www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Barisan dan Deret   ›  Contoh Soal Barisan dan Deret Serta Pembahasannya
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal Barisan dan Deret Serta Pembahasannya

Pada artikel ini kita akan membahas beberapa contoh soal mengenai barisan dan deret yang terdiri dari barisan dan deret aritmatika, barisan dan deret geometri, serta barisan dan deret tak hingga. Berikut adalah beberapa rumus penting terkait barisan dan deret.

rumus barisan dan deret aritmatika dan geometri
Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan atau urutan bilangan yang memiliki selisih tetap antarsukunya. Berikut beberapa contoh soal mengenai barisan dan deret aritmatika serta pembahasannya.

Contoh 1:

Apabila diketahui jumlah \(n\) suku pertama dari pola bilangan aritmatika adalah 1.325, dengan \( U_3 \) adalah 13 dan \(U_7\) adalah 29, maka carilah nilai \(n\)!

  1. 23
  2. 24
  3. 25
  4. 26
  5. 27
Pembahasan »

Diketahui \(U_3 = 13\) dan \(U_7 = 29\) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} U_n &= a + (n-1) \cdot b \\[8pt] U_3 &= a + (3-1) \cdot b \\[8pt] 13 &= a + 2b \qquad \cdots (i) \\[8pt] U_7 &= a + (7-1) \cdot b \\[8pt] 29 &= a + 6b \qquad \cdots (ii) \end{aligned}

Dari persamaan (i) dan (ii), diperoleh nilai \(a = 5 \) dan \(b = 4\). Selanjutnya, untuk mencari nilai \(n\), gunakan rumus untuk mencari jumlah \(n\) suku pertama, yakni:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2} (2a+(n-1)b) \\[8pt] 1.325 &= \frac{n}{2} (2 \cdot 5 + (n-1) \cdot 4) \\[8pt] 1.325 &= \frac{n}{2} (10+4n-4) \\[8pt] 2.650 &= 4n^2+6n \\[8pt] 0 &= 4n^2+6n-2.650 \\[8pt] 0 &= 2n^2 + 3n - 1.325 \\[8pt] 0 &= (2n+53)(n-25) \\[8pt] n_1 &= -\frac{53}{2} \ \ \text{atau} \ \ n_2 = 25 \end{aligned}

Dari kedua nilai \(n\) yang diperoleh di atas, yang memenuhi adalah \(n = 25\).

Contoh 2:

Rumus suku ke-n dari barisan aritmatika \( -18,-15,-12,-9, \cdots \) adalah…

  1. \( U_n = -3n+15 \)
  2. \( U_n = -3n-15 \)
  3. \( U_n = 3n+15 \)
  4. \( U_n = 3n+21 \)
  5. \( U_n = 3n-21 \)
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( a = -18 \) dan \(b=3\) sehingga berdasarkan formula suku ke-n barisan aritmatika, kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} U_n &= a + (n-1) \cdot b \\[8pt] &= -18 + (n-1) \cdot 3 \\[8pt] &= -18+3n-3 \\[8pt] &= 3n-21 \end{aligned}

Jadi, rumus umum suku ke-n adalah \( U_n = 3n-21 \).

Jawaban E.

Contoh 3:

Suku ke-n suatu barisan bilangan dirumuskan \( U_n = 15-3n \). Suku ke-15 dari barisan tersebut adalah…

  1. 30
  2. 15
  3. 0
  4. -15
  5. -30
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( U_n = 15-3n \). Untuk \(n=15\), maka diperoleh:

\begin{aligned} U_n &= 15-3n \\[8pt] U_{15} &= 15-3(15) \\[8pt] &= 15-45 \\[8pt] &=-30 \end{aligned}

Jadi, suku ke-15 dari barisan tersebut adalah -30.

Jawaban E.

Contoh 4:

Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 dari barisan aritmatika secara berturut-turut adalah -5 dan -9. Suku ke-10 dari barisan tersebut adalah…

  1. 20
  2. 19
  3. 17
  4. -19
  5. -20
Pembahasan »

Ingat bahwa rumus untuk suku ke-n bariasan aritmatika adalah \( U_n = a+(n-1)b \). Untuk menyelesaikan soal ini, pertama kita cari dulu nilai \(b\) dan \(a\). Nilai \(b\) dapat diperoleh dengan rumus sebagai berikut:

\begin{aligned} b &= \frac{U_n-U_m}{n-m} = \frac{U_5-U_3}{5-3} \\[8pt] &= \frac{-9-(-5)}{5-3} = \frac{-4}{2} \\[8pt] &= -2 \end{aligned}

Selanjutnya, akan dicari nilai \(a\) (suku pertama) menggunakan persamaan \( U_3 = -5 \), yakni:

\begin{aligned} U_n &= a + (n-1)b \\[8pt] U_3 &= a + (3-1) \cdot (-2) \\[8pt] -5 &= a -4 \\[8pt] a &= -5+4=-1 \end{aligned}

Dengan demikian, suku ke-10 barisan tersebut, yaitu:

\begin{aligned} U_n &= a + (n-1)b \\[8pt] U_{10} &= -1 + (10-1) \cdot (-2) \\[8pt] &= -1+9 \cdot (-2) \\[8pt] &= -1-18 \\[8pt] &= -19 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 5:

Suku ketiga suatu deret aritmatika adalah 11. Jumlah suku keenam hingga suku kesembilan ialah 134. Suku pertama dan beda deret itu berturut-turut adalah…

  1. 1 dan 3
  2. 2 dan 5
  3. 1 dan 4
  4. 2 dan 4
  5. 1 dan 5
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( U_3 = a+2b = 11 \) dan jumlah suku ke-6 sampai suku ke-9 adalah 134, sehingga dapat kita tuliskan berikut ini:

\begin{aligned} U_6+U_7+U_8+U_9 &= 134 \\[8pt] (a+5b)+(a+6b)+(a+7b)+(a+8b) &= 134 \\[8pt] 4a+26b &= 134 \\[8pt] (4a+8b)+18b &= 134 \\[8pt] 4(a+2b)+18b &= 134 \\[8pt] 4(11)+18b &= 134 \\[8pt] 44+18b &= 134 \\[8pt] 18b &= 134-44 \\[8pt] b &= \frac{90}{18} = 5 \\[8pt] a+2b &= 11 \\[8pt] a+2(5) &= 11 \\[8pt] a &= 1 \end{aligned}

Jadi, suku pertama dan beda deret tersebut adalah 1 dan 5.

Jawaban E.

Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri adalah pola bilangan atau urutan bilangan yang memiliki perbandingan atau rasio tetap antarsukunya. Berikut beberapa contoh soal mengenai barisan dan deret geometri serta pembahasannya.

Contoh 6:

Rasio dari barisan \( \frac{16}{27}, \frac{8}{9}, \frac{4}{3}, 2, \cdots \) adalah…

  1. \( \frac{3}{4} \)
  2. \( \frac{4}{3} \)
  3. \( \frac{3}{2} \)
  4. \( \frac{2}{3} \)
  5. \( \frac{1}{3} \)
Pembahasan »

Ingat bahwa rumus rasio barisan geometri yaitu \( r = \frac{U_n}{U_{n-1}} \). Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_4}{U_3} \\[8pt] &= \frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} \\[8pt] &= \frac{3}{2} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 7:

Diketahui \( 9, 3, 1, \frac{1}{3}, \cdots \). Suku ke-7 adalah…

  1. \( \frac{1}{243} \)
  2. \( \frac{1}{81} \)
  3. \( \frac{1}{27} \)
  4. \( \frac{1}{72} \)
  5. \( \frac{1}{64} \)
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini, kita cari rasio barisannya dulu dan kemudian cari suku ke-7 nya menggunakan rumus \( U_n = ar^{n-1} \). Kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_3}{U_2} &= \frac{1}{3} \\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_7 &= 9 \left( \frac{1}{3} \right)^{7-1} \\[8pt] \Leftrightarrow U_7 &= 9 \left( \frac{1}{3} \right)^6 = 3^2 \cdot \frac{1}{3^6} \\[8pt] \Leftrightarrow U_7 &= \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 8:

Rumus suku ke-n dari barisan \( 100, 20, 4, \frac{4}{5}, \cdots \) adalah…

  1. \( U_n = 4 \cdot 5^{n-1} \)
  2. \( U_n = 4 \cdot 5^{n-2} \)
  3. \( U_n = 4 \cdot 5^{n-3} \)
  4. \( U_n = 4 \cdot 5^{n+3} \)
  5. \( U_n = 4 \cdot 5^{3-n} \)
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini, kita cari rasio barisannya dulu dan kemudian cari rumus suku ke-n nya menggunakan rumus \( U_n = ar^{n-1} \). Kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} &= \frac{20}{100} = \frac{1}{5} \\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_n &= 100 \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1} \\[8pt] \Leftrightarrow U_n &= 100 \left( 5^{-1} \right)^{n-1} = 4 \cdot 5^2 \cdot 5^{1-n} \\[8pt] \Leftrightarrow U_n &= 4 \cdot 5^{3-n} \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 9:

Suatu barisan geometri diketahui suku ke-3 adalah 3 dan suku ke-6 adalah 81. Maka suku ke-8 adalah…

  1. 729
  2. 612
  3. 542
  4. 712
  5. 681
Pembahasan »

Ingat rumus suku ke-n geometri \( U_n = ar^{n-1} \) dan dari yang diketahui pada soal, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} U_3 = 3 \Leftrightarrow ar^{3-1} &= 3 \\[8pt] ar^2 &= 3 \\[8pt] U_6 = 81 \Leftrightarrow ar^{6-1} &= 3^4 \\[8pt] ar^2 \cdot r^3 &= 3^4 \\[8pt] 3 \cdot r^3 &= 3 \cdot 3^3 \\[8pt] r &= 3 \\[8pt] U_8 = ar^{8-1} \Leftrightarrow U_8 &= ar^2 \cdot r^5 \\[8pt] &= 3 \cdot 3^5 = 729 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 10:

Jumlah 5 suku pertama dari deret \( 3 + 6 + 12 + \cdots \) adalah…

  1. 62
  2. 84
  3. 93
  4. 108
  5. 152
Pembahasan »

Perhatikan bahwa deret ini merupakan deret geometri dengan suku pertama bernilai 3 \((a=3)\) . Untuk mengerjakan soal ini, kita cari dulu rasio deretnya dan kemudian gunakan rumus jumlah suku ke-n deret geometri untuk menghitung jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{6}{3} &= 2 \\[8pt] S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \Leftrightarrow S_5 &= \frac{3(2^5-1)}{2-1} \\[8pt] &= \frac{3(32-1)}{2-1} \\[8pt] &= \frac{3 \cdot 31}{1} = 93 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh Soal Barisan Dan Deret Tak Hingga

Barisan tak hingga dapat didefinisikan sebagai barisan yang mana suku-sukunya tersusun hingga tak terhingga banyaknya. Berikut beberapa contoh soal mengenai barisan dan deret tak hingga serta pembahasannya.

Contoh 11:

Jumlah tak hingga dari deret geometri \( 18 + 12 + 8 + \cdots \) adalah…

  1. 42
  2. 48
  3. 54
  4. 76
  5. 84
Pembahasan »

Deret geometri tak hingga pada soal ini memiliki suku pertama \(a = 18\) dan rasio \(r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{12}{18}=\frac{2}{3}\). Dengan demikian, jumlah tak hingga deret geometri tersebut adalah sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] &= \frac{18}{1-\frac{2}{3}} = \frac{18}{\frac{1}{3}} \\[8pt] &= 18 \times 3 = 54 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 12:

Jumlah tak hingga dari deret geometri \( 1-\frac{3}{4}+\frac{9}{16}-\frac{27}{64}+\cdots \) adalah…

  1. \( \frac{3}{7} \)
  2. \( \frac{4}{7} \)
  3. \( \frac{5}{7} \)
  4. \( \frac{6}{7} \)
  5. \( \frac{8}{7} \)
Pembahasan »

Deret geometri tak hingga yang diberikan pada soal mempunyai suku pertama \(a = 1\) dan rasionya \( r= -\frac{3}{4} \). Dengan demikian, jumlah tak hingga deret geometri tersebut sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] &= \frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4} \right)} = \frac{1}{\frac{7}{4}} \\[8pt] &= 1 \times \frac{4}{7} = \frac{4}{7} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 13:

Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 30 dengan rasio 2/3. Suku pertama deret tersebut adalah…

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
  5. 10
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( S_\infty = 30 \) dan \( r = \frac{2}{3} \). Dengan demikian, suku pertama deret tersebut, yaitu:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] 30 &= \frac{a}{1-\frac{2}{3}} \\[8pt] 30 &= \frac{a}{\frac{1}{3}} \\[8pt] a &= 30 \times \frac{1}{3} = 10 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 14:

Jika jumlah tak hingga deret \( a+a^0 + a^{-1} + a^{-2} + a^{-3} + \cdots \) adalah \(4a\), maka nilai \(a\) adalah…

  1. \( \frac{4}{3} \)
  2. \(2\)
  3. \( \frac{3}{2} \)
  4. \(3\)
  5. \(4\)
Pembahasan »

Deret tak hingga dalam soal di atas memiliki suku pertama sama dengan \(a\), rasionya \(r = \frac{1}{a}\) dan jumlah tak hingga deret tersebut adalah \(4a\). Dengan menggunakan rumus jumlah deret tak hingga, kita peroleh nilai \(a\) sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow 4a &= \frac{a}{1-\frac{1}{a}} \\[8pt] 4a &= \frac{a}{\frac{a-1}{a}} \\[8pt] 4a &= \frac{a^2}{a-1} \\[8pt] 4a(a-1) &= a^2 \\[8pt] 4a^2-4a &= a^2 \\[8pt] 3a &= 4 \\[8pt] a &= \frac{4}{3} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 15: SIMAK UI 2010

Jika diketahui \( {}^a \! \log b + ( {}^a \! \log b )^2 + ( {}^a \! \log b )^3 + \cdots = 2 \), maka \( {}^a \! \log b + {}^b \! \log \sqrt[3]{a^2} = \cdots \)

  1. \( 1 \)
  2. \( \frac{3}{2} \)
  3. \( \frac{5}{3} \)
  4. \( 2 \)
  5. \( 3 \)
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini ada beberapa sifat logaritma yang perlu kamu pahami terlebih dahulu. Dari deret yang diberikan pada soal, diketahui suku pertama \( U_1 = {}^a \! \log b \) dan rasio deretnya \(r = {}^a \! \log b \) sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S_\infty &= \frac{{}^a \! \log b}{1-{}^a \! \log b} \\[8pt] 2 &= \frac{{}^a \! \log b}{{}^a \! \log a-{}^a \! \log b} \\[8pt] 2 &= \frac{{}^a \! \log b}{{}^a \! \log \frac{a}{b}} \\[8pt] 2 \cdot {}^a \! \log \frac{a}{b} &= {}^a \! \log b \\[8pt] {}^a \! \log \left( \frac{a}{b} \right)^2 &= {}^a \! \log b \\[8pt] \left( \frac{a}{b} \right)^2 &= b \\[8pt] a^2 &= b^3 \\[8pt] b &= a^{\frac{2}{3}} \end{aligned}

Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} {}^a \! \log b + {}^b \! \log \sqrt[3]{a^2} &= {}^a \! \log a^{\frac{2}{3}} + {}^b \! \log \sqrt[3]{b^3} \\[8pt] &= \frac{2}{3} \cdot {}^a \! \log a + {}^b \! \log b \\[8pt] &= \frac{2}{3} \cdot 1 + 1 \\[8pt] &= \frac{5}{3} \end{aligned}

Jawaban C.

Kumpulan Contoh Soal Barisan Dan Deret

Berikut adalah kumpulan contoh soal barisan dan deret beserta pembahasannya untuk membantu meningkatkan pemahaman Anda tentang materi barisan dan deret matematika lebih baik.

Contoh 16: SPMB 2007

Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika keliling segitiga tersebut adalah 72, luasnya adalah…

  1. 216
  2. 363
  3. 364
  4. 383
  5. 432
Pembahasan »

Ingat bahwa keliling segitiga sama dengan jumlah ketiga sisinya, sehingga diperoleh:

\begin{aligned} K\Delta &= a+(a+b)+(a+2b) \\[8pt] 72 &= 3a+3b \\[8pt] 24 &= a+b \end{aligned}

Karena termasuk segitiga siku-siku maka berlaku teorema phytagoras yakni kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang dari dua sisi lainnya. Kita peroleh berikut:

\begin{aligned} (a+2b)^2 &= a^2 + (a+b)^2 \\[8pt] a^2+4ab+4b^2 &= a^2+a^2+2ab+b^2 \\[8pt] 0 &= a^2-2ab-3b^2 \\[8pt] 0 &= (a-b)^2-4b^2 \\[8pt] (a-b)^2 &= 4b^2 \Leftrightarrow (a-b)^2 = (2b)^2 \\[8pt] a-b &= 2b \Leftrightarrow a = 3b \\[8pt] 24 &= a+b \Leftrightarrow 24 = 3b+b \\[8pt] 24 &= 4b \Leftrightarrow b = 6 \\[8pt] b &= 6 \Rightarrow a = 3b=3(6)=18 \end{aligned}

Dengan demikian, luas segitiga siku-siku tersebut, yaitu:

\begin{aligned} L\Delta &= \frac{1}{2} \cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi} \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a+b) \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 \\[8pt] &= 216 \end{aligned}

Cara lain untuk mengerjakan soal ini yaitu menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Karena membentuk barisan aritmetika maka perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku yaitu \( a:b:c = 3x:4x:5x \). Kita peroleh berikut:

\begin{aligned} K\Delta &= 3x+4x+5x \\[8pt] 72 &= 12x \\[8pt] x &= \frac{72}{12} = 6 \\[8pt] L\Delta &= \frac{1}{2} \cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi} \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot (3x) \cdot (4x) \\[8pt] &= 6x^2 = 6(36) \\[8pt] &= 216 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 17: UN 2007

Suku ke-5 sebuah deret aritmetika adalah 11 dan jumlah nilai suku ke-8 dengan suku ke-12 sama dengan 52. Jumlah 8 suku pertama deret itu adalah…

  1. 68
  2. 72
  3. 76
  4. 80
  5. 84
Pembahasan »

Diketahui \( U_5 = 11 \) dan \( U_8+U_{12} = 52 \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} U_5 = a+4b &= 11 \qquad \cdots (1) \\[8pt] U_8 + U_{12} &= 52 \\[8pt] (a+7b)+(a+11b) &= 52 \\[8pt] 2a+18b &= 52 \\[8pt] a+9b &= 26 \qquad \cdots (2) \end{aligned}

Dengan melakukan eliminasi antara persamaan (1) dan (2) maka diperoleh \( b = 3 \) dan \(a = -1\) sehingga jumlah 8 suku pertama deret itu, yaitu:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\[8pt] S_8 &= \frac{8}{2}(2(-1)+(8-1)(3)) \\[8pt] &= 4(-2+7(3)) \\[8pt] &= 4(-2+21) \\[8pt] &= 4(19) \\[8pt] &= 76 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 18: UN 1995

Diketahui deret bilangan \( 10+11+12+13+\cdots+99 \). Dari deret bilangan itu, jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah…

  1. 950
  2. 1480
  3. 1930
  4. 1980
  5. 2430
Pembahasan »

Tentukan dulu jumlah deret bilangan yang habis dibagi 2 berdasarkan deret yang diberikan, yaitu:

\begin{aligned} 10+12&+14+\cdots+98 \\[8pt] U_n &= a+(n-1)\cdot b \\[8pt] 98 &= 10+(n-1) \cdot 2 \\[8pt] 88 &= 2(n-1) \\[8pt] n-1 &= 44 \Leftrightarrow n = 45 \\[8pt] S_n &= \frac{n}{2}(a+U_n) \\[8pt] S_{45} &= \frac{45}{2}(10+98) = \frac{45}{2}(108) \\[8pt] &= 45(54) = 2.430 \end{aligned}

Selanjutnya, tentukan jumlah bilangan yang habis dibagi 2 dan 5, yaitu:

\begin{aligned} 10+20&+30+\cdots+90 \\[8pt] U_n &= a+(n-1)\cdot b \\[8pt] 90 &= 10+(n-1) \cdot 10 \\[8pt] 80 &= 10(n-1) \\[8pt] n-1 &= 8 \Leftrightarrow n = 9 \\[8pt] S_n &= \frac{n}{2}(a+U_n) \\[8pt] S_{9} &= \frac{9}{2}(10+90) = \frac{9}{2}(100) \\[8pt] &= 450 \end{aligned}

Dengan demikian, jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 yaitu \( 3.430-450 = 1.980 \).

Jawaban D.

Contoh 19:

Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp80.000.000,-. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah 3 tahun…

  1. Rp20.000.000,-
  2. Rp25.312.000,-
  3. Rp33.750.000,-
  4. Rp35.000.000,-
  5. Rp45.000.000,-
Pembahasan »

Diketahui harga awal \( = a = 80.000.000\) dan rasio \( r = ¾\). Nilai jual setelah 3 tahun sama dengan suku ke-3 dari barisan geometri, yaitu:

\begin{aligned} U_n &= ar^{n-1} \\[8pt] U_3 &= ar^2 = 80.000.000 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2 \\[8pt] &= 80.000.000 \cdot \frac{9}{16} \\[8pt] &= 45.000.000 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 20:

Dari suatu deret geometri yang rasionya 2 diketahui jumlah 10 suku pertama sama dengan 3069. Hasil kali suku ke 4 dan ke 6 dari deret tersebut adalah…

  1. 3069
  2. 2304
  3. 4236
  4. 4476
  5. 5675
Pembahasan »

Diketahui rasio \(r = 2\) dan jumlah 10 suku pertama atau \(S_{10} = 3069\) sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \Leftrightarrow S_{10} = \frac{a(r^{10}-1)}{r-1} \\[8pt] 3069 &= \frac{a(2^{10}-1)}{2-1} \Leftrightarrow 3069 = \frac{a(1024-1)}{1} \\[8pt] 3069 &= a(1023) \Leftrightarrow a = \frac{3069}{1023} = 3 \\[20pt] \hline \\[1pt] U_n &= ar^{n-1} \Leftrightarrow U_4 = ar^3 = 3 \cdot 2^3 = 24 \\[8pt] U_6 &= ar^5 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96 \\[8pt] U_4 \cdot U_6 &= 24 \cdot 96 = 2.304 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 21:

Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah…

  1. 48,5 tahun
  2. 49,0 tahun
  3. 49,5 tahun
  4. 50,0 tahun
  5. 50,5 tahun
Pembahasan »

Dari soal kita peroleh berikut:

\begin{aligned} U_3 = a+2b &= 7 \\[8pt] U_5 = a+4b &= 12 \qquad (-) \\[20pt] \hline -2b &= -5 \\[8pt] b &= \frac{5}{2} \\[8pt] b = \frac{5}{2} \Leftrightarrow a+2b&=7 \\[8pt] a+2(5/2) &= 7 \\[8pt] a &= 7-5=2 \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, maka jumlah usia enam anak tersebut, yaitu:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\[8pt] S_6 &= \frac{6}{2}(2(2)+(6-1)(5/2)) \\[8pt] &= 3(4+5(5/2)) = 3(4+25/2) \\[8pt] &= 12+\frac{75}{2} = \frac{24}{2}+\frac{75}{2} \\[8pt] &= \frac{99}{2} = 49,5 \ \text{tahun} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 22: SBMPTN 2014

Diketahui \( a, a+b, \) dan \(4a+b\) merupakan 3 suku berurutan suatu barisan aritmetika. Jika \(a, a+b, 4a+b+9\) merupakan suatu barisan geometri maka \(a+b= \cdots\)

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
  5. 6
Pembahasan »

Diketahui \( a, a+b, 4a+b \) membentuk barisan aritmetika sehingga berlaku:

\begin{aligned} U_1, &U_2, U_3 \quad \text{(barisan aritmetika)} \\[8pt] 2U_2 &= U_1 + U_3 \\[8pt] 2(a+b) &= a+(4a+b) \\[8pt] 2a+2b &= 5a+b \\[8pt] b &= 3a \qquad \cdots (1) \end{aligned}

Diketahui \(a, a+b, 4a+b+9\) membentuk barisan geometri sehingga berlaku:

\begin{aligned} U_1, &U_2, U_3 \quad \text{(barisan geometri)} \\[8pt] U_2^2 &= U_1 \cdot U_3 \\[8pt] (a+b)^2 &= a \cdot (4a+b+9) \\[8pt] (a+3a)^2 &= a \cdot (4a+3a+9) \\[8pt] (4a)^2 &= a \cdot (7a+9) \\[8pt] 16a^2 &= 7a^2+9a \\[8pt] 9a^2-9a &= 0 \\[8pt] a-1 &= 0 \Leftrightarrow a = 1 \quad \cdots (2) \end{aligned}

Untuk \(a = 1\) maka diperoleh \(b = 3a = 3(1) = 3\) sehingga \(a+b = 1+3=4\).

Jawaban C.

Contoh 23: SBMPTN 2014

Jika suku pertama, ke-3 dan ke-6 suatu barisan aritmetika masing-masing adalah \(b-a, a, 36\) serta jumlah 9 suku pertama barisan tersebut adalah 180, maka beda barisan tersebut adalah…

  1. 18
  2. 16
  3. 12
  4. 9
  5. 6
Pembahasan »

Misalkan suku pertama \( U_1 = x \) dan beda \( b = y \) sehingga berlaku:

\begin{aligned} U_1 &= x = b-a \\[8pt] U_3 &= x+2y \Leftrightarrow a = x+2y \\[8pt] y &= \frac{a-x}{2} = \frac{a-(b-a)}{2} \\[8pt] &= \frac{2a-b}{2} \\[8pt] U_6 &= x+5y \\[8pt] 36 &= (b-a)+5\left( \frac{2a-b}{2} \right) \\[8pt] 72 &= 2b-2a+5(2a-b) \\[8pt] 72 &= 2b-2a+10a-5b \\[8pt] 72 &= 8a-3b \qquad \cdots (1) \end{aligned}

Dari soal diketahui jumlah 9 suku pertama adalah 180, sehingga diperoleh:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\[8pt] S_9 &= \frac{9}{2}(2x+(9-1)y) \\[8pt] 180 &= \frac{9}{2}(2x+8b) \Leftrightarrow 180 = 9(x+4b) \\[8pt] 20 &= x+4b \\[8pt] 20 &= (b-a) + 4 \left( \frac{2a-b}{2} \right) \\[8pt] 20 &= b-a+(4a-2b) \\[8pt] 20 &= 3a-b \qquad \cdots (2) \end{aligned}

Dari persamaan (1) dan (2), kita peroleh:

\begin{aligned} 8a-3b = 72 &\Leftrightarrow 8a-3b = 72 \\[8pt] 3a-b = 20 &\Leftrightarrow 9a-3b = 60 \qquad (-) \\[20pt] \hline &\Leftrightarrow -a = 12 \\[8pt] &\Leftrightarrow a = -12 \\[8pt] a = -12 &\Leftrightarrow 3a-b = 20 \\[8pt] &\Leftrightarrow -36-b = 20 \\[8pt] &\Leftrightarrow b=-56 \\[20pt] \hline \text{beda (y)} = \frac{2a-b}{2} &\Leftrightarrow y = \frac{2(-12)-(-56)}{2} \\[8pt] &\Leftrightarrow y = \frac{-24+56}{2} = \frac{32}{2} \\[8pt] &\Leftrightarrow y = 16 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 24: SBMPTN 2014

Jumlah suku ke-4 dan suku ke-5 dari suatu barisan aritmetika adalah 55, sedangkan suku ke-9 dikurangi dua kali suku ke-2 bernilai 1. Jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah…

  1. 17
  2. 35
  3. 37
  4. 40
  5. 60
Pembahasan »

Dari barisan aritmetika \( a, a+b, a+2b, \cdots, a+(n-1)b \), kita peroleh:

\begin{aligned} U_4 + U_5 &= 55 \\[8pt] (a+3b)+(a+4b) &= 55 \\[8pt] 2a+7b &= 55 \quad \cdots(1) \\[8pt] U_9-2U_2 &= 1 \\[8pt] (a+8b)-2(a+b) &= 1 \\[8pt] a+8b-2a-2b &= 1 \\[8pt] -a+6b &= 1 \quad \cdots(2) \end{aligned}

Dari persamaan (1) dan (2), kita peroleh:

\begin{aligned} 2a+7b = 55 &\Leftrightarrow 2a+7b = 55 \\[8pt] -a+6b = 1 &\Leftrightarrow -2a+12b = 2 \quad (+) \\[20pt] \hline &\Leftrightarrow 19b = 57 \\[8pt] &\Leftrightarrow b = \frac{57}{19} = 3 \\[8pt] b = 3 &\Leftrightarrow -a+6b=1 \\[8pt] &\Leftrightarrow -a+18=1 \\[8pt] &\Leftrightarrow a = 17 \\[20pt] \hline S_3 &= 17+20+23 = 60 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 25:

Jika tiga bilangan \( q, s, \) dan \(t\) membentuk barisan geometri, maka \( \frac{q+s}{q+2s+t} = \cdots \)

  1. \( \frac{q}{q+t} \)
  2. \( \frac{s}{s+t} \)
  3. \( \frac{s}{q+s} \)
  4. \( \frac{q}{s+t} \)
  5. \( \frac{t}{q+t} \)
Pembahasan »

Diketahui bilangan \( q, s, \) dan \(t\) membentuk barisan geometri, sehingga berlaku:

\begin{aligned} U_n &= ar^{n-1} \\[8pt] U_2 &= ar^{2-1} = ar \\[8pt] s &= qr \\[8pt] U_3 &= ar^{3-1} = ar^2 \\[8pt] t &= qr^2 = sr \Leftrightarrow r = \frac{t}{s} \\[8pt] \frac{q+s}{q+2s+t} &= \frac{q+qr}{q+2qr+qr^2} = \frac{1+s}{1+2r+r^2} \\[8pt] &= \frac{1+r}{(1+r)^2} = \frac{1}{1+r} = \frac{1}{1+\frac{t}{s}} \\[8pt] &= \frac{1}{\frac{s+t}{s}} = \frac{s}{s+t} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 26:

Jumlah 101 bilangan genap berurutan adalah 13130. Jumlah tiga bilangan terkecil yang pertama dari bilangan-bilangan genap tersebut adalah…

  1. 96
  2. 102
  3. 108
  4. 114
  5. 120
Pembahasan »

Kita dapat selesaikan soal ini menggunakan konsep barisan dan deret aritmetika. Dari soal diketahui \( n = 101, \ S_n = 13130 \) dan karena merupakan barisan bilangan genap maka \(b = 2\). Kita peroleh berikut:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\[8pt] 13130 &= \frac{101}{2}(2a+(101-1)(2)) \\[8pt] 13130 &= \frac{101}{2}(2a+200) \\[8pt] 13130 &= 101(a+100) \\[8pt] 130 &= a+100 \\[8pt] a &= 130-100 \\[8pt] &= 30 \end{aligned}

Jadi, tiga bilangan terkecil yaitu \( 30+32+34 = 96 \).

Jawaban A.

Contoh 27:

Jumlah kelipatan 3 dan 5 antara 200 dan 400 adalah…

Pembahasan »

Bilangan kelipatan 3 dan 5 adalah 15 dan kelipatan 15 yang terletak di antara 200 dan 400 adalah \(210, 225, 240, \cdots, 390\). Dengan demikian, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} 210, \ &225, \ 240, \cdots, 390 \\[8pt] U_n &= a+(n-1)\cdot b \\[8pt] 390 &= 210+(n-1)\cdot 15 \\[8pt] 390 &= 210+15n-15 \\[8pt] 195 &= 15n \Leftrightarrow n = \frac{195}{15} = 13 \\[8pt] S_n &= \frac{n}{2}(a+U_n) \\[8pt] S_{13} &= \frac{13}{2}(210+390) \\[8pt] &= \frac{13}{2}(600) \\[8pt] &= 3900 \end{aligned}

Jadi, jumlah kelipatan 3 dan 5 yang terletak di antara 200 dan 400 adalah 3900.

Contoh 28:

Tiga buah bilangan membentuk deret aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 33 dan hasil kalinya adalah 1.232. Tentukan bilangan yang terkecil!

Pembahasan »

Misalkan tiga buah bilangan tersebut yaitu \( a-b, b, a+b \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} (a-b)+a+(a+b) &= 33 \\[8pt] 3a &= 33 \\[8pt] a &= 11 \\[8pt] (a-b) \times a \times (a+b) &= 1.232 \\[8pt] (11-b) \times 11 \times (11+b) &= 1.232 \\[8pt] (11-b)(11+b) &= \frac{1.232}{11} \\[8pt] 121-b^2 &= 112 \\[8pt] b^2 &= 9 \\[8pt] b = 3 \ \text{atau} \ b &= -3 \end{aligned}

Untuk \(a = 11\) dan \(b=3\) maka bilangan-bilangan tersebut adalah \((11-3), 11, (11+3)\) atau \(8, 11, 14\). Sedangkan, untuk \(a = 11\) dan \(b=-3\) maka bilangan-bilangan tersebut adalah \((11+3), 11, (11-3)\) atau \(14, 11, 8\).

Jadi, bilangan terkecil dari deret aritmetika tersebut adalah 8.

Contoh 29:

Sebuah gedung pertemuan terdapat 25 kursi pada baris pertama, dan setiap baris berikutnya memuat 3 kursi lebih banyak dari baris di depannya. Tentukan banyak kursi dalam gedung tersebut jika terdapat 15 baris kursi.

Pembahasan »

Barisan yang dimaksud yaitu \( 25, 28, 31, 34, \cdots \). Diketahui \(a = 25, b = 3\) dan \(n=15\) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\[8pt] S_{15} &= \frac{15}{2}(2(25)+(15-1)(3)) \\[8pt] &= \frac{15}{2}(50+42) = \frac{15}{2}(92) \\[8pt] &= 15 \times 46 \\[8pt] &= 690 \end{aligned}

Jadi, banyak kursi dalam gedung tersebut adalah 690 kursi.

Contoh 30:

Antara dua suku yang berurutan pada barisan \(3, 18, 33, \cdots\) disisipkan 4 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk adalah…

  1. 78
  2. 81
  3. 84
  4. 87
  5. 91
Pembahasan »

Dari barisan \(3, 18, 33, \cdots\) diperoleh \(a = 3, b = 15\) dan diketahui \(k = 4\) sehingga beda barisan yang baru yaitu \( b' = \frac{b}{k+1} =\frac{15}{4+1} = 3 \). Dengan demikian, jumlah 7 suku pertama dari barisan baru yang terbentuk, yaitu:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\[8pt] S_7 &= \frac{7}{2}(2(3)+(7-1)(3)) \\[8pt] &= \frac{7}{2}(6+18) = \frac{7}{2}(24) \\[8pt] &= 7 \times 12 \\[8pt] &=84 \end{aligned}

Jawaban C.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

Artikel Terkait
img

Contoh soal barisan dan deret aritmatika serta pembahasannya

img

Contoh soal barisan dan deret geometri serta pembahasannya

img

Contoh soal barisan dan deret tak hingga serta pembahasannya

Only those who can see the invisible can accomplish the impossible.

Patrick Snow