www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Integral   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Integral Substitusi
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Integral Substitusi

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Flag Counter
Flag Counter

Bagi kamu yang baru berkenalan dengan konsep integral, perlu kamu ketahui bahwa ada beberapa teknik atau metode untuk menyelesaikan soal integral, antara lain teknik substitusi, substitusi trigonometri, parsial, dan lain sebagainya.

Pada artikel ini kita secara khusus hanya akan membahas teknik integral substitusi beserta contoh soal dan pembahasannya, sedangkan untuk teknik integral lainnya akan dibahas di artikel lain.

Contoh 1:

Tentukan \( \displaystyle \int (3x+4) \sqrt{3x+4} \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini kita bisa gunakan teknik atau metode integral substitusi. Misalkan \(u = 3x + 4 \) sehingga kita peroleh berikut:

\begin{aligned} u = 3x+4 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 3 \\[8pt] dx = \frac{1}{3} \ du \end{aligned}

Selanjutnya, substitusikan hasil yang kita dapatkan di atas ke soal integral, sehingga:

\begin{aligned} \int (3x+4) \sqrt{3x+4} \ dx &= \int u \sqrt{u} \cdot \frac{1}{3} \ du = \frac{1}{3} \int u^{3/2} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}+1} u^{\frac{3}{2}+1} + C \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C \\[8pt] &= \frac{2}{15}(3x+4)^{\frac{5}{2}} + C \quad \text{atau} \\[8pt] &= \frac{2}{15} (3x+4)^2 \sqrt{3x+4} + C \end{aligned}
Contoh 2:

Tentukan \( \displaystyle \int 3x^2 \sqrt{2x^3+5} \ dx \).

Pembahasan:

Misalkan \(u = 2x^3 + 5\), sehingga kita peroleh berikut:

\begin{aligned} u = 2x^3+5 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 6x^2 \\[8pt] \Leftrightarrow dx = \frac{du}{6x^2} \end{aligned}

Dengan demikian, kita peroleh:

\begin{aligned} \int 3x^2 \sqrt{2x^3+5} \ dx &= \int 3x^2 \cdot \sqrt{u} \cdot \frac{du}{6x^2} \\[8pt] &= \frac{3}{6} \int \sqrt{u} \ du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}+1} u^{\frac{1}{2}+1} + C \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C \\[8pt] &= \frac{1}{3} (2x^3+5)^{3/2} + C \quad \text{atau} \\[8pt] &= \frac{1}{3} (2x^3+5) \sqrt{2x^3+5} + C \end{aligned}
Contoh 3:

Tentukan \( \displaystyle \int (x^2-1) \sqrt{2x^3-6x+7} \ dx \).

Pembahasan:

Misalkan \( u = 2x^3-6x+7 \), sehingga

\begin{aligned} u = 2x^3-6x+7 &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 6x^2-6 = 6(x^2-1) \\[8pt] &\Leftrightarrow dx = \frac{du}{6(x^2-1)} \end{aligned}

Dengan demikian,

\begin{aligned} \int (x^2-1) \sqrt{2x^3-6x+7} \ dx &= \int (x^2-1) \sqrt{u} \cdot \frac{du}{6(x^2-1)} \\[8pt] &= \frac{1}{6} \int \sqrt{u} \ du = \frac{1}{6} \int u^{1/2} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}+1} u^{\frac{1}{2}+1} + C \\[8pt] &= \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{9} u \sqrt{u} + C \\[8pt] &= \frac{1}{9} (2x^3-6x+7) \sqrt{2x^3-6x+7} + C \end{aligned}
Contoh 4:

Tentukan \( \displaystyle 4x^3 (x^4-1)^2 \ dx \).

Pembahasan:

Misalkan \(u = x^4 – 1\) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} u = x^4-1 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 4x^3 \\[8pt] du = 4x^3 \ dx \end{aligned}

Dengan demikian,

\begin{aligned} \int 4x^3 (x^4-1)^2 \ dx &= \int (x^4-1)^2 \cdot 4x^3 \ dx \\[8pt] &= \int u^2 \ du = \frac{1}{3} u^3 + C \\[8pt] &= \frac{1}{3} (x^4-1)^3 + C \end{aligned}
Contoh 5:

Hasil dari \( \int (2x-1)(x^2-x+3)^3 \ dx = \cdots \)

  1. \( \frac{1}{3} (x^2-x+3)^3 +C \)
  2. \( \frac{1}{4} (x^2-x+3)^3 +C \)
  3. \( \frac{1}{4} (x^2-x+3)^4 +C \)
  4. \( \frac{1}{2} (x^2-x+3)^4 +C \)
  5. \( (x^2-x+3)^4 +C \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita bisa gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \(u = x^2-x+3\) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u = x^2-x+3 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 2x-1 \\[8pt] du &= (2x-1) \ dx \end{aligned}

Dari hasil pemisalan di atas, diperoleh:

\begin{aligned} \int (2x-1)(x^2-x+3)^3 \ dx &= \int u^3 \ du \\[8pt] &= \frac{1}{4}u^4 + C \\[8pt] &= \frac{1}{4}(x^2-x+3)^4 + C \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 6: UN 2018 IPA

Hasil dari \( \int x^2 (2-x^3)^{\frac{1}{2}} \ dx \) adalah…

  1. \( -\frac{2}{3} (2-x^3)^{\frac{3}{2}} + C \)
  2. \( -\frac{1}{2} (2-x^3)^{\frac{3}{2}} + C \)
  3. \( -\frac{2}{9} (2-x^3)^{\frac{3}{2}} + C \)
  4. \( \frac{2}{9} (2-x^3)^{\frac{3}{2}} + C \)
  5. \( \frac{2}{3} (2-x^3)^{\frac{3}{2}} + C \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, misalkan \( u = 2-x^3\) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u=2-x^3 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= -3x^2 \\[8pt] dx &= -\frac{1}{3x^2} \ du \end{aligned}

Substitusikan hasil di atas ke soal integral, diperoleh:

\begin{aligned} \int x^2 \ (2-x^3)^{\frac{1}{2}} \ dx &= \int x^2 \ u^{\frac{1}{2}} \cdot \left( -\frac{1}{3x^2} \right) \ du \\[8pt] &= - \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} \ du \\[8pt] &= -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}+1} u^{\frac{1}{2}+1} + C \\[8pt] &= - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\[8pt] &= -\frac{2}{9}(2-x^3)^{\frac{3}{2}} + C \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 7: UN 2018 IPA

Hasil dari \( \int 2x^2 \ (x^3+2)^5 \ dx = \cdots \)

  1. \( \frac{1}{18} (x^3+2)^6 + C \)
  2. \( \frac{1}{9} (x^3+2)^6 + C \)
  3. \( \frac{1}{6} (x^3+2)^6 + C \)
  4. \( \frac{1}{3} (x^3+2)^6 + C \)
  5. \( \frac{2}{3} (x^3+2)^6 + C \)

Pembahasan:

Misalkan \(u = x^3+2 \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u=x^3+2 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 3x^2 \\[8pt] dx &= \frac{1}{3x^2} \ du \end{aligned}

Substitusi hasil di atas ke soal integral, diperoleh:

\begin{aligned} \int 2x^2 \ (x^3+2)^5 \ dx &= \int 2x^2 \ u^5 \ \frac{1}{3x^2} \ du \\[8pt] &= \frac{2}{3} \int u^5 \ du \\[8pt] &= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6}u^6 + C \\[8pt] &= \frac{1}{9}(x^3+2)^6 + C \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 8: UN 2017 IPA

Hasil dari \( \int \frac{x+2}{ \sqrt{x^2+4x-3} } \ dx \) adalah…

  1. \( \sqrt{ x^2+4x-3 } + C \)
  2. \( 2 \sqrt{ x^2+4x-3 } + C \)
  3. \( 3 \sqrt{ x^2+4x-3 } + C \)
  4. \( 4 \sqrt{ x^2+4x-3 } + C \)
  5. \( 6 \sqrt{ x^2+4x-3 } + C \)

Pembahasan:

Misalkan \( u = x^2+4x-3 \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u=x^2+4x-3 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 2x+4 \\[8pt] dx &= \frac{1}{2(x+2)} \ du \end{aligned}

Selanjutnya, substitusi hasil di atas ke soal integral, diperoleh:

\begin{aligned} \int \frac{x+2}{ \sqrt{x^2+4x-3} } \ dx &= \int \frac{x+2}{ \sqrt{u} } \cdot \frac{1}{2(x+2)} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}u^{-\frac{1}{2}+1} + C \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C \\[8pt] &= (x^2+4x-3)^{\frac{1}{2}} + C \\[8pt] &= \sqrt{x^2+4x-3} + C \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 9: UN 2015 IPA

Hasil \( \int 3x^2 \sqrt{(2x^3+5}) \ dx = \cdots \)

  1. \( \frac{3}{4}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)} + C \)
  2. \( \frac{1}{2}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)} + C \)
  3. \( \frac{2}{5}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)} + C \)
  4. \( \frac{1}{3}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)} + C \)
  5. \( \frac{1}{6}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)} + C \)

Pembahasan:

Misalkan \(u = 2x^3+5\) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u=2x^3+5 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 6x^2 \\[8pt] dx &= \frac{1}{6x^2} \ du \end{aligned}

Selanjutnya, substitusi hasil yang diperoleh di atas ke soal integral, diperoleh:

\begin{aligned} \int 3x^2 \sqrt{(2x^3+5)} \ dx &= \int 3x^2 \ \sqrt{u} \cdot \frac{1}{6x^2} \ du \\[8pt] &= \frac{3}{6} \int \sqrt{u} \ du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C \\[8pt] &= \frac{1}{3}(2x^3+5)^{\frac{3}{2}} + C \\[8pt] &= \frac{1}{3} (2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)} + C \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 10: UN 2015 IPA

Diketahui hasil dari \( \int_0^1 ax(x^2+1)^2 \ dx \) adalah 14. Nilai dari \(a\) adalah…

  1. 6
  2. 8
  3. 10
  4. 12
  5. 14

Pembahasan:

Kita bisa selesaikan soal integral ini menggunakan metode substitusi aljabar yakni dengan memisalkan \( u = x^2+1 \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u=x^2+1 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &=2x \\[8pt] dx &= \frac{1}{2x} \ du \end{aligned}

Selanjutnya, hitung batas integral yang baru, yakni:

\begin{aligned} x = 0 &\Leftrightarrow u = x^2+1 \\[8pt] &\Leftrightarrow u = 0^2 + 1 = 1 \\[8pt] x = 1 &\Leftrightarrow u = 1^2 + 1 = 2 \end{aligned}

Substitusi hasil yang diperoleh di atas ke soal integral, diperoleh:

\begin{aligned} \int_0^1 ax(x^2+1)^2 \ dx &= \int_1^2 ax \ u^2 \cdot \frac{1}{2x} \ dx \\[8pt] 14 &= \frac{a}{2} \int_1^2 u^2 \ du \\[8pt] 14 &= \frac{a}{2} \left[ \frac{1}{3}u^3 \right]_1^2 \\[8pt] 14 &= \frac{a}{2} \left[ \frac{1}{3}(2)^3-\frac{1}{3}(1)^3 \right] \\[8pt] 14 &= \frac{a}{2} \cdot \frac{7}{3} \Leftrightarrow 14 = \frac{7a}{6} \\[8pt] a &= \frac{14 \times 6}{7} = 12 \end{aligned}

Jadi, nilai dari \(a\) adalah 12.

Jawaban D.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.

Artikel terkait