www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Matematika Dasar   »   Geometri   ›  Transformasi Geometri: Dilatasi (Perkalian)
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552
Geometri

Transformasi Geometri: Dilatasi (Perkalian)

Suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun tersebut disebut dilatasi (perkalian). Suatu dilatasi ditentukan oleh titik pusat dilatasi dan faktor dilatasi (faktor skala).


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Flag Counter
Flag Counter

Pernahkan Anda melihat maket atau miniatur rumah di televisi, koran, atau pameran? Maket atau miniatur rumah/gedung merupakan model dari rumah atau gedung sebenarnya, tetapi dibuat dalam ukuran lebih kecil. Dengan kata lain, rumah atau gedung yang sebenarnya dilakukan transformasi dilatasi diperkecil dalam bentuk maket atau miniatur.

Suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun disebut dilatasi (perkalian). Suatu dilatasi ditentukan oleh titik pusat dilatasi dan faktor dilatasi (faktor skala).

Perhatikan ilustrasi dilatasi diperbesar dan diperkecil dengan pusat dilatasi di \(O(0,0)\) dan faktor dilatasi \(k\) pada Gambar 1 berikut:

transformasi geometri dilatasi

Gambar 1. Dilatasi dengan pusat O(0,0)

Dilatasi yang berpusat di titik koordinat \(O(0,0)\) dengan faktor dilatasi \(k\) dilambangkan \(D[O,k]\), sedangkan dilatasi yang berpusat di sembarang titik \(P(x,y)\) dengan faktor dilatasi \(k\) dilambangkan \(D[P,k]\) atau \([(a,b),k]\). Sebagai contoh, Gambar 1 mengilustrasikan dilatasi ABC yang berpusat di titik \(O(0,0)\) dengan berbagai faktor skala \(k\). Pada Gambar 1, \(D[O,k]\) memetakan segitiga ABC ke segitiga lain sebagai berikut.

  1. Untuk \(k = 2, D[0,2]: ΔABC \to A_1'B_1'C_1' \)
  2. Untuk \( k = \frac{1}{2}, D\left[0,\frac{1}{2}\right]: ΔABC \to A_2'B_2'C_2' \)
  3. Untuk \( k = - \frac{1}{2}, D\left[0,-\frac{1}{2}\right]: ΔABC \to A_3'B_3'C_3' \)
  4. Untuk \(k = -2, D[0,-2]: ΔABC \to A_4'B_4'C_4' \)

Berdasarkan nilai dari faktor dilatasi k, bangun hasil (bayangan) yang diperoleh dapat ditetapkan sebagai berikut:

  1. Jika \(k > 1\), maka bangun hasil terletak sepihak dari pusat dilatasi dengan bangun mula-mula dan diperbesar.
  2. Jika \(0 < k < 1\), maka bangun hasil terletak sepihak dari pusat dilatasi dengan bangun mula-mula dan diperkecil.
  3. Jika \(-1 < k < 0\), maka bangun hasil terletak berlainan pihak dari pusat dilatasi dengan bangun mula-mula dan diperkecil.
  4. Jika \(k < - 1\), maka bangun hasil terletak berlainan pihak dari pusat dilatasi dengan bangun mula-mula dan diperbesar.

Jadi, dengan mengamati Gambar 1 di atas, pada dilatasi \(D[O,k]\) juga diperoleh sifat-sifa sebagai berikut:

  1. Bangun bayangan sebangun dengan bangun mula-mula.
  2. Keliling bangun bayangannya = \(k\) x keliling bangun mula-mula.
  3. Luas bangun bayangannya = \( k^2 \) x luas bangun mula-mula.
Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0)

Perhatikan Gambar 2. Pada Gambar 2, titik \(P(x,y)\) didilatasikan terhadap titik pusat \(O\) dengan faktor dilatasi \(k\), menghasilkan titik \(P'(x',y')\), sehingga

transformasi geometri dilatasi transformasi geometri dilatasi

Gambar 2. Dilatasi dengan [O,k]

Jadi, dilatasi \([O,k]\) memetakan titik \(P(x,y)\) ke \(P'(kx,ky)\) atau

transformasi geometri dilatasi

Bentuk matriks transformasi dari \(D[O,k]\) diperoleh dari

transformasi geometri dilatasi

Sehingga,

transformasi geometri dilatasi

Agar lebih jelas, mari kita perhatikan beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1:

Tentukanlah bayangan dari \(ΔABC\) yang dibentuk oleh titik-titik sudut A(-1,4), B(-3,-1), dan C(2,3), bila didilatasikan oleh pusat dilatasi O(0,0) dengan faktor dilatasi 2.

Pembahasan:

Misalkan bayangan titik-titik A, B, dan C berturut-turut adalah \( A'(x_1',y_1'), B'(x_2',y_2'), C'(x_3',y_3') \), maka

transformasi geometri dilatasi

Titik A', B', dan C' juga dapat ditentukan dengan menggunakan matriks transformasi:

transformasi geometri dilatasi

Jadi, bayangan ΔABC adalah ΔA'B'C' dengan A'(-2,8), B'(-6,-2), dan C'(4,6).

Dilatasi terhadap Pusat (a,b)

Amati Gambar 3. Pada Gambar 3, diperoleh hubungan sebagai berikut. Jika titik P(x,y) didilatasikan oleh \( D[(a,b),k] \) akan diperoleh bayangan \( P'(x',y') \).

transformasi geometri dilatasi transformasi geometri dilatasi transformasi geometri dilatasi

Gambar 3. Dilatasi terhadap pusat (a,b)

Jadi,

transformasi geometri dilatasi

Bentuk matriks transformasi dari \( D[(a,b),k] \) diperoleh dengan cara sebagai berikut:

transformasi geometri dilatasi

Jadi, matriks transformasi dilatasi dengan pusat (a,b) dan faktor dilatasi k adalah

transformasi geometri dilatasi

Sehingga, didapatkan persamaan matriks:

transformasi geometri dilatasi

Contoh 2:

Tentukanlah bayangan dari \(ΔABC\) jika titik-titik sudut A(-1,4), B(2,3), dan C(3,-2) didilatasikan oleh \( D[(1,2), -2] \).

Pembahasan:

Misalkan bayangan titik A(-1,4), B(2,3), dan C(3,-2) oleh D[(1,2), -2] berturut-turut adalah \( A'(x_1',y_1'), B'(x_2',y_2'), C'(x_3',y_3') \). Titik-titik A', B', C' ditentukan sebagai berikut.

  1. Untuk \( A'(x_1',y_1') \) yaitu bayangan dari titik A(-1,4):
  2. transformasi geometri dilatasi

    Sehingga:

    transformasi geometri dilatasi

    Jadi, diperoleh titik A'(5,-2).

  3. Untuk \( B'(x_2',y_2') \) yaitu bayangan dari titik B(2,3):
  4. transformasi geometri dilatasi

    Sehingga:

    transformasi geometri dilatasi

    Jadi, diperoleh titik B'(-1,0).

  5. Untuk \( C'(x_3',y_3') \) yaitu bayangan dari titik C(3,-2):
  6. transformasi geometri dilatasi

    Sehingga:

    transformasi geometri dilatasi

    Jadi, diperoleh titik C'(-3,10).

Cukup sekian penjelasan mengenai transformasi geometri khususnya yang berkaitan dengan dilatasi dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Sunardi, Slamet Waluyo & Sutrisna. 2014. Konsep dan Penerapan Matematika SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Penerbit PT Bumi Aksara.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.

Artikel Terkait

If you're curious, you find lots of interesting things to do.