www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Matriks   ›  Contoh Soal dan Pembahasan Determinan Matriks Matematika SMA
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Determinan Matriks Matematika SMA

Salah satu konsep dalam pelajaran matriks yang penting yaitu determinan matriks. Kita bisa menggunakan konsep determinan matriks untuk mencari invers suatu matriks. Pada artikel ini kita akan latihan mengerjakan soal yang berkaitan dengan determinan matriks. Semoga bermanfaat.

Contoh 1: UN 2009

Diketahui matriks \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\) dan \( B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \). Jika A’ adalah transpose matriks A dan \( AX = B + A’ \), maka determinan matriks \(X\) adalah…

  1. 46
  2. 33
  3. 27
  4. -33
  5. -46
Pembahasan »

Berdasarkan sifat determinan, \( |AX| = |A||X| \). Dari soal diketahui \( AX = B + A’ \) sehingga kita peroleh berikut ini:

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Jawaban D.

Contoh 2: UN 2008

Diketahui matriks \( P = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) dan \( Q = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \). Jika \( P^{-1} \) adalah invers matriks P dan \( Q^{-1} \) adalah invers matriks Q, maka determinan dari \( P^{-1} Q^{-1} \) adalah…

  1. 223
  2. 1
  3. -1
  4. -10
  5. -223
Pembahasan »

Pertama, kita cari determinan dari matriks P dan Q terlebih dahulu, yakni:

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Selanjutnya, berdasarkan sifat determinan, \( |PQ| = |P||Q| \) dan \( |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \). Dengan demikian, determinan dari \( P^{-1} Q^{-1} \), yaitu:

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Jawaban B.

Contoh 3: SNMPTN 2010 DASAR

Jika M adalah matriks sehingga \( M \times \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ -a+c & -b+d \end{bmatrix} \), maka determinan matriks M adalah…

  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. -2
  5. 2
Pembahasan »

Determinan dari matriks M, yaitu:

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Jawaban A.

Contoh 4: UTBK 2019

Diketahui \( B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) dan \( B + C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \). Jika A adalah matriks berukuran 2 x 2 sehingga \( AB + AC = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \), maka determinan dari AB adalah…

  1. 4
  2. 2
  3. 1
  4. -1
  5. -2
Pembahasan »

Kita cari matriks \(C\) terlebih dahulu, yakni:

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Sekarang, misalkan \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) sehingga

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Selanjutnya, kita cari nilai a, b, c, dan d. Dari hasil di atas diperoleh hubungan berikut:

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh nilai a = 2 dan b = 0. Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh nilai c = 0 dan d = 1. Jadi, matriks \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \).

Dengan demikian, determinan matriks AB, yaitu:

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Jawaban A.

Contoh 5: (SNMPTN 2012 DASAR)

Jika \( A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & x \end{bmatrix}, \ B = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \), dan \( \det(AB) = 12 \), maka nilai \(x\) adalah…

  1. -6
  2. -3
  3. 0
  4. 3
  5. 6
Pembahasan »

Berdasarkan sifat determinan matriks, \( \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) \) sehingga:

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Jawaban B.

Contoh 6: SNMPTN 2012 DASAR

Jika \( AB = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \) dan \( \det(A) = 2 \) maka \( \det(BA^{-1}) \) adalah…

  1. 8
  2. 6
  3. 4
  4. 2
  5. 1
Pembahasan »

Berdasarkan sifat determinan matriks, \( |AB| = |A| \times |B| \) sehingga:

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Dengan demikian,

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Jawaban E.

Contoh 7:

Diketahui matriks \( \begin{bmatrix} 3x-1 & x+2 \\ 2 & x \end{bmatrix} \) mempunyai determinan 14. Jumlah semua nilai \(x\) dari matriks tersebut adalah…

  1. 1/2
  2. 1
  3. -2
  4. 0
  5. -1/2
Pembahasan »
contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Jawaban B.

Contoh 8:

Diketahui matriks \( \begin{bmatrix} x^2-3x & 2x-5 \\ x+1 & x-4 \end{bmatrix} \) tidak mempunyai invers. Hasil kali semua nilai \(x\) dari matriks tersebut adalah…

  1. -1
  2. 2
  3. 4
  4. -5
  5. 4
Pembahasan »

Karena matriks tidak mempunyai invers, maka determinannya bernilai nol, sehingga:

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Koefisien dari persamaan polinomial (suku banyak) di atas, yaitu \(a = 1, \ b = -9, \ c = 15\), dan \(d = 5\). Dengan demikian, berdasarkan rumus perkalian akar polinomial, maka hasil kali semua nilai \(x\), yakni:

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Jawaban D.

Contoh 9:

Jika \( Q = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \ P = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} \), dan \( QP = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \), maka determinan matriks \(Q\) adalah…

  1. 0
  2. 10
  3. 1
  4. 5
  5. -3
Pembahasan »

Berdasarkan sifat determinan matriks, \( |QP| = |Q||P| \) sehingga

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Jawaban C.

Contoh 10:

Jika M adalah matriks sehingga \( M \times \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p+r & q+s \\ -r & -s \end{bmatrix} \), maka determinan matriks M adalah…

  1. 0
  2. -1
  3. 5
  4. 1
  5. 2
Pembahasan »

Dengan menggunakan salah satu sifat determinan matriks, penyelesaian dari soal ini yaitu:

contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Jawaban B.

Contoh 11:

Transpos matriks \( A = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \) adalah \( A^T = \begin{bmatrix} p & r \\ q & s \end{bmatrix} \). Jika \( A^T = A^{-1} \), maka\( ps-qr = \cdots \)

  1. \( \frac{1}{2} \) dan \( -\frac{1}{2} \)
  2. 0 dan 1
  3. \( \sqrt{2} \) dan \( -\sqrt{2} \)
  4. -1 dan 0
  5. -1 dan 1
Pembahasan »
contoh soal determinan matriks dan pembahasannya

Jawaban E.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima Kasih.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Artikel Terkait

Sometimes the wrong choices bring us to the right places.