www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Matematika Dasar   »   Geometri   ›  Transformasi Geometri: Rotasi (Perputaran)
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Transformasi Geometri: Rotasi (Perputaran)

Rotasi ditentukan oleh pusat perputaran, besar sudut putar, dan arah sudut putar. Suatu perputaran pada bidang datar mempunyai arah positif bila arah perputaran itu berlawanan arah dengan arah putar jarum jam.

Rotasi atau perputaran ditentukan oleh pusat perputaran, besar sudut putar, dan arah sudut putar. Suatu perputaran pada bidang datar mempunyai arah positif bila arah perputaran itu berlawanan arah dengan arah putar jarum jam. Sedangkan arah negatif terjadi bila arah perputaran itu searah dengan arah putar jarum jam.

Sekarang, amati Gambar 1 berikut.

Gambar

Gambar 1. Rotasi terhadap O sebesar \(α\) radian

Pada Gambar 1, titik \(P'(x',y')\) adalah peta dari titik \(P(x,y)\) oleh rotasi terhadap O sebesar \(α\) radian. Misalkan jika koordinat Cartesius titik \( P(x,y) \) ditulis dengan koordinat kutub menjadi titik \( P(r,θ) \) maka terdapat hubungan

Gambar

Titik \( P(x,y) = P(r,\theta) \) diputar sebesar \( \alpha \) radian terhadap titik pusat O(0,0) menghasilkan \( P'(x',y') = P'(r,\theta+\alpha) \) sehingga

Gambar
Gambar

Dari persamaan (1) dan (2), kita peroleh

Gambar

atau dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yaitu

Gambar

Jadi, jika titik \( P(x,y) \) diputar dengan pusat O sebesar \( \alpha \) radian akan menjadi titik \( P'(x',y') \) dengan:

Gambar

Bentuk matriks

Gambar

adalah matriks rotasi dengan pusat O sebesar \( \alpha \) radian.

Dengan cara yang sama, jika titik \(P(x,y)\) pada Gambar 2 di bawah diputar dengan pusat \(A(a,b)\) sebesar \( \alpha \) radian maka akan menjadi titik \(P'(x',y')\) dengan:

Gambar
Gambar

Gambar 2. Rotasi dengan pusat A(a,b) sebesar \( α \) radian

Dalam hal ini, \(P\) ditranslasi oleh \(\left( {\begin{array}{rr} -a \\ -b \end{array} } \right)\), kemudian menjadi \( (x-a, y-b) \), lalu dirotasi oleh \( α, \left( {\begin{array}{rr} \cos α & -\sin α \\ \sin α & \cos α \end{array} } \right) \), dan ditranslasi lagi oleh \(\left( {\begin{array}{rr} a \\ b \end{array} } \right)\) sehingga dihasilkan \( P'(x',y') \).

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan pembahasan mengenai transformasi geometri khususnya yang berkaitan dengan rotasi.

Contoh 1:

Tentukanlah bayangan ΔABC dengan titik sudut A(0,2), B(4,1), dan C(3,6) jika diputar dengan pusat O sebesar \( -\frac{1}{2} π \) radian!

Pembahasan:

Titik-titik sudut ΔABC dapat dibentuk dalam matriks

Gambar

Misalkan bayangan ΔABC yang terbentuk oleh rotasi sebesar \( -\frac{1}{2} π \) dengan sudut pusat O, yaitu \( A'(x_1',y_1'), B'(x_2',y_2'), C'(x_3',y_3') \) dinyatakan dalam bentuk matriks:

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

Jadi, bayangan ΔABC adalah ΔA'B'C' dengan A'(2,0), B'(1,-4), dan C'(6,-3).

Contoh 2:

Tentukanlah persamaan bayangan garis \( 2x-y+8 = 0 \) setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran 900.

Pembahasan:

Matriks rotasi dengan pusat atau pangkal koordinat sebesar 900, ditulis

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

sehingga diperoleh:

Gambar

Substitusikan x dan y ke persamaan garis.

Gambar

Jadi, bayangannya adalah \( x + 2y + 8 = 0 \).

Sumber:

Sunardi, Slamet Waluyo & Sutrisna. 2014. Konsep dan Penerapan Matematika SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Penerbit PT Bumi Aksara.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

Artikel Terkait

Not all of us can do great things. But we can do small things with great love.