JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Vektor & Ruang Vektor › Proyeksi Ortogonal
Vektor

Proyeksi Ortogonal

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Dalam banyak penerapan, adalah hal yang cukup menarik untuk “menguraikan” vektor \(u\) ke dalam jumlah dua suku, yang satu sejajar dengan vektor taknol \(a\) sedangkan yang lain vektor yang tegak lurus terhadap \(a\). Jika \(u\) dan \(a\) ditempatkan sedemikian rupa, maka titik awalnya akan menempati titik \(Q\), kita akan menguraikan \(u\) sebagai berikut:

Gambar

Vektor \(w_1\) sejajar dengan \(a\), vektor \(w_2\) tegak lurus dengan \(a\), dan

Gambar (1)

Karena vektor \(w_1\) sejajar dengan \(a\), maka \(w_1\) merupakan kelipatan skalar \(k\) dari \(a\):

Gambar (2)

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1):

Gambar (3)

Jika kita kalikan kedua sisi dengan \(a\), maka:

Gambar (4)

Sedangkan hubungan perkalian silang \(a \cdot a\) dengan panjang vektor adalah \(‖a‖^2\), dan vektor \(w_2\) tegak lurus terhadap \(a\), sehingga \(w_2 \cdot a = 0\). Maka:

Gambar (5)

Sehingga:

Gambar (6)

Substitusi persamaan (6) ke persamaan (2), didapat:

Gambar (7)

Vektor w1 disebut proyeksi \(u\) pada \(a\) atau kadang-kadang komponen vektor dari \(u\) yang sejajar dengan \(a\). Dinyatakan dengan: \(proy_a \ u\)

Jika persamaan (6) disubstitusikan ke persamaan (4), didapat:

Gambar (8)

Gambar (9)

atau

\[ w_2 = u - proy_a \ u \]

Vektor \(w_2\) disebut komponen vektor \(u\) yang ortogonal terhadap \(a\).

Jika \(u\) dan \(a\) adalah vektor di ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan jika \(a ≠ 0\). Maka:

Gambar

Panjang dari vektor komponen vektor \(u\) sepanjang \(a\) dapat diperoleh:

Gambar

Contoh 1: Proyeksi Ortogonal

Anggap \(u = (2, -1, 3)\) dan \(v = (4, -1, 2)\). Cari komponen vektor dari \(u\) yang sejajar \(v\) dan komponen vektor \(u\) yang ortogonal terhadap \(v\).

Pembahasan:

Gambar

Komponen vektor \(u\) yang sejajar \(v\) adalah:

Gambar

Komponen vektor \(u\) yang ortogonal terhadap \(v\) adalah:

Gambar

Bukti bahwa \(w_2\) ortogonal terhadap \(v\):

Gambar

Contoh 2: Proyeksi Ortogonal

Diketahui \(u = (3, 2, -1)\) dan \(v = (4, 5, 2)\). Cari komponen vektor dari \(u\) yang sejajar \(v\) dan komponen vektor \(u\) yang ortogonal terhadap \(v\).

Pembahasan:

Gambar

Komponen vektor \(u\) yang sejajar \(v\) adalah:

Gambar

Komponen vektor \(u\) yang ortogonal terhadap \(v\) adalah:

Gambar

Bukti bahwa \(w_2\) ortogonal terhadap \(v\):

Gambar
Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

Keep smiling, because life is a beautiful thing and there’s so much to smile about.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: