www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Turunan   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Eksponensial
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Eksponensial


Contoh 1:

Tentukan turunan dari \( \displaystyle f(x) = \frac{1}{2} e^{2x-3x^2} \).

Pembahasan:

Perhatikan bahwa \(f(x)\) mengandung fungsi eksponensial natural di mana kita tahu turunan dari fungsi eksponensial natural yaitu fungsi eksponensial natural itu sendiri dikali dengan turunan dari pangkatnya. Kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{2} e^{2x-3x^2} \\[8pt] f'(x) &= \frac{1}{2} e^{2x-3x^2} \cdot (2-6x) \\[8pt] &=(1-3x) \ e^{2x-3x^2} \end{aligned}
Contoh 2:

Tentukan turunan dari fungsi \( \displaystyle f(x) = 12e^{\sqrt{x+1}} \).

Pembahasan:

Ingat bahwa untuk \( f(x) = e^{g(x)} \) maka \( f’(x) = e^{g(x)} \cdot g’(x) \). Dalam soal ini, \( g(x) = \sqrt{x+1} \) sehingga kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} f(x) &= 12e^{\sqrt{x+1}} \\[8pt] f'(x) &= 12e^{\sqrt{x+1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \\[8pt] &= \frac{6e^{\sqrt{x+1}}}{\sqrt{x+1}} \end{aligned}
Contoh 3:

Tentukan hasil turunan dari \( \displaystyle f(x) = e^{2x^3} 3^{5x} \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan ini kita perlu menggunakan rumus perkalian turunan, yakni untuk \( f(x) = u \cdot v \) maka \( f’(x) = u’v+uv’ \). Dalam hal ini, \( u = e^{2x^3} \) sehingga \( u’ = e^{2x^3} \cdot 6x^2 \) dan \( v = 3^{5x} \) sehingga \( v’ = 5 (3^{5x} \ln 3) \). Dengan demikian, berdasarkan rumus perkalian turunan, kita peroleh:

\begin{aligned} f'(x) &= u'v + uv' \\[8pt] &= 6x^2e^{2x^3} \cdot 3^{5x} + e^{2x^3} \cdot 5 (3^{5x} \ln 3) \\[8pt] &= e^{2x^3} 3^{5x} \ (6x^2+5\ln3) \end{aligned}
Contoh 4:

Tentukan turunan dari \( \displaystyle f(x) = 10^{x^2-8x} \).

Pembahasan:

Dengan menggunakan rumus turunan fungsi eksponensial, kita peroleh:

\begin{aligned} f(x) &= 10^{x^2-8x} \\[8pt] f'(x) &= 10^{x^2-8x} \cdot \ln 10 \cdot (2x-8) \\[8pt] &= 10^{x^2-8x} \ (2x-8) \ln 10 \end{aligned}
Contoh 5:

Hitunglah turunan dari \( \displaystyle f(x) = \pi^{\sin^2 x} \).

Pembahasan:

Ingat bahwa untuk \( f(x) = a^{g(x)} \) maka \( f’(x) = a^{g(x)} \ln a \cdot g’(x) \). Dalam hal ini, \( g(x) = \sin^2 x \) sehingga \( g’(x) = 2 \sin x \cos x = \sin 2x \). Dengan demikian, kita peroleh:

\begin{aligned} f(x) &= \pi^{\sin^2 x} \\[8pt] f'(x) &= \pi^{\sin^2 x} \cdot \ln \pi \cdot \sin 2x \\[8pt] &= \pi^{\sin^2 x} \sin 2x \ \ln \pi \end{aligned}
Contoh 6:

Diberikan fungsi \( f(x) = 2e^{4x-3} \). Nilai dari \( f’(1) \) adalah…

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, pertama kita cari turunannya lalu substitusi \(x=1\). Kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} f(x) &= 2e^{4x-3} \\[8pt] f'(x) &= 2e^{4x-3} \cdot 4 \\[8pt] &= 8e^{4x-3} \\[8pt] f'(1) &= 8e^{4(1) - 3} \\[8pt] &= 8e \end{aligned}

Jadi, nilai \( f’(1) \) adalah \(8e\).

Contoh 7:

Turunan pertama fungsi \( f(x) = e^{3x+5} + \ln(2x+7) \) adalah \( f’(x) = \cdots \)

Pembahasan:

Fungsi dalam soal ini terdiri dari fungsi eksponensial natural dan logaritma natural. Turunan dari soal ini, yaitu:

\begin{aligned} f(x) &= e^{3x+5} + \ln(2x+7) \\[8pt] f'(x) &= e^{3x+5} \cdot 3 + \frac{1}{2x+7} \cdot 2 \\[8pt] &= 3e^{3x+5}+\frac{2}{2x+7} \end{aligned}

Jika Anda masih belum paham cara menurunkan fungsi logaritma natural, Anda dapat baca artikel ini: Contoh soal dan pembahasan turunan fungsi logaritma natural

Contoh 8:

Diberikan fungsi \( y = 3e^{-4x+8} \). Tentukan \( y’ = \cdots \) ?

Pembahasan:

Turunan dari fungsi \(y\), yaitu:

\begin{aligned} y &= 3e^{-4x+8} \\[8pt] y' &= 3e^{-4x+8} \cdot (-4) \\[8pt] &= -12e^{-4x+8} \end{aligned}

Jadi, turunan dari \( y = 3e^{-4x+8} \) adalah \( y' = -12e^{-4x+8} \).

Contoh 9:

Diberikan fungsi \( f(x) = e^{2x+5} \). Tentukan turunan pertamanya!

Pembahasan:

Turunan dari soal ini, yaitu:

\begin{aligned} f(x) &= e^{2x+5} \\[8pt] f'(x) &= e^{2x+5} \cdot 2 \\[8pt] &= 2e^{2x+5} \end{aligned}

Jadi, turunan dari \( f(x) = e^{2x+5} \) adalah \( f'(x) = 2e^{2x+5} \).

Contoh 10:

Carilah turunan dari fungsi eksponensial berikut: \( f(x) = 3^x + 3x^2 \).

Pembahasan:

Dengan menggunakan rumus turunan fungsi eksponensial dan rumus turunan fungsi aljabar, kita peroleh:

\begin{aligned} f(x) &= 3^x + 3x^2 \\[8pt] f'(x) &= 3^x \ln 3 + 6x \end{aligned}

Jadi, turunan dari \( f(x) = 3^x + 3x^2 \) adalah \( f’(x) = 3^x \ln 3 + 6x \).

Contoh 11:

Carilah turunan dari fungsi \( \displaystyle f(x) = \frac{e^x}{(1+x)} \) menggunakan turunan fungsi eksponensial.

Pembahasan:

Kita bisa mencari turunan dari fungsi dalam soal ini menggunakan aturan pembagian turunan, yakni:

\begin{aligned} f(x) &= \frac{e^x}{(1+x)} \\[8pt] f'(x) &= \frac{e^x \cdot (1+x) - e^x \cdot 1 }{(1+x)^2} \\[8pt] &= \frac{e^x \ (1+x-1)}{(1+x)^2} \\[8pt] &= \frac{xe^x}{(1+x)^2} \end{aligned}

Jadi, turunan dari fungsi \( \displaystyle f(x) = \frac{e^x}{(1+x)} \) adalah \( \displaystyle f’(x) = \frac{xe^x}{(1+x)^2} \).

Contoh 12:

Carilah turunan dari \( y = \sin(e^{3x}) \).

Pembahasan:

Misalkan \( y = \sin u \) di mana \( u = e^{3x} \) sehingga:

\begin{aligned} y &= \sin(e^{3x}) \Leftrightarrow y = \sin u \\[8pt] \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\[8pt] &= \cos u \cdot 3e^{3x} \\[8pt] &= 3e^{3x} \cos (3e^{3x}) \end{aligned}

Jadi, turunan dari \( y = \sin(e^{3x}) \) adalah \( y’ = 3e^{3x} \cos (3e^{3x}) \).

Contoh 13:

Carilah turunan dari \( y = e^{\sin x} \).

Pembahasan:

Misalkan \( u = \sin x \) sehingga \( y = e^u \). Dengan menggunakan aturan rantai turunan, kita peroleh:

\begin{aligned} y &= e^{\sin x} \Leftrightarrow y = e^u \\[8pt] \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\[8pt] &= e^u \cdot \cos x \\[8pt] &= \cos x \ (e^{\sin x}) \end{aligned}

Jadi, turunan dari \( y = e^{\sin x} \) adalah \( f’(x) = \cos x \ (e^{\sin x}) \).

Contoh 14:

Tentukan \( y''-2y'+y \) jika diketahui \( y = \frac{1}{2}x^2e^x \).

Pembahasan:

Dari soal diketahui \( y = \frac{1}{2}x^2e^x \) sehingga untuk mencari \( y' \) kita bisa gunakan aturan perkalian turunan. Misalkan \( u = \frac{1}{2}x^2 \) dan \(v = e^x\) sehingga:

\begin{aligned} u &= \frac{1}{2}x^2 \Leftrightarrow u'=x \\[8pt] v &= e^x \Leftrightarrow v'=e^x \\[8pt] y' &= u'v + uv' \\[8pt] &= x \cdot e^x + \frac{1}{2}x^2 \cdot e^x \end{aligned}

Selanjutnya, dengan menurunkan sekali lagi \( y' \) maka akan diperoleh \( y’’ \), yakni:

\begin{aligned} y' &= x \cdot e^x + \frac{1}{2}x^2 \cdot e^x \\[8pt] y'' &= (e^x+xe^x)+(xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x) \\[8pt] &= e^x + 2xe^x + \frac{1}{2}x^2e^x \end{aligned}

Dengan demikian, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} y''-2y'+ y &= e^x + 2xe^x + \frac{1}{2}x^2e^x - 2 \left( x \cdot e^x + \frac{1}{2}x^2 \cdot e^x \right) + \frac{1}{2}x^2e^x \\[8pt] &= e^x + 2xe^x + \frac{1}{2}x^2e^x - 2xe^x - x^2e^x + \frac{1}{2}x^2e^x \\[8pt] &= e^x+2xe^x-2xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x+\frac{1}{2}x^2e^x-x^2e^x \\[8pt] &= e^x \end{aligned}

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.

Artikel terkait