www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Barisan dan Deret   ›  Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika Serta Pembahasannya
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika Serta Pembahasannya


Flag Counter
Flag Counter
Contoh 1: UNBK Matematika IPA 2018

Diketahui suatu barisan aritmatika dengan \( U_2 = 8 \) dan \( U_6 = 20 \). Jumlah 6 suku pertama barisan tersebut adalah…

  1. 150
  2. 75
  3. 50
  4. 28
  5. 25

Pembahasan:

Ingat bahwa untuk barisan dan deret aritmatika, kita mempunyai rumus berikut ini:

\begin{aligned} U_n &= a+(n-1) \cdot b \\[8pt] S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1) \cdot b) \end{aligned}

Dari soal diketahui \( U_2 = 8 \) dan \(U_6 = 20\) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} U_n &= a+(n-1) \cdot b \\[8pt] U_2 &= a + (2-1) \cdot b \\[8pt] 8 &= a + b \quad \cdots (1) \\[8pt] U_6 &= a+(6-1) \cdot b \\[8pt] 20 &= a+5b \quad \cdots (2) \end{aligned}

Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) di atas, diperoleh nilai \(a=5\) dan \(b=3\). Dengan demikian, diperoleh:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1) \cdot b) \\[8pt] S_6 &= \frac{6}{2}(2 \cdot 5+(6-1) \cdot 3) \\[8pt] &= 3 (10+5 \cdot 3) \\[8pt] &= 3 \cdot 25 \\[8pt] &= 75 \end{aligned}

Jadi, jumlah 6 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah 75.

Jawaban B.

Contoh 2:

Rumus umum dari barisan aritmatika \( -8,0,8,16, \cdots \) adalah…

  1. \( U_n = 2n \)
  2. \( U_n = 2n + 2 \)
  3. \( U_n = 4n-6 \)
  4. \( U_n = 8n+16 \)
  5. \( U_n = 8n-16 \)

Pembahasan:

Dari soal diketahui \(a=-8\) dan \(b=9\). Dengan menggunakan formula suku ke-n barisan aritmatika, kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} U_n &= a + (n-1) \cdot b \\[8pt] &= -8 + (n-1) \cdot 8 \\[8pt] &= -8+8n-8 \\[8pt] &= 8n-16 \end{aligned}

Jadi, rumus umum barisan tersebut adalah \( U_n = 8n-16 \).

Jawaban E.

Contoh 3:

Diketahui suatu barisan aritmatika dengan \( U_4 = 17 \) dan \( U_9 = 37 \). Suku ketujuh barisan tersebut adalah…

  1. 25
  2. 29
  3. 32
  4. 40
  5. 44

Pembahasan:

Ingat bahwa rumus untuk suku ke-n bariasan aritmatika adalah \( U_n = a+(n-1)b \). Untuk menyelesaikan soal ini, pertama kita cari dulu nilai \(b\) dan \(a\). Nilai \(b\) dapat diperoleh dengan rumus sebagai berikut:

\begin{aligned} b &= \frac{U_n-U_m}{n-m} = \frac{U_9-U_4}{9-4} \\[8pt] &= \frac{37-17}{9-4} = \frac{20}{5} \\[8pt] &= 4 \end{aligned}

Selanjutnya, akan dicari nilai \(a\) (suku pertama) menggunakan persamaan \( U_4 = 17 \), yakni:

\begin{aligned} U_n &= a + (n-1)b \\[8pt] U_4 &= a + (4-1) \cdot 4 \\[8pt] 17 &= a+12 \\[8pt] a &= 17-12 \\[8pt] &=5 \end{aligned}

Dengan demikian, suku ke-7 barisan tersebut, yaitu:

\begin{aligned} U_n &= a + (n-1)b \\[8pt] U_{7} &= 5 + (7-1) \cdot 4 \\[8pt] &= 5+ 6 \cdot 4 \\[8pt] &= 5+24 \\[8pt] &= 29 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 4:

Di antara tiap dua suku bilangan 20, 68, dan 116 akan disisipkan 5 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika. Jumlah seluruh bilangan yang disisipkan adalah…

  1. 680
  2. 694
  3. 740
  4. 880
  5. 889

Pembahasan:

Barisan aritmatika yang dimaksud adalah \( 20, U_2, U_3, U_4, U_5, U_6, 68, U_8, U_9, U_{10}, U_{11}, U_{12}, 116 \). Dari sini diketahui \( U_1 = a = 20 \) dan karena \( U_7 = 68 \), maka

\begin{aligned} U_7 &= 68 \\[8pt] a + 6b &= 68 \\[8pt] 20 + 6b &= 68 \\[8pt] 6b &= 68-20 \\[8pt] b &= \frac{48}{6} = 8 \end{aligned}

Dari hasil di atas telah diperoleh nilai \(a = 20\) dan \(b=8\). Selanjutnya, akan dihitung jumlah 13 suku pertama barisan tersebut, yakni:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\[8pt] S_{13} &= \frac{13}{2} (2 \cdot 20 + (13-1) \cdot 8) \\[8pt] &= \frac{13}{2}(40+96) \\[8pt] &= \frac{13}{2}(136) = 884 \end{aligned}

Dengan demikian, jumlah semua bilangan yang disisipkan itu, yaitu:

\begin{aligned} &\Leftrightarrow S_{13}-U_1-U_7-U_{13} \\[8pt] &\Leftrightarrow 884-20-68-116 \\[8pt] &\Leftrightarrow 680 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 5:

Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan \( S_n = 2n^2+4n \). Suku ke-9 dari deret aritmatika tersebut adalah…

  1. 30
  2. 34
  3. 38
  4. 42
  5. 46

Pembahasan:

Ingat bahwa \( U_n = S_n - S_{n-1} \). Dengan demikian, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} S_n &= 2n^2+4n \\[8pt] S_{8} &= 2(8)^2+4(8) = 2(64)+32 \\[8pt] &= 128+32 = 160 \\[8pt] S_{9} &= 2(9)^2+4(9) = 2(81)+36 \\[8pt] &= 162+36 = 198 \\[8pt] U_n &= S_n - S_{n-1} \\[8pt] U_{9} &= S_{9} - S_8 = 198-160 \\[8pt] &= 38 \end{aligned}

Jadi, suku ke-9 dari deret aritmatika tersebut adalah 38.

Jawaban C.

Contoh 6:

Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan \( S_n = \frac{5}{2}n^2+\frac{3}{2}n \). Suku ke-10 dari deret aritmatika tersebut adalah…

  1. 49
  2. 47,5
  3. 35
  4. 33,5
  5. 29

Pembahasan:

Ingat bahwa \( U_n = S_n - S_{n-1} \). Dengan demikian, kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} S_n &= \frac{5}{2}n^2+\frac{3}{2}n \\[8pt] S_{9} &= \frac{5}{2}(9)^2+\frac{3}{2}(9) = \frac{5}{2}(81)+\frac{27}{2} \\[8pt] &= \frac{405+27}{2} = \frac{432}{2} = 216 \\[8pt] S_{10} &= \frac{5}{2}(10)^2+\frac{3}{2}(10) = \frac{5}{2}(100)+15 \\[8pt] &= 250+15 = 265 \\[8pt] U_n &= S_n - S_{n-1} \\[8pt] U_{10} &= S_{10} - S_9 = 265-216 \\[8pt] &= 49 \end{aligned}

Jadi, suku ke-10 dari deret aritmatika tersebut adalah 49.

Jawaban A.

Contoh 7:

Jumlah 20 suku pertama suatu deret aritmatika ialah 500. Jika suku pertama ialah 5, maka suku terakhir deret itu adalah…

  1. 35
  2. 39
  3. 45
  4. 48
  5. 52

Pembahasan:

Dari soal diketahui \( S_{20} = 500; U_1 = a = 5 \). Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmatika, diperoleh:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(a+U_n) \\[8pt] S_{20} &= \frac{20}{2}(5+U_{20}) \\[8pt] 500 &= 50+10 \cdot U_{20} \\[8pt] U_{20} &= \frac{500-50}{10} = 45 \end{aligned}

Jadi, suku terakhir deret itu adalah 45.

Jawaban C.

Contoh 8:

Jumlah bilangan genap antara 1 dan 101 yang tidak habis dibagi 3 adalah…

  1. 1.742
  2. 1.734
  3. 1.730
  4. 1.724
  5. 1.718

Pembahasan:

Bilangan genap yang habis dibagi 3 adalah bilangan kelipatan 6. Barisan bilangan kelipatan 6 dari 1 sampai 101 yaitu 6, 12, 18, 24, … , 96 yang merupakan barisan aritmatika dengan \(a = 6, \ n = \frac{96}{6} = 16 \), dan \( U_n = U_{16} = 96 \). Jumlah tiap suku barisan ini, yaitu:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(a+U_n) \\[8pt] S_{16} &= \frac{16}{2}(6+U_{16}) \\[8pt] &= 8 (6+96) = 816 \end{aligned}

Selanjutnya, akan dicari jumlah bilangan genap dari 1 sampai 101, yaitu jumlah tiap suku dari barisan 2,4,6,8,…,100 yang merupakan barisan aritmatika dengan \( a=2, \ n = 50 \), dan \( U_{50} = 100 \) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(a+U_n) \\[8pt] S_{50} &= \frac{50}{2}(2+U_{50}) \\[8pt] &= 25 (2+100) = 2.550 \end{aligned}

Dengan demikian, jumlah bilangan genap dari 1 sampai 101 yang tidak habis dibagi 3 yaitu \( 2.550-816 = 1.734 \).

Jawaban B.

Contoh 9:

Jika \( x_{k+1}= x_k + \frac{1}{2} \) untuk \( k = 1,2,3,\cdots \) dan \( x_1 = 1 \), maka nilai dari \( x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} = \cdots \)

  1. 40.000
  2. 40.300
  3. 40.600
  4. 40.900
  5. 41.200

Pembahasan:

Perhatikan bahwa \( x_{k+1} = x_k + \frac{1}{2} \) ekuivalen dengan \( x_{k+1}-x_k = \frac{1}{2} \). Selisih antara \( x_{k+1} \) dan \(x_k\) adalah konstan yaitu \( \frac{1}{2} \) untuk setiap \(k \geq 1\) sehingga \( x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} \) merupakan deret aritmatika dengan suku pertama \( x_1 = a = 1 \) dan \( b = \frac{1}{2} \), serta \(n = 400\). Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} &= S_{400} \\[8pt] S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\[8pt] S_{400} &= \frac{400}{2} \left(2\cdot 1 + (400-1) \cdot \frac{1}{2} \right) \\[8pt] &= 200 \left( 2 + \frac{399}{2} \right) = 400 + 39.900 \\[8pt] &= 40.300 \end{aligned}

Jadi, hasil dari \( x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} \) adalah 40.300.

Jawaban B.

Contoh 10:

Diketahui barisan aritmatika: \( 4,1,-2,-5, \cdots \). Suku ke-10 barisan tersebut adalah…

  1. 31
  2. 23
  3. -23
  4. -26
  5. -31

Pembahasan:

Dari soal diketahui \( a = 4 \) dan \(b=-3\). Dengan demikian, berdasarkan formula suku ke-n barisan aritmatika, kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} U_n &= a + (n-1) \cdot b \\[8pt] U_{10} &= 4 + (10-1) \cdot (-3) \\[8pt] &= 4+9 \cdot (-3) \\[8pt] &= -23 \end{aligned}

Jadi, suku ke-10 barisan aritmatika tersebut adalah -23.

Jawaban C.

Contoh 11:

Misalkan \(U_n\) adalah suku ke-n suatu barisan aritmatika. Jika \( U_{k+2} = U_2 + k \cdot U_{16}-2 \), maka nilai dari \( U_6+U_{12}+U_{18}+U_{24} = \cdots \)

  1. \( \frac{2}{k} \)
  2. \( \frac{3}{k} \)
  3. \( \frac{4}{k} \)
  4. \( \frac{6}{k} \)
  5. \( \frac{8}{k} \)

Pembahasan:

Ingat bahwa rumus suku ke-n barisan aritmatika yaitu \( U_n = a + (n-1)b \). Berdasarkan rumus ini, kita peroleh:

\begin{aligned} U_n &= a+(n-1)b \\[8pt] U_{k+2} &= a+(k+2-1)b \\[8pt] &= a+(k-1)b \end{aligned}

Selanjutnya, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} U_{k+2} &= U_2 + k \cdot U_{16}-2 \\[8pt] a+(k+1)b &= (a+b)+k(a+15b)-2 \\[8pt] a+b+kb &= (a+b)+ka+15kb-2 \\[8pt] kb &= ka+15kb-2 \\[8pt] ka+14kb &= 2 \\[8pt] k(a+14b) &= 2 \Leftrightarrow a+14b = \frac{2}{k} \end{aligned}

Dengan demikian,

\begin{aligned} U_6+U_{12}+U_{18}+U_{24} &= (a+5b)+(a+11b)+(a+17b)+(a+23b) \\[8pt] &= 4a+56b = 4(a+14b) \\[8pt] &= 4 \cdot \frac{2}{k} = \frac{8}{k} \end{aligned}

Jadi, nilai dari \( U_6+U_{12}+U_{18}+U_{24} \) adalah \( \frac{8}{k} \).

Jawaban E.

Contoh 12:

Jika suku pertama barisan aritmatika adalah -2 dengan beda 3, \( S_n \) adalah jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut, dan \( S_{n-2} = 68 \), maka nilai \(n\) adalah…

  1. 8
  2. 10
  3. 11
  4. 12
  5. 15

Pembahasan:

Ingat bahwa rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika yaitu \( S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b \). Dengan demikian, untuk \( S_{n-2}=68 \), maka kita peroleh berikut:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b \\[8pt] S_{n-2} &= \frac{n-2}{2}(2a+[(n-2)-1]b) \\[8pt] 68 &= \frac{n-2}{2}(2a+(n-3)b) \\[8pt] 136 &= (n-2)(2 \cdot -2 +(n-3) \cdot 3) \\[8pt] 136 &= (n-2)(3n-13) \\[8pt] 136 &= 3n^2-19n+26 \\[8pt] 0 &= 3n^2-19n-110 \\[8pt] 0 &= (3n+11)(n-10) \\[8pt] n &= -\frac{11}{3} \ \text{atau} \ n = 10 \end{aligned}

Nilai \(n\) di atas yang memenuhi adalah \(n=10\) karena \(n\) mewakili urutan suku maka nilainya harus bilangan bulat positif. Jadi, nilai \(n\) adalah 10.

Jawaban B.

Contoh 13:

Misalkan \( a_1, a_2, a_3, \cdots \) adalah barisan aritmatika naik dengan suku-suku berupa bilangan bulat positif. Jika \(a_3 = 19\), maka nilai maksimum dari \( a_{a_1}+a_{a_2}+a_{a_3}+a_{a_4}+a_{a_5} \) adalah…

  1. 513
  2. 692
  3. 737
  4. 815
  5. 900

Pembahasan:

Diketahui \(\{a_n\} \) merupakan barisan aritmatika. Anggap \(a\) dan \(b\) berturut-turut adalah suku pertama dan beda antar suku yang berdekatan sehingga berlaku \(a_n = a+(n-1)b\) dan untuk \( a_3 = 19 \) maka \( a_3 = a+2b=19 \) sehingga:

\begin{aligned} a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 &= a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+(a+4b) \\[8pt] &= 5a+10b = 5(a+2b) \\[8pt] &= 5 \times 19 = 95 \end{aligned}

Perhatikan bahwa

\begin{aligned} a_{a_1} &= a+(a_1-1)b \\[8pt] a_{a_2} &= a+(a_2-1)b \\[8pt] a_{a_3} &= a+(a_3-1)b \\[8pt] a_{a_4} &= a+(a_4-1)b \\[8pt] a_{a_5} &= a+(a_5-1)b \end{aligned}

Jumlahkan kelima persamaan di atas.

\begin{aligned} &\Leftrightarrow a_{a_1}+a_{a_2}+a_{a_3}+a_{a_4}+a_{a_5} \\[8pt] &\Leftrightarrow 5a+(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)b -5b \\[8pt] &\Leftrightarrow 5a+95b-5b = 5a+90b \\[8pt] &\Leftrightarrow 5(a+18b) = 5((a+2b)+16b) \\[8pt] &\Leftrightarrow 5(19+16b) \end{aligned}

Bentuk terakhir menunjukkan bahwa \(\) akan bernilai maksimum jika \(b\) dibuat maksimum. Karena barisan aritmatika tersebut terdiri dari suku-suku dengan bilangan bulat positif dan \(a+2b=19\), maka ambil nilai \(a\) terendah yang mungkin, yakni \(a=1\) sehingga mengakibatkan \(b=9\). Dengan demikian, nilai maksimum jumlah lima suku barisan tersebut adalah \( (5(19+16(9)) = 815 \).

Jawaban D.