www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Vektor & Ruang Vektor   ›  Contoh Soal Menghitung Panjang Vektor
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal Menghitung Panjang Vektor

Pada tulisan ini kita akan mempelajari cara menghitung panjang vektor disertai contoh soal dan pembahasannya. Misalkan diketahui \( \vec{u} = (u_1, u_2,) \) adalah vektor pada ruang 2 dimensi atau \( \vec{u} = (u_1,u_2, u_3) \) adalah vektor pada ruang 3 dimensi, maka rumus untuk menghitung panjang vektor \( \left( |\vec{u}| \right) \) yaitu:

rumus menghitung panjang vektor
Contoh 1:

Jika \( \vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}+6\vec{k} \) maka panjang vektor \( \vec{a} \) adalah…

  1. \( 12 \)
  2. \( 9 \)
  3. \( 7 \)
  4. \( 3 \sqrt{5} \)
  5. \( 2 \sqrt{6} \)
Pembahasan »

Panjang vektor \( \vec{a} \) dapat diperoleh sebagai berikut:

\begin{aligned} |\vec{a}| &= \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \\[8pt] &= \sqrt{3^2+(-2)^2+6^2} \\[8pt] &= \sqrt{9+4+36} \\[8pt] &= \sqrt{49} = 7 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 2:

Diketahui \( A(-2,1,3) \) dan \( B(6,5,2) \) maka nilai \( \overrightarrow{AB} = \cdots \)

  1. \( 3 \sqrt{2} \)
  2. \( 5 \)
  3. \( 6 \)
  4. \( 9 \)
  5. \( 2 \sqrt{3} \)
Pembahasan »

Nilai \( \overrightarrow{AB} \) dapat diperoleh sebagai berikut:

\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= B-A = (6,5,2)-(-2,1,3) \\[8pt] &= (8,4,-1) \\[8pt] |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{8^2+4^2+(-1)^2} \\[8pt] &= \sqrt{64+16+1} \\[8pt] &= \sqrt{81} = 9 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 3:

Jika \( \vec{p} = \hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k} \) dan \( \vec{q} = 3\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k} \) maka panjang vektor \( \vec{p}+\vec{q} = \cdots \)

  1. \( 4 \sqrt{3} \)
  2. \( 3 \sqrt{6} \)
  3. \( \sqrt{21} \)
  4. \( 10 \)
  5. \( 3 \sqrt{5} \)
Pembahasan »

Panjang vektor \( \vec{p}+\vec{q} \) dapat diperoleh sebagai berikut:

\begin{aligned} \vec{p}+\vec{q} &= (\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})+(3\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}) \\[8pt] &= (1+3)\hat{i}+(-2+6)\hat{j}+(2+2)\hat{k} \\[8pt] &= 4\hat{i}+4\hat{j}+4\hat{k} \\[8pt] |\vec{p}+\vec{q}| &= \sqrt{4^2+4^2+4^2} = \sqrt{16+16+16} \\[8pt] &= \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 4:

Jika diketahui vektor \( \vec{a} = p \hat{i}+2\hat{j}-\hat{k} \) dan \( \vec{b} = \hat{i}+3\hat{k} \) serta \( | \vec{a}+\vec{b} | = 2 \sqrt{3} \) maka nilai \(p = \cdots\)

  1. \( -3 \)
  2. \( -1 \)
  3. \( 2 \)
  4. \( 3 \)
  5. \( 5 \)
Pembahasan »

Dari \( | \vec{a}+\vec{b} | = 2 \sqrt{3} \), kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \vec{a}+\vec{b} &= (p, 2, -1)+(1, 0, 3) \\[8pt] &= (p+1, \ 2, \ 2) \\[8pt] |\vec{a}+\vec{b}|^2 &= (p+1)^2+2^2+2^2 \\[8pt] (2\sqrt{3})^2 &= p^2+2p+1+4+4 \\[8pt] 12 &= p^2+2p+9 \\[8pt] 0 &= p^2+2p-3 \\[8pt] 0 &= (p+3)(p-1) \\[8pt] p &= -3 \ \text{atau} \ p = 1 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 5:

Jika ABC segitiga sama kaki, di mana titik \( A(11,8,9), \ B(-1,2p,3) \) dan \( C(3,-2,-9) \) dengan panjang \( |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| \) maka nilai \( p = \cdots \)

  1. \( 1 \)
  2. \( 2 \)
  3. \( 3 \)
  4. \( 4 \)
  5. \( 5 \)
Pembahasan »

Dari apa yang diketahui dalam soal, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= B-A = (-1,2p,3)-(11,8,9) \\[8pt] &= (-12,2p-8,-6) \\[8pt] \overrightarrow{BC} &= C-B = (3,-2,-9)-(-1,2p,3) \\[8pt] &= (4,-2-2p,-12) \\[8pt] |\overrightarrow{AB}| &= \overrightarrow{BC} \\[8pt] \sqrt{(-12)^2+(2p-8)^2+(-6)^2} &= \sqrt{4^2+(-2-2p)^2+(-12)^2} \\[8pt] \sqrt{144+4p^2-32p+64+36} &= \sqrt{16+4+8p+4p^2+144} \\[8pt] \sqrt{4p^2-32p+244} &= \sqrt{4p^2+8p+164} \\[8pt] 4p^2-32p+244 &= 4p^2+8p+164 \\[8pt] 244-164 &= 8p+32p \\[8pt] 80 &= 40p \\[8pt] p &= 2 \end{aligned}

Jadi, nilai \( p \) adalah 2.

Jawaban B.

Contoh 6:

Pada segitiga KLM, diketahui \( \overrightarrow{KL} \) wakil dari vektor \( \vec{a} = 4 \hat{i}-4\hat{j}+2\hat{k} \) dan \( \overrightarrow{KM} \) wakil dari vektor \( \vec{b} = 2 \hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k} \). Nilai dari \( |\vec{a}|+|\vec{a}+\vec{b}| = \cdots \)

  1. \( 8 \)
  2. \( 10 \)
  3. \( 12 \)
  4. \( 15 \)
  5. \( 16 \)
Pembahasan »

Berdasarkan apa yang diberikan pada soal, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} |\vec{a}| &= \sqrt{4^2+(-4)^2+2^2} = \sqrt{16+16+4} \\[8pt] &= \sqrt{36} = 6 \\[8pt] \vec{a}+\vec{b} &= (4, -4, 2)+(2,4,6) = (6, 0, 8) \\[8pt] |\vec{a}+\vec{b}| &= \sqrt{6^2+0^2+8^2} = \sqrt{36+0+64} \\[8pt] &= \sqrt{100} = 10 \\[8pt] |\vec{a}|+|\vec{a}+\vec{b}| &= 6+10 = 16 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 7:

Jika \( |\vec{a}| = \sqrt{29} \) dan \( \left( \vec{a}+\vec{b} \right) \left( \vec{a}-\vec{b} \right) = -1 \), maka panjang vektor \( \vec{b} = \cdots \)

  1. \( \sqrt{21} \)
  2. \( 2 \sqrt{6} \)
  3. \( 2 \sqrt{7} \)
  4. \( \sqrt{30} \)
  5. \( 6 \)
Pembahasan »

Dari soal diketahui bahwa \( \left( \vec{a}+\vec{b} \right) \left( \vec{a}-\vec{b} \right) = -1 \), sehingga kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \left( \vec{a}+\vec{b} \right) \left( \vec{a}-\vec{b} \right) &= -1 \\[8pt] \vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} &= -1 \\[8pt] |\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2 &= -1 \\[8pt] (\sqrt{29})^2-|\vec{b}|^2 &= -1 \\[8pt] 29-|\vec{b}|^2 &= -1 \\[8pt] |\vec{b}|^2 &= 30 \\[8pt] |\vec{b}| &= \sqrt{30} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 8:

Diketahui titik R terletak pada ruas garis PQ sehingga \( \overrightarrow{PR}: \overrightarrow{PQ} = 1:2 \). Jika vektor \( \vec{p} = 3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k} \) dan \( \vec{q} = 9 \hat{i}+5\hat{j}+7\hat{k} \) maka \( |\vec{r}| = \cdots \)

  1. \( \sqrt{62} \)
  2. \( \sqrt{61} \)
  3. \( \sqrt{38} \)
  4. \( 2 \sqrt{21} \)
  5. \( 2 \sqrt{15} \)
Pembahasan »

Dari perbandingan \( \overrightarrow{PR}: \overrightarrow{PQ} = 1:2 \), dapat kita peroleh:

\begin{aligned} 2 \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{PQ} \Leftrightarrow 2 (\vec{r}-\vec{p}) &= \vec{q}-\vec{p} \\[8pt] 2 \vec{r} - 2 \vec{p} &= \vec{q} - \vec{p} \\[8pt] 2 \vec{r} &= \vec{q}-\vec{p}+2\vec{p} \\[8pt] 2 \vec{r} &= \vec{p}+\vec{q} \\[8pt] 2 \vec{r} &= (3, 1, 1)+(9,5,7) \\[8pt] 2 \vec{r} &= (12, \ 6, \ 8) \\[8pt] \vec{r} &= (6, \ 3, \ 4) \\[8pt] |\vec{r}| &= \sqrt{6^2+3^2+4^2} \\[8pt] &= \sqrt{36+9+16} \\[8pt] &= \sqrt{61} \end{aligned}

Jawaban B.

Cukup sekian untuk artikel ini. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

Penulis: Tju Ji Long · Statistisi

Artikel Terkait
img

Contoh soal perkalian titik vektor

img

Contoh soal menghitung sudut antara dua vektor