www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Integral   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Integral Fungsi Aljabar
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Integral Fungsi Aljabar


Contoh 1:

Hasil dari \( \int (3x^2-5x+4) \ dx = \cdots \)

  1. \( x^3-\frac{5}{2}x^2+4x+C \)
  2. \( x^3-5x^2+4x+C \)
  3. \( 3x^3-5x^2+4x+C \)
  4. \( 6x^3-5x^2+4x+C \)
  5. \( 6x^3-\frac{5}{2}x^2+4x+C \)

Pembahasan:

Berdasarkan sifat dalam integral fungsi aljabar, diperoleh:

\begin{aligned} \int (3x^2-5x+4) \ dx &= 3 \int x^2 \ dx - 5 \int x \ dx + \int 4 \ dx \\[8pt] &= 3 \cdot \frac{1}{3}x^3- 5 \cdot \frac{1}{2}x^2 + 4x + C \\[8pt] &= x^3-\frac{5}{2}x^2 + 4x + C \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 2:

Hasil dari \( \int (2x^3-9x^2+4x-5) \ dx = \cdots \)

  1. \( \frac{1}{2}x^4-6x^3+2x^2-5x+C \)
  2. \( \frac{1}{2}x^4-6x^3+x^2-5x+C \)
  3. \( \frac{1}{2}x^4-3x^3+x^2-5x+C \)
  4. \( \frac{1}{2}x^4-3x^3+2x^2-5x+C \)
  5. \( \frac{1}{2}x^4-6x^3-2x^2-5x+C \)

Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat-sifat dalam integral fungsi aljabar, diperoleh:

\begin{aligned} \int (2x^3-9x^2+4x-5) \ dx &= \int 2x^3 \ dx - \int 9x^2 \ dx + \int 4x \ dx - \int 5 \ dx \\[8pt] &= \frac{2}{4}x^4-\frac{9}{3}x^3+\frac{4}{2}x^2-5x+C \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^4-3x^3+2x^2-5x+C \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 3:

Hasil dari \( \int_0^2 x(3x+5) \ dx = \cdots \)

  1. 18
  2. 16
  3. 15
  4. 10
  5. 6

Pembahasan:

Ingat bahwa \( \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1}+C \) sehingga:

\begin{aligned} \int_0^2 x(3x+5) \ dx &= \int_0^2 (3x^2+5x) \ dx \\[8pt] &= \left[ \frac{3}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2 \right]_0^2 \\[8pt] &= \left[ x^3+\frac{5}{2}x^2 \right]_0^2 \\[8pt] &= \left[2^3+\frac{5}{2}(2)^2\right]-\left[ 0^3+\frac{5}{2}(0)^2 \right] \\[8pt] &= 18-0 = 18 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 4:

Hasil dari \( \int_{-1}^2 (6x^2+8x) \ dx = \cdots \)

  1. 24
  2. 26
  3. 28
  4. 30
  5. 32

Pembahasan:

Ingat bahwa \( \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1}+C \) sehingga:

\begin{aligned} \int_{-1}^2 (6x^2+8x) \ dx &= \left[ \frac{6}{3}x^3+\frac{8}{2}x^2 \right]_{-1}^2 \\[8pt] &= \left[ 2x^3+4x^2 \right]_{-1}^2 \\[8pt] &= \left[ 2 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^2 \right]- \left[ 2 \cdot (-1)^3+4(-1)^2 \right] \\[8pt] &= 32-2 \\[8pt] &= 30 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 5: UN MTK IPA 2016

Hasil \( \int 2x(5-x)^3 \ dx = \cdots \)

  1. \( -\frac{1}{10}(4x+5)(5-x)^4 + C \)
  2. \( -\frac{1}{10}(6x+5)(5-x)^4 + C \)
  3. \( -\frac{1}{10}(x+5)(5-x)^4 + C \)
  4. \( \frac{1}{10}(4x+5)(5-x)^4 + C \)
  5. \( \frac{1}{2}(5+x)^4 + C \)

Pembahasan:

Misalkan \( u = 5-x \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u = 5-x &\Leftrightarrow x = 5-u \\[8pt] &\Leftrightarrow \frac{dx}{du} = -1 \\[8pt] &\Leftrightarrow dx = - du \end{aligned}

Selanjutnya, substitusi hasil yang diperoleh di atas ke soal integral, diperoleh:

\begin{aligned} \int 2x(5-x)^3 \ dx &= \int 2(5-u) u^3 \cdot (-1 \ du) \\[8pt] &= -2 \int (5u^3-u^4) \ du \\[8pt] &= -2 \left[ \frac{5}{4}u^4-\frac{1}{5}u^5 \right]+C \\[8pt] &= -\frac{5}{2}u^4+\frac{2}{5}u^5+C \\[8pt] &= -\frac{25}{10}u^4+\frac{4}{10}u^5+C \\[8pt] &= -\frac{1}{10}(25-4u)u^4 + C \\[8pt] &= -\frac{1}{10}(25-4(5-x))(5-x)^4 + C \\[8pt] &= -\frac{1}{10}(4x+5)(5-x)^4 + C \end{aligned}

Jawaban A.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.

Artikel terkait

Inside of every problem lies an opportunity.

Robert Kiyosaki