a} \) dan \( \textbf{b} \) membentuk sudut \(\alpha\) dengan \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} \). Jika \( |\textbf{a}| = \sqrt{5} \) dan \( \textbf{a} \cdot \textbf{b} = \sqrt{30} \), maka \( \textbf{b} \cdot \textbf{b} = \cdots \)

  1. \( 5 \)
  2. \( 6 \)
  3. \( 7 \)
  4. \( 8 \)
  5. \( 9 \)
Pembahasan »

Untuk \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} \), maka \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \). Kemudian berdasarkan rumus aturan perkalian titik dua vektor, diperoleh:

\begin{aligned} \textbf{a} \cdot \textbf{b} &= |\textbf{a}| \cdot |\textbf{b}| \cdot \cos \alpha \\[8pt] \cos \alpha &= \frac{\textbf{a} \cdot \textbf{b}}{|\textbf{a}| \cdot |\textbf{b}|} \\[8pt] \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} &= \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{5} \cdot |\textbf{b}|} \\[8pt] |\textbf{b}| &= \frac{\sqrt{30} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{7} \\[8pt] \textbf{b} \cdot \textbf{b} &= |\textbf{b}|^2 = (\sqrt{7})^2 = 7 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 6: UN 2013

Diketahui \( \vec{p} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \) dan \( \vec{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \). Apabila \(\alpha\) adalah sudut yang dibentuk antara vektor \( \vec{p} \) dan \( \vec{q} \), maka \( \tan \alpha = \cdots \)

  1. \( \frac{1}{6} \sqrt{6} \)
  2. \( \frac{1}{7} \sqrt{7} \)
  3. \( \frac{1}{6} \sqrt{7} \)
  4. \( \sqrt{6} \)
  5. \( \sqrt{7} \)
Pembahasan »

Berdasarkan rumus aturan perkalian titik dua vektor, diperoleh berikut:

\begin{aligned} \cos \alpha &= \frac{\vec{p} \cdot \vec{q} }{ |\vec{p}| |\vec{q}| } \\[8pt] \cos \alpha &= \frac{(-3)(1)+(3)(3)+(0)(-2)}{\sqrt{(-3)^2+3^2+0^2} \cdot \sqrt{1^2+3^2+(-2)^2} } \\[8pt] &= \frac{-3+9+0}{\sqrt{9+9+0} \cdot \sqrt{1+9+4}} \\[8pt] &= \frac{6}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{14}} = \frac{6}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{14} } \\[8pt] &= \frac{6}{3 \cdot 2\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \end{aligned}

Karena \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} \), maka \( \tan \alpha = \sqrt{6} \).

Jawaban D.

Contoh 7: SIMAK UI 2010

Vektor \( \vec{a}, \vec{b} \), dan \( \vec{c} \) adalah vektor-vektor unit yang masing-masing membentuk sudut \( 60^\circ \) dengan vektor lainnya. Maka \( (\vec{a}-\vec{b})(\vec{b}-\vec{c}) \) adalah…

  1. \( -\frac{1}{4} \)
  2. \( -\frac{1}{2} \)
  3. \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
  4. \( \frac{1}{4} \)
  5. \( \frac{1}{2} \)
Pembahasan »

Karena \( \vec{a}, \vec{b} \), dan \( \vec{c} \) adalah vektor-vektor unit yang berarti panjangnya adalah 1, maka kita peroleh berikut:

\begin{aligned} (\vec{a}-\vec{b})(\vec{b}-\vec{c}) &= \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} \\[8pt] &= |\vec{a}||\vec{b}| \cos 60^\circ - |\vec{a}||\vec{c}| \cos 60^\circ - |\vec{b}| + |\vec{b}||\vec{c}| \cos 60^\circ \\[8pt] &= \left( 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \right) - \left( 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \right) -1+ \left( 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \right) \\[8pt] &= \frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2} \\[8pt] &= -\frac{1}{2} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 8: UN 2011

Diketahui segitiga ABC dengan \( A(2,1,2), B(6,1,2) \) dan \( C(6,5,2) \). Jika \( \vec{u} \) mewakili \( \vec{AB} \) dan \( \vec{v} \) mewakili \( \vec{AC} \) maka sudut yang dibentuk oleh vektor \( \vec{u} \) dan \( \vec{v} \) adalah…

  1. \( 30^\circ \)
  2. \( 45^\circ \)
  3. \( 60^\circ \)
  4. \( 90^\circ \)
  5. \( 120^\circ \)
Pembahasan »

Pertama, kita tentukan vektor \( \vec{u} \) dan \( \vec{v} \) terlebih dahulu, yakni:

\begin{aligned} \vec{u} &= \overrightarrow{AB}= B-A = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\[8pt] |\vec{u}| &= \sqrt{4^2+0^2+0^2} = \sqrt{16} = 4 \\[8pt] \vec{v} &= \overrightarrow{AC}= C-A = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \\[8pt] |\vec{v}| &= \sqrt{4^2+4^2+0^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \end{aligned}

Selanjutnya, tentukan vektor yang dibentuk yang dibentuk oleh vektor \( \vec{u} \) dan \( \vec{v} \), yakni:

\begin{aligned} \cos \theta &= \frac{\vec{u} \cdot \vec{b}}{ |\vec{u}||\vec{v}| } = \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}}{ 4 \cdot 4\sqrt{2} } \\[8pt] &= \frac{16 + 0 + 0}{ 16\sqrt{2} } = \frac{1}{\sqrt{2}} \\[8pt] &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \\[8pt] \theta &= 45^\circ \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 9:

Diketahui besar sudut antara vektor \( \vec{a} \) dan \( \vec{b} \) adalah \( 60^\circ \). Jika panjang \(a\) dan \(b\) masing-masing adalah 8 dan 4, maka panjang vektor \( (\vec{a}-\vec{b}) \) adalah…

  1. \( 5 \)
  2. \( 6 \)
  3. \( 2 \sqrt{3} \)
  4. \( 4 \sqrt{3} \)
  5. \( 3 \sqrt{2} \)
Pembahasan »

Panjang vektor \( (\vec{a}-\vec{b}) \), yaitu:

\begin{aligned}|\vec{a}-\vec{b}| &= \sqrt{|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2-2 |\vec{a}|\cdot |\vec{a}| \cdot \cos 60^\circ} \\[8pt] &= \sqrt{8^2+4^2-2(8)(4)\left(\frac{1}{2} \right)} \\[8pt] &= \sqrt{64+16-32} \\[8pt] &= \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 10:

Diketahui \( \vec{a} \) dan \( \vec{b} \) adalah vektor satuan yang membentuk sudut \( 45^\circ \), maka \( (\vec{a}-\vec{b}) \vec{a} \) adalah…

  1. \( \frac{1}{2} \sqrt{3}+1 \)
  2. \( 1-\frac{1}{2} \sqrt{2} \)
  3. \( \sqrt{3}-1 \)
  4. \( \frac{1}{2} \sqrt{2}+1 \)
  5. \( \frac{1}{2} \sqrt{5}-1 \)
Pembahasan »

Karena \( \vec{a} \) dan \( \vec{b} \) adalah vektor satuan, maka panjangnya adalah 1, sehingga vektor \( (\vec{a}-\vec{b}) \vec{a} \), yaitu:

\begin{aligned} (\vec{a}-\vec{b}) \vec{a} &= \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a} \\[8pt] &= |\vec{a}| |\vec{a}| \cos 0^\circ -|\vec{b}||\vec{a}| \cos 45^\circ \\[8pt] &= \left( 1 \cdot 1 \cdot 1 \right) - \left( 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) \\[8pt] &= 1 - \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 11:

Jika titik \( A(1,2,2), \ B(5,4,2) \) dan \( C(0,-3,5) \), maka sudut antara vektor \( \overrightarrow(AB) \) dengan \( \overrightarrow(AC) \) adalah…

  1. \( \frac{1}{5 \sqrt{7}} \)
  2. \( -\frac{3}{5 \sqrt{7}} \)
  3. \( -\frac{7}{5 \sqrt{7}} \)
  4. \( \frac{7}{5} \)
  5. \( -\frac{3}{5} \)
Pembahasan »

Pertama, kita tentukan dulu vektor \( \overrightarrow(AB) \) dan \( \overrightarrow(AC) \) serta panjang masing-masing vektornya, yakni:

\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \\[8pt] &= \begin{pmatrix} 5 & 4 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \\[8pt] &= \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \end{pmatrix} \\[8pt] |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{4^2+2^2+0^2} = \sqrt{20} \\[8pt] \overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA} \\[8pt] &= \begin{pmatrix} 0 & -3 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \\[8pt] &= \begin{pmatrix} -1 & -5 & 3 \end{pmatrix} \\[8pt] |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{(-1)^2+(-5)^2+3^2} = \sqrt{35} \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, maka besar sudut antara vektor \( \overrightarrow(AB) \) dengan \( \overrightarrow(AC) \), yaitu:

\begin{aligned} \cos \theta &= \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} }{ |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| } = \frac{\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -5 & 3 \end{pmatrix}}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{35}} \\[8pt] &= \frac{4(-1)+2(-5)+(0)(3)}{\sqrt{700}} \\[8pt] &= \frac{-4-10+0}{10\sqrt{7}} = \frac{-14}{10\sqrt{7}} \\[8pt] &= -\frac{7}{5\sqrt{7}} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 12:

Diketahui \( \vec{a} = (4,2p) \) dan \( \vec{b} = (2,2) \) dan \( \angle (\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ \). Maka konstanta \(p\) adalah…

  1. \( 4 \pm 2 \sqrt{3} \)
  2. \( -2 \pm \sqrt{3} \)
  3. \( -4 \pm 3 \sqrt{2} \)
  4. \( 5 \pm 3 \sqrt{3} \)
  5. \( -4 \pm 2 \sqrt{3} \)
Pembahasan »

Berdasarkan perkalian titik dua vektor, diperoleh:

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha \\[8pt] (4)(2)+(2p)(2) &= \sqrt{4^2+(2p)^2} \cdot \sqrt{2^2+2^2} \cdot \cos 60^\circ \\[8pt] 8+4p &= \sqrt{16+4p^2} \cdot \sqrt{4+4} \cdot \frac{1}{2} \\[8pt] 16+8p &=\sqrt{16+4p^2} \cdot \sqrt{8} \\[8pt] (16+8p)^2 &= (16+4p^2) \cdot 8 \\[8pt] 256+256p+64p^2 &= 128+32p^2 \\[8pt] 32p^2+256p+128 &= 0 \\[8pt] p^2+8p+4 &= 0 \end{aligned}

Selanjutnya, untuk mencari nilai \(p\), kita dapat menggunakan rumus ABC dari persamaan kuadrat, yakni:

\begin{aligned} p_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{ 2a } = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2-4(1)(4)}}{2(1)} \\[8pt] &= \frac{-8 \pm \sqrt{64-16} }{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{48}}{2} \\[8pt] &= \frac{-8 \pm 4\sqrt{3}}{2} \\[8pt] &= -4 \pm 2\sqrt{3} \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 13:

Jika vektor-vektor \( \vec{u} = \hat{i}+\sqrt{2}\hat{j}-\sqrt{3} \hat{k} \) dan \( \vec{v} = \hat{i}+\sqrt{2}\hat{j}-\sqrt{3} \hat{k} \), maka sudut antara vektor \( \vec{u} \) dan \( \vec{v} \) adalah…

  1. \( 0^\circ \)
  2. \( 30^\circ \)
  3. \( 60^\circ \)
  4. \( 90^\circ \)
  5. \( 180^\circ \)
Pembahasan »

Perhatikan bahwa vektor \( \vec{u} \) sama dengan vektor \( \vec{v} \) yang berarti kedua vektor saling berimpit satu sama lain sehingga besar sudutnya adalah nol. Kita bisa membuktikannya dengan menggunakan rumus perkalian titik dua vektor, yakni:

\begin{aligned} \cos \alpha &= \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \\[8pt] \cos \alpha &= \frac{(1)(1)+(\sqrt{2})(\sqrt{2})+(-\sqrt{3})(-\sqrt{3})}{ \sqrt{1^2+(\sqrt{2})+(\sqrt{-3})^2} \cdot \sqrt{1^2+(\sqrt{2})+(\sqrt{-3})^2} } \\[8pt] \cos \alpha &= \frac{1+2+3}{\sqrt{1+2+3} \cdot \sqrt{1+2+3}} = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} } \\[8pt] \cos \alpha &= \frac{6}{6} = 1 \\[8pt] \alpha &= 0^0 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 14: UMB PTN 2009

Diketahui dua vektor \( \vec{a} \) dan \( \vec{b} \). Jika \( (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b} = 12 \), \( |\vec{a}| = 2 \) dan \( |\vec{b}| = 3 \), maka sudut antara \( \vec{a} \) dan \( \vec{b} \) adalah…

  1. \( 60^\circ \)
  2. \( 45^\circ \)
  3. \( 30^\circ \)
  4. \( 25^\circ \)
  5. \( 20^\circ \)
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b} = 12 \), sehingga diperoleh:

\begin{aligned} (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b} &= 12 \\[8pt] \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} &= 12 \\[8pt] |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha + |\vec{b}|^2 &= 12 \\[8pt] (2)(3) \cos \alpha + 3^2 &= 12 \\[8pt] 6 \cos \alpha + 9 &= 12 \\[8pt] 6 \cos \alpha &= 12-9 \\[8pt] \cos \alpha &= \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[8pt] \alpha &= 60^\circ \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 15: UN 2009

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan koordinat titik sudut \( A(3,0,0), \ C(0,\sqrt{7},0), D(0,0,0), F(3,\sqrt{7},4) \) dan \( H(0,0,4) \). Besar sudut antara vektor \( \overrightarrow{DH} \) dan \( \overrightarrow{DF} \) adalah…

  1. \( 15^\circ \)
  2. \( 30^\circ \)
  3. \( 45^\circ \)
  4. \( 90^\circ \)
  5. \( 120^\circ \)
Pembahasan »

Pertama, kita tentukan dulu vektor \( \overrightarrow{DH} \) dan \( \overrightarrow{DF} \) dan panjang masing-masing vektornya, yakni:

\begin{aligned} \overrightarrow{DH} &= H-D = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \\[8pt] |\overrightarrow{DH}| &= \sqrt{0^2+0^2+4^2} = \sqrt{16}=4 \\[8pt] \overrightarrow{DF} &= F-D = \begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{7} \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{7} \\ 4 \end{pmatrix} \\[8pt] |\overrightarrow{DF}| &= \sqrt{3^2+(\sqrt{7})^2+4^2} = \sqrt{9+7+16} \\[8pt] &= \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \end{aligned}

Selanjutnya, cari sudut antara vektor \( \overrightarrow{DH} \) dan \( \overrightarrow{DF} \) berdasarkan rumus perkalian titik dua vektor, yakni:

\begin{aligned} \cos \alpha &= \frac{\overrightarrow{DH} \cdot \overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{DH}| |\overrightarrow{DF}|} = \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{7} \\ 4 \end{pmatrix}}{ (4) (4\sqrt{2}) } \\[8pt] &= \frac{(0)(3)+(0)(\sqrt{7})+(4)(4)}{16\sqrt{2}} \\[8pt] &= \frac{0+0+16}{16\sqrt{2}} = \frac{16}{16\sqrt{2}} \\[8pt] \cos \alpha &= \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \\[8pt] \alpha &= 45^\circ \end{aligned}

Jawaban C.

Cukup sekian untuk artikel ini. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

Penulis: Tju Ji Long · Statistisi

Artikel Terkait
img

Limit Matematika: Definisi, Metode, dan Contoh Soal