www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Barisan dan Deret   ›  Contoh Soal Barisan dan Deret Tak Hingga Serta Pembahasannya
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal Barisan dan Deret Tak Hingga Serta Pembahasannya

Pada artikel ini kita akan membahas beberapa contoh soal barisan dan deret tak hingga. Sebelum masuk ke contoh soal, ada baiknya kita pelajari dulu beberapa definisi, istilah, notasi, dan rumus-rumus yang biasa digunakan dalam barisan dan deret tak hingga.

Barisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan dengan aturan tertentu, sedangkan deret bilangan adalah penjumlahan dari bilangan-bilangan pada barisan bilangan.

\( U_1, U_2, U_3, \cdots \) disebut barisan bilangan.

\( U_1+U_2+U_3+\cdots \) disebut deret bilangan.

\( U_1 \) disebut suku ke-1, \( U_2 \) disebut suku ke-2, \( U_3 \) disebut suku ke-3, dan seterusnya.

Rumus jumlah semua suku pada deret geometri tak hingga, yaitu:

\[ S_\infty = \frac{a}{1-r} \]

di mana: \(a\) adalah suku pertama dan \(r\) adalah rasio dari deret.

Contoh 1:

Hasil jumlah dari \( 4 + 2 + 1 + \cdots \) adalah….

  1. 5
  2. 6
  3. 8
  4. 12
  5. 14
Pembahasan »

Deret geometri tak hingga tersebut memiliki suku pertama \(a=4\) dan rasio \(r = \frac{1}{2} \). Dengna demikian, jumlah tak hingga deret tersebut, yaitu:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] &= \frac{4}{1-\frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 4 \times 2 = 8 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 2:

Jumlah deret geometri tak hingga \( 27-9+3-1+\frac{1}{3}+ \cdots \) adalah…

  1. \( \frac{27}{2} \)
  2. \( \frac{27}{4} \)
  3. \( \frac{81}{2} \)
  4. \( \frac{81}{4} \)
  5. \( -\frac{81}{4} \)
Pembahasan »

Deret geometri tak hingga dalam soal ini memiliki suku pertama \(a=27\) dan rasio \(r = \frac{-9}{27} = -\frac{1}{3}\). Dengan demikian, jumlah tak hingga deret geometri tersebut adalah sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] &= \frac{27}{1-\left(-\frac{1}{3} \right)} = \frac{27}{\frac{4}{3}} \\[8pt] &= 27 \times \frac{3}{4} = \frac{81}{4} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 3: UN 2015

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian \(5 \ m\) dan memantul kembali dengan \( \frac{3}{5} \) kali tinggi sebelumnya. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah…

  1. \( \frac{15}{2} \ m \)
  2. \( \frac{25}{2} \ m \)
  3. \( 15 \ m \)
  4. \( 20 \ m \)
  5. \( 25 \ m \)
Pembahasan »

Kita dapat menggunakan konsep deret geometri tak hingga untuk menghitung panjang lintasan gerak bola sampai berhenti.

Dari soal diketahui bahwa tinggi bola awal adalah \(5 \ m\) dan memantul kembali dengan ketinggian \( \frac{3}{5} \) dari \(5 \ m\) yaitu \(3 \ m \). Selanjutnya, bola kembali turun setinggi \(3 \ m\) dan memantul kembali setinggi \( \frac{3}{5} \) dari \( 3 \ m \) yaitu \( \frac{9}{5} \ m\). Lalu bola turun lagi setinggi \( \frac{9}{5} \ m \) dan memantul kembali setinggi \( \frac{3}{5} \) dari \( \frac{9}{5} \ m \) yaitu \( \frac{27}{25} \ m \), begitu seterusnya sampai bola berhenti.

Dari hasil di atas diperoleh bahwa tinggi bola pertama disebut sebagai suku pertama yakni \(a = 5\) dan rasionya yaitu \( r = \frac{3}{5} \). Dengan demikian, panjang lintasan bola sampai bola berhenti dapat dihitung sebagai berikut:

\begin{aligned} \text{Panjang lintasan} &= (S_\infty \times 2) - 5 \\[8pt] \text{Panjang lintasan} &= \left( \frac{a}{1-r} \times 2 \right) - 5 \\[8pt] &= \left( \frac{5}{1-\frac{3}{5}} \times 2 \right)-5 \\[8pt] &= \left( \frac{25}{2} \times 2\right) - 5 \\[8pt] &= 20 \end{aligned}

Perhatikan bahwa kita mengalikan \( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \) dengan 2 lalu dikurang 5, karena lintasan bola yang \(5 \ m\) hanya terjadi satu kali.

Jawaban D.

Contoh 4: SIMAK UI 2017

Nilai \(x\) yang memenuhi \( 1 + (x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4 + \cdots = 2-x \) adalah…

  1. \( \frac{-3+\sqrt{3}}{2} \)
  2. \( 0 \)
  3. \( \frac{3-\sqrt{3}}{2} \)
  4. \(1\)
  5. \( \frac{3+\sqrt{3}}{2} \)
Pembahasan »

Perhatikan bahwa deret yang diberikan dalam soal dapat kita manipulasi menjadi:

\begin{aligned} &\Leftrightarrow 1 + (x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4 + \cdots = 2-x \\[8pt] &\Leftrightarrow (x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4 + \cdots = 2-x-1 \\[8pt] &\Leftrightarrow (x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4 + \cdots = 1-x \end{aligned}

Deret yang telah dimanipulasi di atas adalah deret geometri tak hingga dengan \( a = (x-1)^2 \) dan \( r = (x-1) \). Dengan demikian, berdasarkan deret geometri tak hingga, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] 1- x &= \frac{(x-1)^2}{1-(x-1)} \\[8pt] 1-x &= \frac{x^2-2x+1}{2-x} \\[8pt] (1-x)(2-x) &= x^2-2x+1 \\[8pt] x^2-3x+2 &= x^2-2x+1 \\[8pt] x^2-x^2-3x+2x &= 1-2 \\[8pt] -x &= -1 \\[8pt] x &= 1 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 5: UM UGM 2007

Jika \(x-1, x-\frac{3}{2}, x-\frac{7}{4}\) adalah tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah…

  1. \( -2 \)
  2. \( -1 \)
  3. \( -\frac{1}{2} \)
  4. \(1\)
  5. \( 2 \)
Pembahasan »

Dari deret geometri yang diberikan, kita peroleh hubungan berikut:

\begin{aligned} \left( x-\frac{3}{2} \right)^2 &= (x-1) \left( x-\frac{7}{4} \right) \\[8pt] x^2-3x+\frac{9}{4} &= x^2-\frac{11}{4}x+\frac{7}{4} \\[8pt] -3x+\frac{9}{4} &= -\frac{11}{4}x+\frac{7}{4} \\[8pt] -3x + \frac{11}{4}x &= \frac{7}{4}- \frac{9}{4} \\[8pt] -\frac{1}{4}x &= -\frac{2}{4} \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}

Barisan geometri dan jumlah tak hingga deret tersebut yaitu:

\begin{aligned} a = U_1 = x-1 &= 2-1 = 1 \\[8pt] U_2 = x-\frac{3}{2} &= 2-\frac{3}{2} = \frac{1}{2} \\[8pt] U_3 = x-\frac{7}{4} &= 2-\frac{7}{4} = \frac{1}{4} \\[8pt] r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = 1 \\[8pt] S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 6: SPMB 2006

Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama \( a \) dan rasio \(r\) dengan \( 0 < r < r\) adalah \(S\). Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi \(1-r\), maka jumlahlah menjadi…

  1. \( S \left( 1-\frac{1}{r} \right) \)
  2. \( \frac{S}{r} \)
  3. \( S \left( \frac{1}{r}+r \right) \)
  4. \( \frac{S}{1-r} \)
  5. \( S \left( \frac{1}{r}-1 \right) \)
Pembahasan »

Untuk jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama \(a\) dan rasio \(r\), kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S &=\frac{a}{1-r} \\[8pt] \Leftrightarrow a &= S(1-r) \end{aligned}

Dari hasil di atas, kita peroleh nilai \(a\) sama dengan \(S(1-r)\). Dengan demikian, kita peroleh jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama \(a\) dan rasio \(1-r\) yaitu sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S_\infty &=\frac{S(1-r)}{1-(1-r)} \\[8pt] &= \frac{S(1-r)}{r} = S \left( \frac{1}{r}-\frac{r}{r} \right) \\[8pt] &= S \left( \frac{1}{r}-1 \right) \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 7: SPMB 2005

Jika suku ke-n suatu deret adalah \( U_n = 2^{2x-n} \), maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah…

  1. \( 2^{2x-2} \)
  2. \( 2^{2x-1} \)
  3. \( 2^{2x} \)
  4. \( 2^{2x+1} \)
  5. \( 2^{2x+2} \)
Pembahasan »

Karena \( U_n = 2^{2x-n} \), maka deret geometri yaitu \( 2^{2x-1}, 2^{2x-2}, 2^{2x-2}, \cdots \). Dari deret tersebut terlihat bahwa suku pertama \(a = 2^{2x-1} \) dan rasionya \( r = \frac{1}{2}\). Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{2^{2x-1}}{1-\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \frac{2^{2x-1}}{\frac{1}{2}} = \frac{2^{2x-1}}{2^{-1}} \\[8pt] &= 2^{2x-1-(-1)} \\[8pt] &= 2^{2x} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 8: SPMB 2005

Jika \( \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 \), maka jumlah deret tak hingga \( \frac{1}{p}+\frac{1}{pq}+\frac{1}{pq^2}+\cdots+\frac{1}{pq^n} + \cdots \) adalah…

  1. \( 1 \)
  2. \( 1 \frac{1}{2} \)
  3. \( \frac{1}{2} \)
  4. \( \frac{q}{p} \)
  5. \( \frac{p}{q} \)
Pembahasan »

Dari informasi yang diberikan pada soal, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 \Leftrightarrow \frac{p+q}{pq} &= 1 \\[8pt] p+q &= pq \\[8pt] q &= pq-p \\[8pt] q &= p(q-1) \\[8pt] p &= \frac{q}{q-1} \end{aligned}

Dari deret tak hingga yang diberikan pada soal diketahui \( a = \frac{1}{p} \) dan rasio \( r = \frac{1}{q} \) sehingga kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S_\infty &= \frac{\frac{1}{p}}{1-\frac{1}{q}} = \frac{\frac{1}{p}}{\frac{q-1}{q}} \\[8pt] &= \frac{1}{p} \times \frac{q}{q-1} \\[8pt] &= \frac{1}{p} \times p = 1 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 9: SPMB 2005

Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama \(a\) mempunyai jumlah 2, maka \(a\) mempunyai….

  1. \( -2 < a < 0 \)
  2. \( -4 < a < 0 \)
  3. \( 0 < a < 2 \)
  4. \( 0 < a < 4 \)
  5. \( -4 < a < 4 \)
Pembahasan »

Diketahui deret geometri tak hingga dengan jumlah 2, sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow 2 &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] 2(1-r) &= a \\[8pt] 2-2r &= a \\[8pt] 2r &= 2-a \\[8pt] r &= \frac{2-a}{2} \end{aligned}

Ingat bahwa syarat agar deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 2 adalah rasionya terbatas pada \( -r < r < 1 \). Berdasarkan batasan rasio ini, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} -1 < r &< 1 \\[8pt] -1 < \frac{2-a}{2} &< 1 \\[8pt] -2 < 2-a &< 2 \\[8pt] -2 + 2 < 2-a+2 &< 2+2 \\[8pt] 0 < a &< 4 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 10:

Suku kedua dan suku keempat suatu deret geometri tak hingga berturut-turut adalah 1 dan \( \frac{1}{9} \). Jika rasionya positif, maka jumlah semua suku dari deret geometri itu adalah…

  1. \( \frac{1}{3} \)
  2. \( 2 \)
  3. \( 3 \)
  4. \( 4 \)
  5. \( 4 \frac{1}{2} \)
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( U_2 = 1 \) dan \( U_4 = \frac{1}{9} \). Untuk menghitung jumlah semua suku deret geometri tersebut, kita perlu mencari suku pertama dan rasionya terlebih dahulu. Berikut hasil yang kita peroleh:

\begin{aligned} \frac{U_4}{U_2} = \frac{\frac{1}{9}}{1} \Leftrightarrow \frac{ar^3}{ar} &= \frac{1}{9} \\[8pt] r^2 = \frac{1}{9} \Leftrightarrow r &= \pm \frac{1}{3} \\[8pt] r &= \frac{1}{3} \\[8pt] U_2 = ar \Leftrightarrow 1 &= a \cdot \frac{1}{3} \\[8pt] a &= 3 \end{aligned}

Dari hasil di atas, telah diperoleh suku pertama \(a = 3\) dan rasio deret \(r = \frac{1}{3}\). Dengan demikian, jumlah semua suku atau jumlah tak hingga dari deret geometri tersebut yaitu sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] &= \frac{3}{1-\left(\frac{1}{3} \right)} = \frac{3}{\frac{4}{3}} \\[8pt] &= 3 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{4} \\[8pt] &= 4 \frac{1}{2} \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 11: SBMPTN 2013

Diketahui deret geometri tak hingga \( u_1+u_2+u_3+\cdots \). Jika rasio deret geometri adalah \(r\) dengan \(-1 < r < 1\), \( u_1+u_2+u_3 + \cdots = 6 \) dan \( u_3+u_4+u_5+\cdots = 2 \), maka nilai \(r\) adalah….

  1. \( -\frac{1}{4} \) atau \( \frac{1}{4} \)
  2. \( -\frac{1}{3} \) atau \( \frac{1}{3} \)
  3. \( -\frac{1}{2} \) atau \( \frac{1}{2} \)
  4. \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \) atau \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
  5. \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \) atau \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Pembahasan »

Deret \( u_1+u_2+u_3+\cdots = 6 \) artinya jumlah seluruh suku-sukunya adalah 6, sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow 6 &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] a &= 6(1-r) \\[8pt] a &= 6-6r \\[8pt] u_3+u_4+u_5+\cdots &= 2 \\[8pt] (u_1+u_2)+u_3+u_4+u_5+\cdots &= (u_1+u_2)+2 \\[8pt] 6 &= a+ar+2 \\[8pt] 4 &= (6-6r)+(6-6r)r \\[8pt] 4 &= 6-6r+6r-6r^2 \\[8pt] 4-6 &= -6r^2 \\[8pt] r^2 &= \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} \\[8pt] r &= \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\[8pt] \text{Jadi,} \ r &= -\frac{1}{\sqrt{3}} \ \text{atau} \ r = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 12: SBMPTN 2013

Diketahui deret geometri tak hingga \(u_1+u_2+u_3+ \cdots \). Jika rasio deret tersebut addalah \(r\) dengan \( -1 < r < 1 \), \( u_2+u_4+u_6 + \cdots = 4 \) dan \( u_2 + u_4 = 3 \), maka nilai \(r^2\) adalah….

  1. \( \frac{1}{4} \)
  2. \( \frac{1}{3} \)
  3. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
  4. \( \frac{1}{2} \)
  5. \( \frac{3}{4} \)
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( u_2+u_4+u_6+ \cdots = 4 \) yang berarti jumlah suku-suku genap adalah 4, sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty (\text{genap}) = \frac{ar}{1-r^2} \Leftrightarrow 4 &= \frac{ar}{1-r^2} \\[8pt] 4(1-r^2) &= ar \\[8pt] 4-4r^2 &= ar \\[8pt] u_2 + u_4 = 3 \Leftrightarrow ar+ar^3 &= 3 \\[8pt] (4-4r^2)+(4-4r^2)r^2 &= 3 \\[8pt] 4-4r^2+4r^2-4r^4 &= 3 \\[8pt] 4-4r^4 &= 3 \\[8pt] 4r^4 &= 1 \\[8pt] r^4 &= \frac{1}{4} \\[8pt] r^2 &= \frac{1}{2} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 13: SBMPTN 2013

Diketahui deret geometri tak hingga \( U_1+U_2+U_3+\cdots \). Jika rasio deret tersebut adalah \(r\) dengan \(-1 < r < 1\) dan \( U_1+U_3+U_5+\cdots = \frac{2}{3}U_1+(U_2+U_4+U_6+\cdots) \) maka nilai \(r^2 = \cdots \)

  1. 1/9
  2. 1/4
  3. 1/3
  4. 1/2
  5. 1
Pembahasan »

Diketahui \( U_1+U_3+U_5+\cdots = \frac{2}{3}U_1+(U_2+U_4+U_6+\cdots) \) sehingga kita peroleh berikut:

\begin{aligned} U_1+U_3+U_5+\cdots &= \frac{2}{3}U_1+(U_2+U_4+U_6+\cdots) \\[8pt] S_{\text{ganjil}} &= \frac{2}{3}a+S_{\text{genap}} \\[8pt] \frac{a}{1-r^2} &= \frac{2}{3}a+\frac{ar}{1-r^2} \\[8pt] \frac{a}{1-r^2}-\frac{ar}{1-r^2} &= \frac{2}{3}a \\[8pt] \frac{a(1-r)}{(1-r)(1+r)} &= \frac{2}{3}a \\[8pt] \frac{1}{1+r} &= \frac{2}{3} \Leftrightarrow 2+ 2r = 3 \\[8pt] 2r &= 3-2 \Leftrightarrow r = \frac{1}{2} \\[8pt] r^2 &= \left(\frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 14:

Jika \( \frac{1}{s}+\frac{1}{t}=1 \), maka hasil dari deret geometri tak hingga \( \frac{1}{s}+\frac{1}{st}+\frac{1}{st^2}+\cdots+\frac{1}{st^n}+\cdots \) adalah…

  1. \( \frac{s}{t} \)
  2. \( \frac{t}{2} \)
  3. \( 1 \)
  4. \( \frac{1}{2} \)
  5. \( \frac{1}{3} \)
Pembahasan »

Deret geometri tersebut memiliki suku pertama \(a = \frac{1}{s} \) dan rasio \( r = \frac{1}{t} \). Karena diketahui \( \frac{1}{s}+\frac{1}{t}=1 \), maka \( \frac{s+t}{st} = 1 \) atau \( s+t = st \).

Dengan demikian, jumlah deret geometri tak hingga itu, yaitu:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{s}}{1-\frac{1}{t}} \times \frac{st}{st} \\[8pt] &= \frac{t}{st-s} = \frac{t}{(s+t)-s} \\[8pt] &= \frac{t}{t} = 1 \end{aligned}

Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 1.

Jawaban C.

Contoh 15:

Diketahui suatu deret geometri mempunyai suku pertama 27. Jumlah tak hingga deret tersebut adalah 81. Jumlah semua suku bernomor genap dari deret itu adalah…

  1. \( 32 \frac{2}{5} \)
  2. \( 34 \frac{2}{5} \)
  3. \( 36 \frac{3}{5} \)
  4. \( 46 \frac{3}{5} \)
  5. \( 48 \frac{3}{5} \)
Pembahasan »

Untuk \(a = 27\) dan \( S_\infty = 81 \), diperoleh:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} &\Leftrightarrow 81 = \frac{27}{1-r} \\[8pt] 1-r &= \frac{27}{81} = \frac{1}{3} \\[8pt] r &= 1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \end{aligned}

Dengan demikian, jumlah semua suku bernomor genap yaitu:

\begin{aligned} U_2+U_4+U_6+\cdots &= ar+ar^3+ar^5+\cdots \\[8pt] &= \frac{ar}{1-r^2} = \frac{27 \cdot \frac{2}{3}}{ 1-\left( \frac{2}{3} \right)^2 } \\[8pt] &= \frac{18}{1-\frac{4}{9}} = \frac{18}{\frac{5}{9}} \\[8pt] &= 18 \times \frac{9}{5} = \frac{162}{5} \\[8pt] &= 32 \ \frac{2}{5} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 16: UM UGM 2019

Diberikan bilangan real \(r\), dengan \(0 < r < 1\). Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio \( \frac{1}{1+r} \) adalah 8, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku 8 dan rasio \(r\) adalah…

  1. 10
  2. 12
  3. 15
  4. 16
  5. 18
Pembahasan »

Untuk deret geometri tak hingga dengan suku pertama \( a= 2\), rasio \( r = \frac{1}{1+r}\) dan \( S_infty = 8 \), diperoleh:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} &\Leftrightarrow 8 = \frac{2}{1-\frac{1}{1+r}} \\[8pt] 8 = \frac{2}{\frac{r}{1+r}} &\Leftrightarrow 8 = \frac{2+2r}{r} \\[8pt] 8r &= 2+2r \\[8pt] 6r &= 2 \Rightarrow r = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\[8pt] S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{8}{1-\frac{1}{3}} \\[8pt] &= \frac{8}{\frac{2}{3}} = 8 \times \frac{3}{2} \\[8pt] &= 12 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 17:

Misalkan \( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^3}+\cdots = 2021 \) dan \( \frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q^3}+\cdots = 2019 \). Nilai dari \( \frac{q}{p} = \cdots \)

  1. \( \frac{2018 \times 2020}{ 2021 \times 2019 } \)
  2. \( \frac{2019 \times 2020}{ 2018 \times 2021 } \)
  3. \( \frac{2020^2 - 1}{ 2020^2 } \)
  4. \( \frac{2020^2}{ 2020^2-1 } \)
  5. \( \frac{2020^2}{ 2020^2+1 } \)
Pembahasan »

Dari deret \( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^3}+\cdots = 2021 \), kita peroleh \(a = 1\) dan \(r = \frac{1}{p}\) sehingga dapat dituliskan:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} &\Leftrightarrow 2021 = \frac{1}{1-\frac{1}{p}} \\[8pt] 2021 = \frac{1}{\frac{p-1}{p}} &\Leftrightarrow 2021 = \frac{p}{p-1} \\[8pt] 2021p-2021 &= p \\[8pt] 2020p &= 2021 \\[8pt] p &= \frac{2021}{2020} \end{aligned}

Dari deret \( \frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q^3}+\cdots = 2019 \), kita peroleh \( a = \frac{1}{q} \) dan \( r = \frac{1}{q} \) sehingga dapat dituliskan:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} &\Leftrightarrow 2019 = \frac{\frac{1}{q}}{1-\frac{1}{q}} \\[8pt] 2019 = \frac{\frac{1}{q}}{\frac{q-1}{q}} &\Leftrightarrow 2019 = \frac{1}{q-1} \\[8pt] 2019q-2019 &= 1 \\[8pt] 2019q &= 2020 \\[8pt] q &= \frac{2020}{2019} \end{aligned}

Dari nilai \(p\) dan \(q\) di atas, maka diperoleh:

\begin{aligned} \frac{q}{p} &= \frac{ \frac{2020}{2019} }{ \frac{2021}{2020} } = \frac{2020}{2019} \times \frac{2020}{2021} \\[8pt] &= \frac{2020^2}{ (2020+1) \times (2020-1) } \\[8pt] &= \frac{2020^2}{2020^2-1} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 18: SIMAK UI 2019

Diberikan deret geometri \( 1-(a+3)+(a+3)^2-(a+3)^3+\cdots=2a+9 \) dengan \( -4 < a < -2 \). Jika \(a, -7, b\) membentuk barisan geometri baru, nilai \(2a+b = \cdots\)

  1. 7
  2. 0
  3. -7
  4. -14
  5. -21
Pembahasan »

Sebelum kita menentukan nilai \(a\) dan \(b\), kita coba menguji nilai \(r\) apakah deret tersebut dapat diterapkan aturan pada deret geometri tak hingga.

\begin{aligned} -1 < r < 1 \\[8pt] -1 < -(a+3) < 1 \\[8pt] -1 < a + 3 < 1 \\[8pt] -1-3 < a < 1-3 \\[8pt] -4 < a < -2 \end{aligned}

Batasan nilai \(a\) yang harus dipenuhi agar deret tersebut konvergen sesuai dengan syarat nilai \(a\) pada soal yaitu \(-4 < a < -2\) sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow 2a+9 &= \frac{1}{-(a+3)} \\[8pt] -(2a+9)(a+3) &= 1 \\[8pt] -2a^2-6a-9a-27-1 &= 0 \\[8pt] 2a^2+15a+28 &= 0 \\[8pt] (2a+7)(a+4) &= 0 \\[8pt] a = -4 \ &\text{Tidak Memenuhi} \\[8pt] a &= -\frac{7}{2} \end{aligned}

Karena barisan \(a, -7,b\) adalah barisan geometri maka \( -\frac{7}{2}, -7, b \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} r &= \frac{U_2}{U_1} = \frac{-7}{-7/2} = -7 \times \left( -\frac{2}{7} \right) = 2 \\[8pt] b &= U_2 \times r = -7 \times 2 = -14 \\[8pt] 2a+b &= 2 \left( -\frac{7}{2} \right)+(-14) = -21 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 19: SBMPTN 2013

Parabola \( y = x^2-2x+m+2 \) mempunyai titik puncak \( (p,q) \). Jika \(3p\) dan \(q\) dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah 9, maka nilai \(m\) adalah…

  1. -3
  2. -1
  3. 1
  4. 2
  5. 3
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui rumus titik puncak fungsi kuadrat yaitu \( \left( -\frac{b}{2a}, - \frac{D}{4a} \right) \) dan rumus jumlah deret geometri tak hingga yaitu: \( S_\infty = \frac{a}{1-r} \).

Dari soal diketahui parabola \( y = x^2-2x+m+2 \), sehingga diperoleh:

\begin{aligned} p &= -\frac{b}{2a} = - \frac{-2}{2(1)} = 1 \\[8pt] q &= - \frac{D}{4a} = -\frac{b^2-4ac}{4a} \\[8pt] &= -\frac{(-2)^2-4(1)(m+2)}{4(1)} \\[8pt] &= - \frac{4-4m-8}{4} = -\frac{-4-4m}{4} \\[8pt] &= 1+m \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, maka diperoleh deret geometri tak hingga, yaitu:

\begin{aligned} 3+(1+m)+\cdots &= 9 \\[8pt] \frac{a}{1-r} &= 9 \Leftrightarrow \frac{3}{1-\frac{1+m}{3}} = 9 \\[8pt] 3 &= 9 \times \left( 1-\frac{1+m}{3} \right) \\[8pt] 3 &= 9-3(1+m) \\[8pt] 3 &= 6-3m \\[8pt] 3m &= 3 \\[8pt] m &= 1 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 20: UMPTN 2001

Diketahui deret geometri tak hingga \(16+4+1+\cdots\). Jika jumlah deret tersebut dikurangi dengan jumlah \(n\) suku pertama, hasilnya kurang dari \( \frac{1}{3.000} \). Nilai \(n\) terkeccil yang memenuhi adalah…

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
  5. 9
Pembahasan »

Dari deret \(16+4+1+\cdots\) diketahui suku pertama \(a=16\) dan rasio \(r = \frac{1}{4}\), sehingga diperoleh:

\begin{aligned} S_\infty - S_n < \frac{1}{3.000} \\[8pt] \frac{a}{1-r}-\frac{a(1-r^n)}{1-r} < \frac{1}{3.000} \\[8pt] \frac{16}{1-\frac{1}{4}}-\frac{16\left(1-(\frac{1}{4})^n \right)}{1-\frac{1}{4}} < \frac{1}{3.000} \\[8pt] \frac{16}{\frac{3}{4}}-\frac{16-16 \left( \frac{1}{4} \right)^n}{\frac{3}{4}} < \frac{1}{3.000} \\[8pt] 16-16-16 \left( \frac{1}{4} \right)^n < \frac{1}{4.000} \\[8pt] 16 \left( \frac{1}{4} \right)^n < \frac{1}{4.000} \\[8pt] \left( \frac{1}{4} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^n < \frac{1}{250} \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 \\[8pt] \left( \frac{1}{4} \right)^{-4} \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^n < \frac{1}{250} \\[8pt] \left( \frac{1}{4} \right)^{n-4} < \frac{1}{250} \end{aligned}

Perhatikan bahwa \( \left( \frac{1}{4} \right)^4 = \frac{1}{256} \) sehingga nilai \(n\) terkecil agar \( \left( \frac{1}{4} \right)^{n-4} < \frac{1}{250} \) adalah \( n-4=4 \) atau \(n = 8 \).

Jawaban D.

Contoh 21: UNBK MTK SMA IPS 2019

Jumlah tak hingga dari deret \( 4 + 3 + \frac{9}{4} + \frac{27}{16} + \frac{81}{64} + \cdots \) adalah…

  1. \( \frac{13}{3} \)
  2. \( \frac{16}{3} \)
  3. \( 13 \)
  4. \( 16 \)
  5. \( \frac{65}{4} \)
Pembahasan »

Dari deret yang diberikan pada soal diketahui \(a = 4\) dan rasio \( r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{3}{4} \). Dengan demikian, jumlah tak hingga deret tersebut adalah sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] &= \frac{4}{1-\frac{3}{4}} = \frac{4}{\frac{1}{4}} \\[8pt] &= 4 \times 4 = 16 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 22: SPMB 2004

Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 64, suku ke-4 deret tersebut adalah…

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10
  5. 12
Pembahasan »

Ingat bahwa bentuk umum deret geometri dengan suku pertama \(a\) dan rasio \(r\) yaitu: \( a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+\cdots \). Jika dibagi menjadi dua bagian yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap, maka diperoleh:

\begin{aligned} \text{Deret Geometri suku ganjil} &: a+ar^2+ar^4+\cdots \\[8pt] \text{suku pertama}= a \ &\text{dan} \ \text{rasio} \ (r) = r^2 \\[8pt] S_\infty \ (\text{ganjil}) &= \frac{a}{1-r^2}; \\[8pt] \text{Deret Geometri suku genap} &: ar+ar^3+ar^5+\cdots \\[8pt] \text{suku pertama}= ar \ &\text{dan} \ \text{rasio} \ (r) = r^2 \\[8pt] S_\infty \ (\text{genap}) &= \frac{ar}{1-r^2}; \\[8pt] \end{aligned}

Pada soal diketahui bahwa jumlah semua sukunya adalah 96 sehingga:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} &\Leftrightarrow 96 = \frac{a}{1-r} \\[8pt] &\Leftrightarrow a = 96(1-r) \end{aligned}

Karena diketahui jumlah semua suku yang berindeks ganjil adalah 64, maka diperoleh:

\begin{aligned} S_\infty \ (\text{ganjil}) &= \frac{a}{1-r^2} \\[8pt] 64 &= \left( \frac{a}{1-r} \right)\left( \frac{1}{1+r} \right) \\[8pt] 64 &= 96 \left( \frac{1}{1+r} \right) \Leftrightarrow 2 = 3 \left( \frac{1}{1+r} \right) \\[8pt] 2(1+r) &= 3 \Leftrightarrow 2+2r=3 \\[8pt] 2r &= 1 \Leftrightarrow r = \frac{1}{2} \\[8pt] a &= 96(1-r) \Leftrightarrow a = 96 \left(1-\frac{1}{2} \right) \\[8pt] a &= 96 \cdot \frac{1}{2} = 48 \end{aligned}

Dengan demikian, suku ke-4 deret tersebut yaitu:

\begin{aligned} U_n &= ar^3 = 48 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 \\[8pt] &= 48 \cdot \frac{1}{8} = 6 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 23:

Jika jumlah tak hingga deret \( a+a^0 + a^{-1} + a^{-2} + a^{-3} + \cdots \) adalah \(4a\), maka nilai \(a\) adalah…

  1. \( \frac{4}{3} \)
  2. \(2\)
  3. \( \frac{3}{2} \)
  4. \(3\)
  5. \(4\)
Pembahasan »

Deret tak hingga dalam soal di atas memiliki suku pertama sama dengan \(a\), rasionya \(r = \frac{1}{a}\) dan jumlah tak hingga deret tersebut adalah \(4a\). Dengan menggunakan rumus jumlah deret tak hingga, kita peroleh nilai \(a\) sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow 4a &= \frac{a}{1-\frac{1}{a}} \\[8pt] 4a &= \frac{a}{\frac{a-1}{a}} \\[8pt] 4a &= \frac{a^2}{a-1} \\[8pt] 4a(a-1) &= a^2 \\[8pt] 4a^2-4a &= a^2 \\[8pt] 3a &= 4 \\[8pt] a &= \frac{4}{3} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 24:

Jumlah tak hingga dari deret geometri \( 18 + 12 + 8 + \cdots \) adalah…

  1. 42
  2. 48
  3. 54
  4. 76
  5. 84
Pembahasan »

Deret geometri tak hingga pada soal ini memiliki suku pertama \(a = 18\) dan rasio \(r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{12}{18}=\frac{2}{3}\). Dengan demikian, jumlah tak hingga deret geometri tersebut adalah sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] &= \frac{18}{1-\frac{2}{3}} = \frac{18}{\frac{1}{3}} \\[8pt] &= 18 \times 3 = 54 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 25:

Jika diketahui \( {}^a \! \log b + ( {}^a \! \log b )^2 + ( {}^a \! \log b )^3 + \cdots = 2 \), maka \( {}^a \! \log b + {}^b \! \log \sqrt[3]{a^2} = \cdots \)

  1. \( 1 \)
  2. \( \frac{3}{2} \)
  3. \( \frac{5}{3} \)
  4. \( 2 \)
  5. \( 3 \)
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini ada beberapa sifat logaritma yang perlu kamu pahami terlebih dahulu. Dari deret yang diberikan pada soal, diketahui suku pertama \( U_1 = {}^a \! \log b \) dan rasio deretnya \(r = {}^a \! \log b \) sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S_\infty &= \frac{{}^a \! \log b}{1-{}^a \! \log b} \\[8pt] 2 &= \frac{{}^a \! \log b}{{}^a \! \log a-{}^a \! \log b} \\[8pt] 2 &= \frac{{}^a \! \log b}{{}^a \! \log \frac{a}{b}} \\[8pt] 2 \cdot {}^a \! \log \frac{a}{b} &= {}^a \! \log b \\[8pt] {}^a \! \log \left( \frac{a}{b} \right)^2 &= {}^a \! \log b \\[8pt] \left( \frac{a}{b} \right)^2 &= b \\[8pt] a^2 &= b^3 \\[8pt] b &= a^{\frac{2}{3}} \end{aligned}

Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} {}^a \! \log b + {}^b \! \log \sqrt[3]{a^2} &= {}^a \! \log a^{\frac{2}{3}} + {}^b \! \log \sqrt[3]{b^3} \\[8pt] &= \frac{2}{3} \cdot {}^a \! \log a + {}^b \! \log b \\[8pt] &= \frac{2}{3} \cdot 1 + 1 \\[8pt] &= \frac{5}{3} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 26: SBMPTN 2014

Jika \( S=1+\frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \sin^2 2x + \frac{1}{8} \sin^3 2x + \cdots \)

  1. \( \frac{2}{3} < S < 2 \)
  2. \( \frac{3}{2} < S < 2 \)
  3. \( \frac{2}{3} < S < \frac{3}{2} \)
  4. \( \frac{1}{2} < S < \frac{3}{2} \)
  5. \( \frac{1}{2} < S < \frac{2}{3} \)
Pembahasan »

Ingat bahwa deret tak hingga akan konvergen dengan syarat \( -1 < r < 1 \) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} -1 < r &< 1 \\[8pt] -1 < \frac{1}{2} \sin 2x &< 1 \\[8pt] -2 < \sin 2x &< 2 \end{aligned}

Selanjutnya, berdasarkan jumlah deret tak hingga, maka:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2} \sin 2x} \\[8pt] &= \frac{2}{2-\sin 2x} \\[8pt] \text{Untuk} \ \sin 2x &= -1, \ \text{maka} \ S_\infty = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} \\[8pt] \text{Untuk} \ \sin 2x &= 1, \ \text{maka} \ S_\infty = \frac{2}{2-1} = 2 \\[8pt] \text{Jadi,} \ &\frac{2}{3} < S < 2 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 27: SBMPTN 2013

Parabola \( y = x^2-2x+3m-1 \) mempunyai titik puncak \( (p,q) \). Jika \(2p\) dan \( \frac{q}{4} \) dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah 4, maka nilai \(m\) adalah…

  1. - 3/2
  2. 2/3
  3. 1
  4. 2
  5. 3
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini kita setidaknya perlu memahami rumus titik puncak fungsi kuadrat yaitu \( \left( -\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a} \right) \) dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu \( S_\infty = \frac{a}{1-r} \).

Dari parabola \(y = x^2-2x+3m-1\) dapat kita tentukan:

\begin{aligned} p &= -\frac{b}{2a} = - \frac{-2}{2(1)} = 1 \\[8pt] q &= -\frac{D}{4a} = - \frac{b^2-4ac}{4a} \\[8pt] &= -\frac{(-2)^2-4(1)(3m-1)}{4(1)} = - \frac{4-12m+4}{4} \\[8pt] &= -\frac{8-12m}{4}= \frac{12m-8}{4} \\[8pt] &= 3m-2 \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, kita peroleh deret geometri tak hingga berikut:

\begin{aligned} 2p + \frac{q}{4} + \cdots &= 4 \\[8pt] 2 + \frac{3m-2}{4}+\cdots &= 4 \\[8pt] \frac{a}{1-r} = 4 \Leftrightarrow \frac{2}{1-\frac{3m-2}{8}} &= 4 \\[8pt] 4 \times \left( 1-\frac{3m-2}{8} \right) &= 2 \\[8pt] 4-\frac{3m-2}{2} &= 2 \\[8pt] \frac{3m-2}{2} &= 4-2 \\[8pt] 3m-2 &= 4 \\[8pt] m &= 2 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 28:

Nilai \( a \) yang memenuhi persamaan \( \frac{1}{ {}^{10} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{\sqrt{10}} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{ \sqrt{ \sqrt{10} } } \! \log a } + \cdots = 200 \) adalah…

  1. \( \frac{1}{100} \)
  2. \( \frac{1}{10} \)
  3. \( \sqrt{10} \)
  4. \( 10^{\frac{1}{100}} \)
  5. \( 10^{\frac{1}{10}} \)
Pembahasan »

Ingat sifat logaritma berikut:

\begin{aligned} \frac{1}{{}^a \! \log b} &= {}^b \! \log a \\[8pt] {}^a \! \log b + {}^a \! \log c &= {}^a \! \log bc \end{aligned}

Berdasarkan sifat logaritma di atas, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \frac{1}{ {}^{10} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{\sqrt{10}} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{ \sqrt{ \sqrt{10} } } \! \log a } + \cdots &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log 10 + {}^a \! \log \sqrt{10} + {}^a \! \log \sqrt{ \sqrt{10} } + \cdots &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10 \cdot \sqrt{10} + \sqrt{ \sqrt{10} } + \cdots \right) &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots} \right) &= 200 \end{aligned}

Perhatikan bahwa \( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots \) merupakan deret geometri tak hingga dengan \(a = 1\) dan \(r = \frac{1}{2}\) sehingga:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} &= 2 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots} \right) &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10^2 \right) &= 200 \\[8pt] a^{200} &= 10^2 \\[8pt] a &= (10^2)^{\frac{1}{200}} \\[8pt] &= 10^{\frac{1}{100}} \end{aligned}

Jadi, nilai \(a\) yang memenuhi persamaan tersebut adalah \( 10^{ \frac{1}{100} } \).

Jawaban D.

Contoh 29:

Nilai dari \( 2^{1/4} \cdot 4^{1/16} \cdot 8^{1/48} \cdots \) adalah …

  1. \( \sqrt{2} \)
  2. \( 2^{1/4} \)
  3. 1
  4. 2
  5. 4
Pembahasan »

Untuk menjawab soal ini, kita dapat mengubah semua basis menjadi 2 seperti berikut:

\begin{aligned} 2^{1/4} \cdot 4^{1/16} \cdot 8^{1/48} \cdots &= 2^{1/4} \cdot (2^2)^{1/16} \cdot (2^3)^{1/48} \cdots \\[8pt] &= 2^{1/4} \cdot 2^{1/8} \cdot 2^{1/16} \cdots \\[8pt] &= 2^{1/4+1/8+1/16+\cdots} \end{aligned}

Perhatikan bahwa \( \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \) merupakan deret geometri tak hingga dengan suku pertama \(a = \frac{1}{4}\) dan rasio \( r = \frac{1}{2}\). Hasil dari jumlah deret geometri tak hingga ini, yaitu:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{1/4}{1-1/2} \\[8pt] &= \frac{1/4}{1/2} = 1/2 \end{aligned}

Dengan demikian, kita peroleh:

\begin{aligned} 2^{1/4} \cdot 4^{1/16} \cdot 8^{1/48} \cdots &= 2^{1/4+1/8+1/16+\cdots} \\[8pt] &= 2^{1/2} = \sqrt{2} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 30:

Nilai \( a \) yang memenuhi persamaan \( \frac{1}{ {}^{10} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{\sqrt{10}} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{ \sqrt{ \sqrt{10} } } \! \log a } + \cdots = 200 \) adalah…

  1. \( \frac{1}{100} \)
  2. \( \frac{1}{10} \)
  3. \( \sqrt{10} \)
  4. \( 10^{\frac{1}{100}} \)
  5. \( 10^{\frac{1}{10}} \)
Pembahasan »

Ingat sifat logaritma berikut:

\begin{aligned} \frac{1}{{}^a \! \log b} &= {}^b \! \log a \\[8pt] {}^a \! \log b + {}^a \! \log c &= {}^a \! \log bc \end{aligned}

Berdasarkan sifat logaritma di atas, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \frac{1}{ {}^{10} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{\sqrt{10}} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{ \sqrt{ \sqrt{10} } } \! \log a } + \cdots &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log 10 + {}^a \! \log \sqrt{10} + {}^a \! \log \sqrt{ \sqrt{10} } + \cdots &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10 \cdot \sqrt{10} + \sqrt{ \sqrt{10} } + \cdots \right) &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots} \right) &= 200 \end{aligned}

Perhatikan bahwa \( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots \) merupakan deret geometri tak hingga dengan \(a = 1\) dan \(r = \frac{1}{2}\) sehingga:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} &= 2 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots} \right) &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10^2 \right) &= 200 \\[8pt] a^{200} &= 10^2 \\[8pt] a &= (10^2)^{\frac{1}{200}} \\[8pt] &= 10^{\frac{1}{100}} \end{aligned}

Jadi, nilai \(a\) yang memenuhi persamaan tersebut adalah \( 10^{ \frac{1}{100} } \).

Jawaban D.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

Artikel Terkait
img

Contoh soal barisan dan deret aritmatika serta pembahasannya

img

Contoh soal barisan dan deret geometri serta pembahasannya