www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Integral   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Integral Kelas 12
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Integral Kelas 12


Contoh 1:

Tentukan \( \int (x^{20} + 20x)^{423} \ (5x^{19}+5) \ dx \).

Pembahasan:

Kita bisa selesaikan integral ini menggunakan metode atau teknik integral substitusi. Misalkan \( u = x^{20} + 20x \), sehingga:

\begin{aligned} u = x^{20} + 20x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 20x^{19} + 20 \\[8pt] \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 4\left(5x^{19} + 5\right) \\[8pt] \Leftrightarrow dx = \frac{du}{4 \left(5x^{19} + 5\right)} \end{aligned}

Dengan substitusi hasil yang kita peroleh di atas ke soal integral, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} \int (x^{20} + 20x)^{423} \ (5x^{19}+5) \ dx &= \int u^{423} \ (5x^{19}+5) \cdot \frac{du}{4 \left(5x^{19} + 5\right)} \\[8pt] &= \int u^{423} \cdot \frac{1}{4} \ du = \frac{1}{4} \int u^{423} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{423+1}u^{423+1} + C \\[8pt] &= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{424} (x^{20} + 20x)^{424} + C \\[8pt] &= \frac{1}{1.696} (x^{20} + 20x)^{424} + C \end{aligned}
Contoh 2: UTBK 2019

Misalkan fungsi \(f\) memenuhi \(f(x+5)=f(x)\) untuk setiap \(x\in R\). Jika \( \int_1^5 f(x) \ dx = 3 \) dan \( \int_{-5}^{-4} f(x) \ dx = -2 \) maka nilai \( \int_5^{15} f(x) \ dx = \cdots \)

  1. 10
  2. 6
  3. 5
  4. 2
  5. 1

Pembahasan:

Ingat bahwa jika \( f(x) = f(x+c) \) maka \(f(x)\) adalah fungsi periodik dengan periode \(c\), sehingga berlaku:

\begin{aligned} \int_a^b f(x) \ dx &= \int_{a+c}^{b+c} f(x) \ dx \\[8pt] &= \int_{a+2c}^{b+2c} f(x) \ dx \\[8pt] &= \text{dan seterusnya} \cdots \end{aligned}

Karena \( f(x) = f(x+5) \), berarti \(f(x)\) adalah fungsi periodik dengan periode 5 sehingga:

\begin{aligned} \int_1^5 f(x) \ dx &= \int_6^{10} f(x) \ dx \\[8pt] &= \int_{11}^{15} f(x) \ dx = 3 \\[8pt] \int_{-5}^{-4} f(x) \ dx &= \int_0^1 f(x) \ dx = \int_5^6 f(x) \ dx \\[8pt] &= \int_{10}^{11} f(x) \ dx = -2 \end{aligned}

Dengan demikian, berdasarkan hasil di atas, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \int_5^{15} f(x) \ dx &= \int_5^6 f(x) \ dx + \int_6^{10} f(x) \ dx \\[8pt] & \quad + \int_{10}^{11} f(x) \ dx + \int_{11}^{15} f(x) \ dx \\[8pt] &= -2 + 3 + (-2) + 3 \\[8pt] &= 2 \end{aligned}

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.

Artikel terkait

Inside of every problem lies an opportunity.

Robert Kiyosaki