Diketahui suatu barisan aritmatika dengan \( U_2 = 8 \) dan \( U_6 = 20 \). Jumlah 6 suku pertama barisan tersebut adalah…
Pembahasan:
Ingat bahwa untuk barisan dan deret aritmatika, kita mempunyai rumus berikut ini:
Dari soal diketahui \( U_2 = 8 \) dan \(U_6 = 20\) sehingga diperoleh:
Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) di atas, diperoleh nilai \(a=5\) dan \(b=3\). Dengan demikian, diperoleh:
Jadi, jumlah 6 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah 75.
Jawaban B.
Rumus umum dari barisan aritmatika \( -8,0,8,16, \cdots \) adalah…
Pembahasan:
Dari soal diketahui \(a=-8\) dan \(b=9\). Dengan menggunakan formula suku ke-n barisan aritmatika, kita peroleh hasil berikut:
Jadi, rumus umum barisan tersebut adalah \( U_n = 8n-16 \).
Jawaban E.
Diketahui suatu barisan aritmatika dengan \( U_4 = 17 \) dan \( U_9 = 37 \). Suku ketujuh barisan tersebut adalah…
Pembahasan:
Ingat bahwa rumus untuk suku ke-n bariasan aritmatika adalah \( U_n = a+(n-1)b \). Untuk menyelesaikan soal ini, pertama kita cari dulu nilai \(b\) dan \(a\). Nilai \(b\) dapat diperoleh dengan rumus sebagai berikut:
Selanjutnya, akan dicari nilai \(a\) (suku pertama) menggunakan persamaan \( U_4 = 17 \), yakni:
Dengan demikian, suku ke-7 barisan tersebut, yaitu:
Jawaban B.
Di antara tiap dua suku bilangan 20, 68, dan 116 akan disisipkan 5 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika. Jumlah seluruh bilangan yang disisipkan adalah…
Pembahasan:
Barisan aritmatika yang dimaksud adalah \( 20, U_2, U_3, U_4, U_5, U_6, 68, U_8, U_9, U_{10}, U_{11}, U_{12}, 116 \). Dari sini diketahui \( U_1 = a = 20 \) dan karena \( U_7 = 68 \), maka
Dari hasil di atas telah diperoleh nilai \(a = 20\) dan \(b=8\). Selanjutnya, akan dihitung jumlah 13 suku pertama barisan tersebut, yakni:
Dengan demikian, jumlah semua bilangan yang disisipkan itu, yaitu:
Jawaban A.
Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan \( S_n = 2n^2+4n \). Suku ke-9 dari deret aritmatika tersebut adalah…
Pembahasan:
Ingat bahwa \( U_n = S_n - S_{n-1} \). Dengan demikian, kita dapatkan hasil berikut:
Jadi, suku ke-9 dari deret aritmatika tersebut adalah 38.
Jawaban C.
Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan \( S_n = \frac{5}{2}n^2+\frac{3}{2}n \). Suku ke-10 dari deret aritmatika tersebut adalah…
Pembahasan:
Ingat bahwa \( U_n = S_n - S_{n-1} \). Dengan demikian, kita peroleh hasil berikut:
Jadi, suku ke-10 dari deret aritmatika tersebut adalah 49.
Jawaban A.
Jumlah 20 suku pertama suatu deret aritmatika ialah 500. Jika suku pertama ialah 5, maka suku terakhir deret itu adalah…
Pembahasan:
Dari soal diketahui \( S_{20} = 500; U_1 = a = 5 \). Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmatika, diperoleh:
Jadi, suku terakhir deret itu adalah 45.
Jawaban C.
Jumlah bilangan genap antara 1 dan 101 yang tidak habis dibagi 3 adalah…
Pembahasan:
Bilangan genap yang habis dibagi 3 adalah bilangan kelipatan 6. Barisan bilangan kelipatan 6 dari 1 sampai 101 yaitu 6, 12, 18, 24, … , 96 yang merupakan barisan aritmatika dengan \(a = 6, \ n = \frac{96}{6} = 16 \), dan \( U_n = U_{16} = 96 \). Jumlah tiap suku barisan ini, yaitu:
Selanjutnya, akan dicari jumlah bilangan genap dari 1 sampai 101, yaitu jumlah tiap suku dari barisan 2,4,6,8,…,100 yang merupakan barisan aritmatika dengan \( a=2, \ n = 50 \), dan \( U_{50} = 100 \) sehingga kita peroleh:
Dengan demikian, jumlah bilangan genap dari 1 sampai 101 yang tidak habis dibagi 3 yaitu \( 2.550-816 = 1.734 \).
Jawaban B.
Jika \( x_{k+1}= x_k + \frac{1}{2} \) untuk \( k = 1,2,3,\cdots \) dan \( x_1 = 1 \), maka nilai dari \( x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} = \cdots \)
Pembahasan:
Perhatikan bahwa \( x_{k+1} = x_k + \frac{1}{2} \) ekuivalen dengan \( x_{k+1}-x_k = \frac{1}{2} \). Selisih antara \( x_{k+1} \) dan \(x_k\) adalah konstan yaitu \( \frac{1}{2} \) untuk setiap \(k \geq 1\) sehingga \( x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} \) merupakan deret aritmatika dengan suku pertama \( x_1 = a = 1 \) dan \( b = \frac{1}{2} \), serta \(n = 400\). Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:
Jadi, hasil dari \( x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} \) adalah 40.300.
Jawaban B.
Diketahui barisan aritmatika: \( 4,1,-2,-5, \cdots \). Suku ke-10 barisan tersebut adalah…
Pembahasan:
Dari soal diketahui \( a = 4 \) dan \(b=-3\). Dengan demikian, berdasarkan formula suku ke-n barisan aritmatika, kita peroleh hasil berikut:
Jadi, suku ke-10 barisan aritmatika tersebut adalah -23.
Jawaban C.
Misalkan \(U_n\) adalah suku ke-n suatu barisan aritmatika. Jika \( U_{k+2} = U_2 + k \cdot U_{16}-2 \), maka nilai dari \( U_6+U_{12}+U_{18}+U_{24} = \cdots \)
Pembahasan:
Ingat bahwa rumus suku ke-n barisan aritmatika yaitu \( U_n = a + (n-1)b \). Berdasarkan rumus ini, kita peroleh:
Selanjutnya, kita peroleh berikut ini:
Dengan demikian,
Jadi, nilai dari \( U_6+U_{12}+U_{18}+U_{24} \) adalah \( \frac{8}{k} \).
Jawaban E.
Jika suku pertama barisan aritmatika adalah -2 dengan beda 3, \( S_n \) adalah jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut, dan \( S_{n-2} = 68 \), maka nilai \(n\) adalah…
Pembahasan:
Ingat bahwa rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika yaitu \( S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b \). Dengan demikian, untuk \( S_{n-2}=68 \), maka kita peroleh berikut:
Nilai \(n\) di atas yang memenuhi adalah \(n=10\) karena \(n\) mewakili urutan suku maka nilainya harus bilangan bulat positif. Jadi, nilai \(n\) adalah 10.
Jawaban B.
Misalkan \( a_1, a_2, a_3, \cdots \) adalah barisan aritmatika naik dengan suku-suku berupa bilangan bulat positif. Jika \(a_3 = 19\), maka nilai maksimum dari \( a_{a_1}+a_{a_2}+a_{a_3}+a_{a_4}+a_{a_5} \) adalah…
Pembahasan:
Diketahui \(\{a_n\} \) merupakan barisan aritmatika. Anggap \(a\) dan \(b\) berturut-turut adalah suku pertama dan beda antar suku yang berdekatan sehingga berlaku \(a_n = a+(n-1)b\) dan untuk \( a_3 = 19 \) maka \( a_3 = a+2b=19 \) sehingga:
Perhatikan bahwa
Jumlahkan kelima persamaan di atas.
Bentuk terakhir menunjukkan bahwa \(\) akan bernilai maksimum jika \(b\) dibuat maksimum. Karena barisan aritmatika tersebut terdiri dari suku-suku dengan bilangan bulat positif dan \(a+2b=19\), maka ambil nilai \(a\) terendah yang mungkin, yakni \(a=1\) sehingga mengakibatkan \(b=9\). Dengan demikian, nilai maksimum jumlah lima suku barisan tersebut adalah \( (5(19+16(9)) = 815 \).
Jawaban D.