Contoh Soal dan Pembahasan Integral Lipat Dua
Contoh 1:
Selesaikan integral berikut: \( \displaystyle \iint \ dx \ dy \).
Pembahasan:
\begin{aligned} \iint \ dx \ dy &= \int (x+c_1) \ dy \\[8pt] &= (x+c_1)y + c_2 \\[8pt] &= xy+ y c_1+c_2 \end{aligned}
Contoh 2:
Selesaikan \( \displaystyle \iint \rho \ \cos \theta \ dp \ d\theta \).
Pembahasan:
\begin{aligned} \iint \rho \ \cos \theta \ dp \ d\theta &= \int \left( \frac{1}{2}\rho^2 \cos \theta + c_1 \right) d\theta \\[8pt] &= \frac{1}{2}\rho^2 \sin \theta + \theta c_1 + c_2 \end{aligned}
Contoh 3:
Hitunglah \( \displaystyle \int_1^2 \int_2^4 \ (x+2y) \ dx \ dy \).
Pembahasan:
\begin{aligned} \int_1^2 \int_2^4 \ (x+2y) \ dx \ dy &= \int_1^2 \ \left[ \frac{1}{2}x^2+2xy \right]_2^4 \ dy \\[8pt] &= \int_1^2 \ \left[ (8+8y)-(2+4y) \right] \ dy \\[8pt] &= \int_1^2 \ (6+4y) \ dy = \left[ 6y+2y^2 \right]_1^2 \\[8pt] &= (12+8)-(6+2) \\[8pt] &= 12 \end{aligned}
Contoh 4:
Hitunglah \( \displaystyle \int_0^2 \int_0^1 \ (x^2+2y) \ dx \ dy \).
Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pengintegralan, kita peroleh hasil berikut:
\begin{aligned} \int_0^2 \int_0^1 \ (x^2+2y) \ dx \ dy &= \int_0^2 \ \left[ \frac{1}{3}x^3+2xy \right]_0^1 \ dy \\[8pt] &= \int_0^2 \ \left[ \left( \frac{1}{3}+2y \right)-0 \right] \ dy \\[8pt] &= \int_0^2 \ \left( \frac{1}{3}+2y \right) \ dy \\[8pt] &= \left[ \frac{1}{3}y+y^2 \right]_0^2 = \left( \frac{2}{3}+4 \right)-0 \\[8pt] &= \frac{14}{3} \end{aligned}
Contoh 5:
Hitunglah \( \displaystyle \int_3^4 \int_1^2 \ \frac{dy \ dx}{(x+y)^2} \).
Pembahasan:
Langkah pertama untuk menyelesaikan integral lipat ini adalah dengan menganggap \(x\) sebagai suatu konstanta dan integralkan integrannya terhadap variabel \(y\) menggunakan teknik substitusi, sehingga kita peroleh berikut:
\begin{aligned} \int_3^4 \int_1^2 \ \frac{dy \ dx}{(x+y)^2} &= - \int_3^4 \ \left[ \frac{1}{x+y} \right]_1^2 \ dx \\[8pt] &= \int_3^4 \ \left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2} \right) \ dx \\[8pt] &= \left[ \ln(x+1)-\ln(x+2) \right]_3^4 \\[8pt] &= \left[ \ln\left( \frac{x+1}{x+2} \right) \right]_3^4 \\[8pt] &= \ln \left( \frac{5}{6} \right) - \ln \left( \frac{4}{5} \right) \\[8pt] &= \ln\left( \frac{25}{24} \right) \end{aligned}
Contoh 6:
Hitunglah \( \displaystyle \int_0^3 \ dx \int_0^1 \ (x-x^2) \ dy \).
Pembahasan:
Kadang-kadang integral lipat dua ditulis dengan cara yang sedikit berbeda seperti pada soal ini. Untuk mengerjakan soal ini, selesaikan mulai dari integral yang paling berturut-turut, kemudian berurutan ke kiri.
\begin{aligned} \int_0^3 \ dx \int_0^1 \ (x-x^2) \ dy &= \int_0^3 \ dx \left[ xy-x^2y \right]_0^1 \\[8pt] &= \int_0^3 \ (x-x^2) \ dx \\[8pt] &= \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^3 \\[8pt] &= \left( \frac{9}{2} - 9 \right)-0 \\[8pt] &= -\frac{9}{2} \end{aligned}
Contoh 7:
Hitunglah \( \displaystyle \int_0^1 \int_x^1 \ (x+y) \ dy \ dx \).
Pembahasan:
\begin{aligned} \int_0^1 \int_x^1 \ (x+y) \ dy \ dx &= \int_0^1 \left[ xy+\frac{1}{2}y^2 \right]_x^1 \ dx \\[8pt] &= \int_0^1 \ \left[ \left( x + \frac{1}{2} \right)-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2 \right) \right] \ dx \\[8pt] &= \int_0^1 \ \left( x - \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2} \right) \ dx \\[8pt] &= \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x \right]_0^1 \\[8pt] &= \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right)-0 \\[8pt] &= \frac{1}{2} \end{aligned}
Contoh 8:
Hitunglah \( \displaystyle \int_1^{\ln 8} \int_0^{\ln y} \ e^{x+y} \ dx \ dy \).
Pembahasan:
\begin{aligned} \int_1^{\ln 8} \int_0^{\ln y} \ e^{x+y} \ dx \ dy &= \int_1^{\ln 8} [e^{x+y}]_0^{\ln y} \ dy \\[8pt] &= \int_1^{\ln 8} (e^{\ln y+y}-e^y) \ dy \\[8pt] &= \int_1^{\ln 8} (ye^y-e^y) \ dy \\[8pt] &= \left[ ye^y-2e^y \right]_1^{\ln 8} = [e^y(y-2)]_1^{\ln 8} \\[8pt] &= e^{\ln 8} (\ln 8 - 2) - e (1 - 2) \\[8pt] &= 8(\ln 8 - 2)+e \\[8pt] &= 8 \ln 8 - 16 + e \end{aligned}
Catatan: untuk menyelesaikan integral \(\int \ ye^y \ dy\) kita bisa gunakan teknik integral parsial.
Contoh 9:
Hitunglah \( \displaystyle \int_0^\pi \int_0^x \ x \sin y \ dy \ dx \).
Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pengintegralan, kita peroleh:
\begin{aligned} \int_0^\pi \int_0^x x \sin y \ dy \ dx &= \int_0^\pi [-x \cos y]_0^x \ dx \\[8pt] &= \int_0^\pi (-x \cos x + x) \ dx \\[8pt] &= \left[ -x \sin x - \cos x + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^\pi \\[8pt] &= (-\pi \sin \pi-\cos \pi+\frac{1}{2}\pi^2)-(0-1+0) \\[8pt] &= (-\pi \cdot 0 - (-1)+ \frac{1}{2}\pi^2)+1 \\[8pt] &= \frac{1}{2}\pi^2 + 2 \end{aligned}
Catatan: untuk menyelesaikan integral \( \int \ x \cos x \ dx \), kita bisa gunakan teknik integral parsial.
Contoh 10:
Hitung nilai integral lipat dua yang ditunjukkan atas R.
\[ \iint_R \ xy^2 \ dA; \quad R = \{ (x,y): 0 \leq x \leq 1, -1\leq y \leq 1 \} \]
Pembahasan:
Tuliskan integral lipat dua tersebut beserta batas integralnya sesuai dengan R, lalu integralkan.
\begin{aligned} \int_{-1}^1 \int_0^1 \ xy^2 \ dx \ dy &= \int_{-1}^1 y^2 \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 \ dy \\[8pt] &= \int_{-1}^1 \ \frac{1}{2} y^2 \ dy \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{1}{3}y^3 \right]_{-1}^1 \\[8pt] &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3}+\frac{1}{3} \right) \\[8pt] &= \frac{1}{3} \end{aligned}
Jadi, nilai integral lipat dua tersebut adalah \( 1/3 \).
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.
