www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Aljabar Linear   »   Vektor & Ruang Vektor   ›  Proyeksi Ortogonal Vektor: Materi Contoh Soal dan Pembahasan
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552
Vektor

Proyeksi Ortogonal Vektor: Materi Contoh Soal dan Pembahasan

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Flag Counter
Flag Counter

Dalam banyak penerapan, adalah hal yang cukup menarik untuk “menguraikan” vektor \(u\) ke dalam jumlah dua suku, yang satu sejajar dengan vektor taknol \(a\) sedangkan yang lain vektor yang tegak lurus terhadap \(a\). Jika \(u\) dan \(a\) ditempatkan sedemikian rupa, maka titik awalnya akan menempati titik \(Q\), kita akan menguraikan \(u\) sebagai berikut:

Gambar

Vektor \(w_1\) sejajar dengan \(a\), vektor \(w_2\) tegak lurus dengan \(a\), dan

Gambar (1)

Karena vektor \(w_1\) sejajar dengan \(a\), maka \(w_1\) merupakan kelipatan skalar \(k\) dari \(a\):

Gambar (2)

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1):

Gambar (3)

Jika kita kalikan kedua sisi dengan \(a\), maka:

Gambar (4)

Sedangkan hubungan perkalian silang \(a \cdot a\) dengan panjang vektor adalah \(‖a‖^2\), dan vektor \(w_2\) tegak lurus terhadap \(a\), sehingga \(w_2 \cdot a = 0\). Maka:

Gambar (5)

Sehingga:

Gambar (6)

Substitusi persamaan (6) ke persamaan (2), didapat:

Gambar (7)

Vektor w1 disebut proyeksi \(u\) pada \(a\) atau kadang-kadang komponen vektor dari \(u\) yang sejajar dengan \(a\). Dinyatakan dengan: \(proy_a \ u\)

Jika persamaan (6) disubstitusikan ke persamaan (4), didapat:

Gambar (8)

Gambar (9)

atau

\[ w_2 = u - proy_a \ u \]

Vektor \(w_2\) disebut komponen vektor \(u\) yang ortogonal terhadap \(a\).

Jika \(u\) dan \(a\) adalah vektor di ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan jika \(a ≠ 0\). Maka:

Gambar

Panjang dari vektor komponen vektor \(u\) sepanjang \(a\) dapat diperoleh:

Gambar

Contoh 1: Proyeksi Ortogonal

Anggap \(u = (2, -1, 3)\) dan \(v = (4, -1, 2)\). Cari komponen vektor dari \(u\) yang sejajar \(v\) dan komponen vektor \(u\) yang ortogonal terhadap \(v\).

Pembahasan:

Gambar

Komponen vektor \(u\) yang sejajar \(v\) adalah:

Gambar

Komponen vektor \(u\) yang ortogonal terhadap \(v\) adalah:

Gambar

Bukti bahwa \(w_2\) ortogonal terhadap \(v\):

Gambar

Contoh 2: Proyeksi Ortogonal

Diketahui \(u = (3, 2, -1)\) dan \(v = (4, 5, 2)\). Cari komponen vektor dari \(u\) yang sejajar \(v\) dan komponen vektor \(u\) yang ortogonal terhadap \(v\).

Pembahasan:

Gambar

Komponen vektor \(u\) yang sejajar \(v\) adalah:

Gambar

Komponen vektor \(u\) yang ortogonal terhadap \(v\) adalah:

Gambar

Bukti bahwa \(w_2\) ortogonal terhadap \(v\):

Gambar
Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.

Artikel Terkait

Keep smiling, because life is a beautiful thing and there’s so much to smile about.