Contoh Soal Barisan dan Deret Serta Pembahasannya

Bahas Soal Matematika » Barisan dan Deret › Contoh Soal Barisan dan Deret Serta Pembahasannya

Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal Barisan dan Deret Serta Pembahasannya

Pada tulisan ini kita akan membahas beberapa contoh soal mengenai barisan dan deret yang terdiri dari barisan dan deret aritmatika, barisan dan deret geometri, serta barisan dan deret tak hingga. Berikut adalah beberapa rumus penting terkait barisan dan deret aritmatika dan geometri.

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan atau urutan bilangan yang memiliki selisih tetap antarsukunya. Berikut beberapa contoh soal mengenai barisan dan deret aritmatika serta pembahasannya.

Contoh 1:

Apabila diketahui jumlah \(n\) suku pertama dari pola bilangan aritmatika adalah 1.325, dengan \( U_3 \) adalah 13 dan \(U_7\) adalah 29, maka carilah nilai \(n\)!

Pembahasan:

Diketahui \(U_3 = 13\) dan \(U_7 = 29\) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} U_n &= a + (n-1) \cdot b \\[8pt] U_3 &= a + (3-1) \cdot b \\[8pt] 13 &= a + 2b \qquad \cdots (i) \\[8pt] U_7 &= a + (7-1) \cdot b \\[8pt] 29 &= a + 6b \qquad \cdots (ii) \end{aligned}

Dari persamaan (i) dan (ii), diperoleh nilai \(a = 5 \) dan \(b = 4\). Selanjutnya, untuk mencari nilai \(n\), gunakan rumus untuk mencari jumlah \(n\) suku pertama, yakni:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2} (2a+(n-1)b) \\[8pt] 1.325 &= \frac{n}{2} (2 \cdot 5 + (n-1) \cdot 4) \\[8pt] 1.325 &= \frac{n}{2} (10+4n-4) \\[8pt] 2.650 &= 4n^2+6n \\[8pt] 0 &= 4n^2+6n-2.650 \\[8pt] 0 &= 2n^2 + 3n - 1.325 \\[8pt] 0 &= (2n+53)(n-25) \\[8pt] n_1 &= -\frac{53}{2} \ \ \text{atau} \ \ n_2 = 25 \end{aligned}

Dari kedua nilai \(n\) yang diperoleh di atas, yang memenuhi adalah \(n = 25\).

Contoh 2:

Rumus suku ke-n dari barisan aritmatika \( -18,-15,-12,-9, \cdots \) adalah…

\( U_n = -3n+15 \)
\( U_n = -3n-15 \)
\( U_n = 3n+15 \)
\( U_n = 3n+21 \)
\( U_n = 3n-21 \)

Pembahasan:

Dari soal diketahui \( a = -18 \) dan \(b=3\) sehingga berdasarkan formula suku ke-n barisan aritmatika, kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} U_n &= a + (n-1) \cdot b \\[8pt] &= -18 + (n-1) \cdot 3 \\[8pt] &= -18+3n-3 \\[8pt] &= 3n-21 \end{aligned}

Jadi, rumus umum suku ke-n adalah \( U_n = 3n-21 \).

Jawaban E.

Contoh 3:

Suku ke-n suatu barisan bilangan dirumuskan \( U_n = 15-3n \). Suku ke-15 dari barisan tersebut adalah…

Pembahasan:

Dari soal diketahui \( U_n = 15-3n \). Untuk \(n=15\), maka diperoleh:

\begin{aligned} U_n &= 15-3n \\[8pt] U_{15} &= 15-3(15) \\[8pt] &= 15-45 \\[8pt] &=-30 \end{aligned}

Jadi, suku ke-15 dari barisan tersebut adalah -30.

Jawaban E.

Contoh 4:

Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 dari barisan aritmatika secara berturut-turut adalah -5 dan -9. Suku ke-10 dari barisan tersebut adalah…

Pembahasan:

Ingat bahwa rumus untuk suku ke-n bariasan aritmatika adalah \( U_n = a+(n-1)b \). Untuk menyelesaikan soal ini, pertama kita cari dulu nilai \(b\) dan \(a\). Nilai \(b\) dapat diperoleh dengan rumus sebagai berikut:

\begin{aligned} b &= \frac{U_n-U_m}{n-m} = \frac{U_5-U_3}{5-3} \\[8pt] &= \frac{-9-(-5)}{5-3} = \frac{-4}{2} \\[8pt] &= -2 \end{aligned}

Selanjutnya, akan dicari nilai \(a\) (suku pertama) menggunakan persamaan \( U_3 = -5 \), yakni:

\begin{aligned} U_n &= a + (n-1)b \\[8pt] U_3 &= a + (3-1) \cdot (-2) \\[8pt] -5 &= a -4 \\[8pt] a &= -5+4=-1 \end{aligned}

Dengan demikian, suku ke-10 barisan tersebut, yaitu:

\begin{aligned} U_n &= a + (n-1)b \\[8pt] U_{10} &= -1 + (10-1) \cdot (-2) \\[8pt] &= -1+9 \cdot (-2) \\[8pt] &= -1-18 \\[8pt] &= -19 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 5:

Suku ketiga suatu deret aritmatika adalah 11. Jumlah suku keenam hingga suku kesembilan ialah 134. Suku pertama dan beda deret itu berturut-turut adalah…

1 dan 3
2 dan 5
1 dan 4
2 dan 4
1 dan 5

Pembahasan:

Dari soal diketahui \( U_3 = a+2b = 11 \) dan jumlah suku ke-6 sampai suku ke-9 adalah 134, sehingga dapat kita tuliskan berikut ini:

\begin{aligned} U_6+U_7+U_8+U_9 &= 134 \\[8pt] (a+5b)+(a+6b)+(a+7b)+(a+8b) &= 134 \\[8pt] 4a+26b &= 134 \\[8pt] (4a+8b)+18b &= 134 \\[8pt] 4(a+2b)+18b &= 134 \\[8pt] 4(11)+18b &= 134 \\[8pt] 44+18b &= 134 \\[8pt] 18b &= 134-44 \\[8pt] b &= \frac{90}{18} = 5 \\[8pt] a+2b &= 11 \\[8pt] a+2(5) &= 11 \\[8pt] a &= 1 \end{aligned}

Jadi, suku pertama dan beda deret tersebut adalah 1 dan 5.

Jawaban E.

Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri adalah pola bilangan atau urutan bilangan yang memiliki perbandingan atau rasio tetap antarsukunya. Berikut beberapa contoh soal mengenai barisan dan deret geometri serta pembahasannya.

Contoh 6:

Rasio dari barisan \( \frac{16}{27}, \frac{8}{9}, \frac{4}{3}, 2, \cdots \) adalah…

\( \frac{3}{4} \)
\( \frac{4}{3} \)
\( \frac{3}{2} \)
\( \frac{2}{3} \)
\( \frac{1}{3} \)

Pembahasan:

Ingat bahwa rumus rasio barisan geometri yaitu \( r = \frac{U_n}{U_{n-1}} \). Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_4}{U_3} \\[8pt] &= \frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} \\[8pt] &= \frac{3}{2} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 7:

Diketahui \( 9, 3, 1, \frac{1}{3}, \cdots \). Suku ke-7 adalah…

\( \frac{1}{243} \)
\( \frac{1}{81} \)
\( \frac{1}{27} \)
\( \frac{1}{72} \)
\( \frac{1}{64} \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita cari rasio barisannya dulu dan kemudian cari suku ke-7 nya menggunakan rumus \( U_n = ar^{n-1} \). Kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_3}{U_2} &= \frac{1}{3} \\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_7 &= 9 \left( \frac{1}{3} \right)^{7-1} \\[8pt] \Leftrightarrow U_7 &= 9 \left( \frac{1}{3} \right)^6 = 3^2 \cdot \frac{1}{3^6} \\[8pt] \Leftrightarrow U_7 &= \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 8:

Rumus suku ke-n dari barisan \( 100, 20, 4, \frac{4}{5}, \cdots \) adalah…

\( U_n = 4 \cdot 5^{n-1} \)
\( U_n = 4 \cdot 5^{n-2} \)
\( U_n = 4 \cdot 5^{n-3} \)
\( U_n = 4 \cdot 5^{n+3} \)
\( U_n = 4 \cdot 5^{3-n} \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita cari rasio barisannya dulu dan kemudian cari rumus suku ke-n nya menggunakan rumus \( U_n = ar^{n-1} \). Kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} &= \frac{20}{100} = \frac{1}{5} \\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_n &= 100 \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1} \\[8pt] \Leftrightarrow U_n &= 100 \left( 5^{-1} \right)^{n-1} = 4 \cdot 5^2 \cdot 5^{1-n} \\[8pt] \Leftrightarrow U_n &= 4 \cdot 5^{3-n} \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 9:

Suatu barisan geometri diketahui suku ke-3 adalah 3 dan suku ke-6 adalah 81. Maka suku ke-8 adalah…

Pembahasan:

Ingat rumus suku ke-n geometri \( U_n = ar^{n-1} \) dan dari yang diketahui pada soal, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} U_3 = 3 \Leftrightarrow ar^{3-1} &= 3 \\[8pt] ar^2 &= 3 \\[8pt] U_6 = 81 \Leftrightarrow ar^{6-1} &= 3^4 \\[8pt] ar^2 \cdot r^3 &= 3^4 \\[8pt] 3 \cdot r^3 &= 3 \cdot 3^3 \\[8pt] r &= 3 \\[8pt] U_8 = ar^{8-1} \Leftrightarrow U_8 &= ar^2 \cdot r^5 \\[8pt] &= 3 \cdot 3^5 = 729 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 10:

Jumlah 5 suku pertama dari deret \( 3 + 6 + 12 + \cdots \) adalah…

Pembahasan:

Perhatikan bahwa deret ini merupakan deret geometri dengan suku pertama bernilai 3 \((a=3)\) . Untuk mengerjakan soal ini, kita cari dulu rasio deretnya dan kemudian gunakan rumus jumlah suku ke-n deret geometri untuk menghitung jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{6}{3} &= 2 \\[8pt] S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \Leftrightarrow S_5 &= \frac{3(2^5-1)}{2-1} \\[8pt] &= \frac{3(32-1)}{2-1} \\[8pt] &= \frac{3 \cdot 31}{1} = 93 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh Soal Barisan Dan Deret Tak Hingga

Barisan tak hingga dapat didefinisikan sebagai barisan yang mana suku-sukunya tersusun hingga tak terhingga banyaknya. Berikut beberapa contoh soal mengenai barisan dan deret tak hingga serta pembahasannya.

Contoh 11:

Jumlah tak hingga dari deret geometri \( 18 + 12 + 8 + \cdots \) adalah…

Pembahasan:

Deret geometri tak hingga pada soal ini memiliki suku pertama \(a = 18\) dan rasio \(r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{12}{18}=\frac{2}{3}\). Dengan demikian, jumlah tak hingga deret geometri tersebut adalah sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] &= \frac{18}{1-\frac{2}{3}} = \frac{18}{\frac{1}{3}} \\[8pt] &= 18 \times 3 = 54 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 12:

Jumlah tak hingga dari deret geometri \( 1-\frac{3}{4}+\frac{9}{16}-\frac{27}{64}+\cdots \) adalah…

\( \frac{3}{7} \)
\( \frac{4}{7} \)
\( \frac{5}{7} \)
\( \frac{6}{7} \)
\( \frac{8}{7} \)

Pembahasan:

Deret geometri tak hingga yang diberikan pada soal mempunyai suku pertama \(a = 1\) dan rasionya \( r= -\frac{3}{4} \). Dengan demikian, jumlah tak hingga deret geometri tersebut sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] &= \frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4} \right)} = \frac{1}{\frac{7}{4}} \\[8pt] &= 1 \times \frac{4}{7} = \frac{4}{7} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 13:

Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 30 dengan rasio 2/3. Suku pertama deret tersebut adalah…

Pembahasan:

Dari soal diketahui \( S_\infty = 30 \) dan \( r = \frac{2}{3} \). Dengan demikian, suku pertama deret tersebut, yaitu:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] 30 &= \frac{a}{1-\frac{2}{3}} \\[8pt] 30 &= \frac{a}{\frac{1}{3}} \\[8pt] a &= 30 \times \frac{1}{3} = 10 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 14:

Jika jumlah tak hingga deret \( a+a^0 + a^{-1} + a^{-2} + a^{-3} + \cdots \) adalah \(4a\), maka nilai \(a\) adalah…

\( \frac{4}{3} \)
\(2\)
\( \frac{3}{2} \)
\(3\)
\(4\)

Pembahasan:

Deret tak hingga dalam soal di atas memiliki suku pertama sama dengan \(a\), rasionya \(r = \frac{1}{a}\) dan jumlah tak hingga deret tersebut adalah \(4a\). Dengan menggunakan rumus jumlah deret tak hingga, kita peroleh nilai \(a\) sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow 4a &= \frac{a}{1-\frac{1}{a}} \\[8pt] 4a &= \frac{a}{\frac{a-1}{a}} \\[8pt] 4a &= \frac{a^2}{a-1} \\[8pt] 4a(a-1) &= a^2 \\[8pt] 4a^2-4a &= a^2 \\[8pt] 3a &= 4 \\[8pt] a &= \frac{4}{3} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 15: SIMAK UI 2010

Jika diketahui \( {}^a \! \log b + ( {}^a \! \log b )^2 + ( {}^a \! \log b )^3 + \cdots = 2 \), maka \( {}^a \! \log b + {}^b \! \log \sqrt[3]{a^2} = \cdots \)

\( 1 \)
\( \frac{3}{2} \)
\( \frac{5}{3} \)
\( 2 \)
\( 3 \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini ada beberapa sifat logaritma yang perlu kamu pahami terlebih dahulu. Dari deret yang diberikan pada soal, diketahui suku pertama \( U_1 = {}^a \! \log b \) dan rasio deretnya \(r = {}^a \! \log b \) sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S_\infty &= \frac{{}^a \! \log b}{1-{}^a \! \log b} \\[8pt] 2 &= \frac{{}^a \! \log b}{{}^a \! \log a-{}^a \! \log b} \\[8pt] 2 &= \frac{{}^a \! \log b}{{}^a \! \log \frac{a}{b}} \\[8pt] 2 \cdot {}^a \! \log \frac{a}{b} &= {}^a \! \log b \\[8pt] {}^a \! \log \left( \frac{a}{b} \right)^2 &= {}^a \! \log b \\[8pt] \left( \frac{a}{b} \right)^2 &= b \\[8pt] a^2 &= b^3 \\[8pt] b &= a^{\frac{2}{3}} \end{aligned}

Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} {}^a \! \log b + {}^b \! \log \sqrt[3]{a^2} &= {}^a \! \log a^{\frac{2}{3}} + {}^b \! \log \sqrt[3]{b^3} \\[8pt] &= \frac{2}{3} \cdot {}^a \! \log a + {}^b \! \log b \\[8pt] &= \frac{2}{3} \cdot 1 + 1 \\[8pt] &= \frac{5}{3} \end{aligned}

Jawaban C.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika » Barisan dan Deret › Contoh Soal Barisan dan Deret Serta Pembahasannya