www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Barisan dan Deret   ›  Contoh Soal Barisan dan Deret Tak Hingga Serta Pembahasannya
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-30 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal Barisan dan Deret Tak Hingga Serta Pembahasannya


Contoh 1:

Hasil jumlah dari \( 4 + 2 + 1 + \cdots \) adalah….

  1. 5
  2. 6
  3. 8
  4. 12
  5. 14

Pembahasan:

Deret geometri tak hingga tersebut memiliki suku pertama \(a=4\) dan rasio \(r = \frac{1}{2} \). Dengna demikian, jumlah tak hingga deret tersebut, yaitu:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] &= \frac{4}{1-\frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 4 \times 2 = 8 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 2:

Jumlah deret geometri tak hingga \( 27-9+3-1+\frac{1}{3}+ \cdots \) adalah…

  1. \( \frac{27}{2} \)
  2. \( \frac{27}{4} \)
  3. \( \frac{81}{2} \)
  4. \( \frac{81}{4} \)
  5. \( -\frac{81}{4} \)

Pembahasan:

Deret geometri tak hingga dalam soal ini memiliki suku pertama \(a=27\) dan rasio \(r = \frac{-9}{27} = -\frac{1}{3}\). Dengan demikian, jumlah tak hingga deret geometri tersebut adalah sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] &= \frac{27}{1-\left(-\frac{1}{3} \right)} = \frac{27}{\frac{4}{3}} \\[8pt] &= 27 \times \frac{3}{4} = \frac{81}{4} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 3: UN 2015

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian \(5 \ m\) dan memantul kembali dengan \( \frac{3}{5} \) kali tinggi sebelumnya. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah…

  1. \( \frac{15}{2} \ m \)
  2. \( \frac{25}{2} \ m \)
  3. \( 15 \ m \)
  4. \( 20 \ m \)
  5. \( 25 \ m \)

Pembahasan:

Kita dapat menggunakan konsep deret geometri tak hingga untuk menghitung panjang lintasan gerak bola sampai berhenti.

Dari soal diketahui bahwa tinggi bola awal adalah \(5 \ m\) dan memantul kembali dengan ketinggian \( \frac{3}{5} \) dari \(5 \ m\) yaitu \(3 \ m \). Selanjutnya, bola kembali turun setinggi \(3 \ m\) dan memantul kembali setinggi \( \frac{3}{5} \) dari \( 3 \ m \) yaitu \( \frac{9}{5} \ m\). Lalu bola turun lagi setinggi \( \frac{9}{5} \ m \) dan memantul kembali setinggi \( \frac{3}{5} \) dari \( \frac{9}{5} \ m \) yaitu \( \frac{27}{25} \ m \), begitu seterusnya sampai bola berhenti.

Dari hasil di atas diperoleh bahwa tinggi bola pertama disebut sebagai suku pertama yakni \(a = 5\) dan rasionya yaitu \( r = \frac{3}{5} \). Dengan demikian, panjang lintasan bola sampai bola berhenti dapat dihitung sebagai berikut:

\begin{aligned} \text{Panjang lintasan} &= (S_\infty \times 2) - 5 \\[8pt] \text{Panjang lintasan} &= \left( \frac{a}{1-r} \times 2 \right) - 5 \\[8pt] &= \left( \frac{5}{1-\frac{3}{5}} \times 2 \right)-5 \\[8pt] &= \left( \frac{25}{2} \times 2\right) - 5 \\[8pt] &= 20 \end{aligned}

Perhatikan bahwa kita mengalikan \( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \) dengan 2 lalu dikurang 5, karena lintasan bola yang \(5 \ m\) hanya terjadi satu kali.

Jawaban D.

Contoh 4: SIMAK UI 2017

Nilai \(x\) yang memenuhi \( 1 + (x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4 + \cdots = 2-x \) adalah…

  1. \( \frac{-3+\sqrt{3}}{2} \)
  2. \( 0 \)
  3. \( \frac{3-\sqrt{3}}{2} \)
  4. \(1\)
  5. \( \frac{3+\sqrt{3}}{2} \)

Pembahasan:

Perhatikan bahwa deret yang diberikan dalam soal dapat kita manipulasi menjadi:

\begin{aligned} &\Leftrightarrow 1 + (x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4 + \cdots = 2-x \\[8pt] &\Leftrightarrow (x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4 + \cdots = 2-x-1 \\[8pt] &\Leftrightarrow (x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4 + \cdots = 1-x \end{aligned}

Deret yang telah dimanipulasi di atas adalah deret geometri tak hingga dengan \( a = (x-1)^2 \) dan \( r = (x-1) \). Dengan demikian, berdasarkan deret geometri tak hingga, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] 1- x &= \frac{(x-1)^2}{1-(x-1)} \\[8pt] 1-x &= \frac{x^2-2x+1}{2-x} \\[8pt] (1-x)(2-x) &= x^2-2x+1 \\[8pt] x^2-3x+2 &= x^2-2x+1 \\[8pt] x^2-x^2-3x+2x &= 1-2 \\[8pt] -x &= -1 \\[8pt] x &= 1 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 5: UM UGM 2007

Jika \(x-1, x-\frac{3}{2}, x-\frac{7}{4}\) adalah tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah…

  1. \( -2 \)
  2. \( -1 \)
  3. \( -\frac{1}{2} \)
  4. \(1\)
  5. \( 2 \)

Pembahasan:

Dari deret geometri yang diberikan, kita peroleh hubungan berikut:

\begin{aligned} \left( x-\frac{3}{2} \right)^2 &= (x-1) \left( x-\frac{7}{4} \right) \\[8pt] x^2-3x+\frac{9}{4} &= x^2-\frac{11}{4}x+\frac{7}{4} \\[8pt] -3x+\frac{9}{4} &= -\frac{11}{4}x+\frac{7}{4} \\[8pt] -3x + \frac{11}{4}x &= \frac{7}{4}- \frac{9}{4} \\[8pt] -\frac{1}{4}x &= -\frac{2}{4} \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}

Barisan geometri dan jumlah tak hingga deret tersebut yaitu:

\begin{aligned} a = U_1 = x-1 &= 2-1 = 1 \\[8pt] U_2 = x-\frac{3}{2} &= 2-\frac{3}{2} = \frac{1}{2} \\[8pt] U_3 = x-\frac{7}{4} &= 2-\frac{7}{4} = \frac{1}{4} \\[8pt] r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = 1 \\[8pt] S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 6: SPMB 2006

Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama \( a \) dan rasio \(r\) dengan \( 0 < r < r\) adalah \(S\). Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi \(1-r\), maka jumlahlah menjadi…

  1. \( S \left( 1-\frac{1}{r} \right) \)
  2. \( \frac{S}{r} \)
  3. \( S \left( \frac{1}{r}+r \right) \)
  4. \( \frac{S}{1-r} \)
  5. \( S \left( \frac{1}{r}-1 \right) \)

Pembahasan:

Untuk jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama \(a\) dan rasio \(r\), kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S &=\frac{a}{1-r} \\[8pt] \Leftrightarrow a &= S(1-r) \end{aligned}

Dari hasil di atas, kita peroleh nilai \(a\) sama dengan \(S(1-r)\). Dengan demikian, kita peroleh jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama \(a\) dan rasio \(1-r\) yaitu sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S_\infty &=\frac{S(1-r)}{1-(1-r)} \\[8pt] &= \frac{S(1-r)}{r} = S \left( \frac{1}{r}-\frac{r}{r} \right) \\[8pt] &= S \left( \frac{1}{r}-1 \right) \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 7: SPMB 2005

Jika suku ke-n suatu deret adalah \( U_n = 2^{2x-n} \), maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah…

  1. \( 2^{2x-2} \)
  2. \( 2^{2x-1} \)
  3. \( 2^{2x} \)
  4. \( 2^{2x+1} \)
  5. \( 2^{2x+2} \)

Pembahasan:

Karena \( U_n = 2^{2x-n} \), maka deret geometri yaitu \( 2^{2x-1}, 2^{2x-2}, 2^{2x-2}, \cdots \). Dari deret tersebut terlihat bahwa suku pertama \(a = 2^{2x-1} \) dan rasionya \( r = \frac{1}{2}\). Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{2^{2x-1}}{1-\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \frac{2^{2x-1}}{\frac{1}{2}} = \frac{2^{2x-1}}{2^{-1}} \\[8pt] &= 2^{2x-1-(-1)} \\[8pt] &= 2^{2x} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 8: SPMB 2005

Jika \( \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 \), maka jumlah deret tak hingga \( \frac{1}{p}+\frac{1}{pq}+\frac{1}{pq^2}+\cdots+\frac{1}{pq^n} + \cdots \) adalah…

  1. \( 1 \)
  2. \( 1 \frac{1}{2} \)
  3. \( \frac{1}{2} \)
  4. \( \frac{q}{p} \)
  5. \( \frac{p}{q} \)

Pembahasan:

Dari informasi yang diberikan pada soal, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 \Leftrightarrow \frac{p+q}{pq} &= 1 \\[8pt] p+q &= pq \\[8pt] q &= pq-p \\[8pt] q &= p(q-1) \\[8pt] p &= \frac{q}{q-1} \end{aligned}

Dari deret tak hingga yang diberikan pada soal diketahui \( a = \frac{1}{p} \) dan rasio \( r = \frac{1}{q} \) sehingga kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S_\infty &= \frac{\frac{1}{p}}{1-\frac{1}{q}} = \frac{\frac{1}{p}}{\frac{q-1}{q}} \\[8pt] &= \frac{1}{p} \times \frac{q}{q-1} \\[8pt] &= \frac{1}{p} \times p = 1 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 9: SPMB 2005

Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama \(a\) mempunyai jumlah 2, maka \(a\) mempunyai….

  1. \( -2 < a < 0 \)
  2. \( -4 < a < 0 \)
  3. \( 0 < a < 2 \)
  4. \( 0 < a < 4 \)
  5. \( -4 < a < 4 \)

Pembahasan:

Diketahui deret geometri tak hingga dengan jumlah 2, sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow 2 &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] 2(1-r) &= a \\[8pt] 2-2r &= a \\[8pt] 2r &= 2-a \\[8pt] r &= \frac{2-a}{2} \end{aligned}

Ingat bahwa syarat agar deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 2 adalah rasionya terbatas pada \( -r < r < 1 \). Berdasarkan batasan rasio ini, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} -1 < r &< 1 \\[8pt] -1 < \frac{2-a}{2} &< 1 \\[8pt] -2 < 2-a &< 2 \\[8pt] -2 + 2 < 2-a+2 &< 2+2 \\[8pt] 0 < a &< 4 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 10:

Suku kedua dan suku keempat suatu deret geometri tak hingga berturut-turut adalah 1 dan \( \frac{1}{9} \). Jika rasionya positif, maka jumlah semua suku dari deret geometri itu adalah…

  1. \( \frac{1}{3} \)
  2. \( 2 \)
  3. \( 3 \)
  4. \( 4 \)
  5. \( 4 \frac{1}{2} \)

Pembahasan:

Dari soal diketahui \( U_2 = 1 \) dan \( U_4 = \frac{1}{9} \). Untuk menghitung jumlah semua suku deret geometri tersebut, kita perlu mencari suku pertama dan rasionya terlebih dahulu. Berikut hasil yang kita peroleh:

\begin{aligned} \frac{U_4}{U_2} = \frac{\frac{1}{9}}{1} \Leftrightarrow \frac{ar^3}{ar} &= \frac{1}{9} \\[8pt] r^2 = \frac{1}{9} \Leftrightarrow r &= \pm \frac{1}{3} \\[8pt] r &= \frac{1}{3} \\[8pt] U_2 = ar \Leftrightarrow 1 &= a \cdot \frac{1}{3} \\[8pt] a &= 3 \end{aligned}

Dari hasil di atas, telah diperoleh suku pertama \(a = 3\) dan rasio deret \(r = \frac{1}{3}\). Dengan demikian, jumlah semua suku atau jumlah tak hingga dari deret geometri tersebut yaitu sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] &= \frac{3}{1-\left(\frac{1}{3} \right)} = \frac{3}{\frac{4}{3}} \\[8pt] &= 3 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{4} \\[8pt] &= 4 \frac{1}{2} \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 11: SBMPTN 2013

Diketahui deret geometri tak hingga \( u_1+u_2+u_3+\cdots \). Jika rasio deret geometri adalah \(r\) dengan \(-1 < r < 1\), \( u_1+u_2+u_3 + \cdots = 6 \) dan \( u_3+u_4+u_5+\cdots = 2 \), maka nilai \(r\) adalah….

  1. \( -\frac{1}{4} \) atau \( \frac{1}{4} \)
  2. \( -\frac{1}{3} \) atau \( \frac{1}{3} \)
  3. \( -\frac{1}{2} \) atau \( \frac{1}{2} \)
  4. \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \) atau \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
  5. \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \) atau \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Pembahasan:

Deret \( u_1+u_2+u_3+\cdots = 6 \) artinya jumlah seluruh suku-sukunya adalah 6, sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow 6 &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] a &= 6(1-r) \\[8pt] a &= 6-6r \\[8pt] u_3+u_4+u_5+\cdots &= 2 \\[8pt] (u_1+u_2)+u_3+u_4+u_5+\cdots &= (u_1+u_2)+2 \\[8pt] 6 &= a+ar+2 \\[8pt] 4 &= (6-6r)+(6-6r)r \\[8pt] 4 &= 6-6r+6r-6r^2 \\[8pt] 4-6 &= -6r^2 \\[8pt] r^2 &= \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} \\[8pt] r &= \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\[8pt] \text{Jadi,} \ r &= -\frac{1}{\sqrt{3}} \ \text{atau} \ r = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 12: SBMPTN 2013

Diketahui deret geometri tak hingga \(u_1+u_2+u_3+ \cdots \). Jika rasio deret tersebut addalah \(r\) dengan \( -1 < r < 1 \), \( u_2+u_4+u_6 + \cdots = 4 \) dan \( u_2 + u_4 = 3 \), maka nilai \(r^2\) adalah….

  1. \( \frac{1}{4} \)
  2. \( \frac{1}{3} \)
  3. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
  4. \( \frac{1}{2} \)
  5. \( \frac{3}{4} \)

Pembahasan:

Dari soal diketahui \( u_2+u_4+u_6+ \cdots = 4 \) yang berarti jumlah suku-suku genap adalah 4, sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty (\text{genap}) = \frac{ar}{1-r^2} \Leftrightarrow 4 &= \frac{ar}{1-r^2} \\[8pt] 4(1-r^2) &= ar \\[8pt] 4-4r^2 &= ar \\[8pt] u_2 + u_4 = 3 \Leftrightarrow ar+ar^3 &= 3 \\[8pt] (4-4r^2)+(4-4r^2)r^2 &= 3 \\[8pt] 4-4r^2+4r^2-4r^4 &= 3 \\[8pt] 4-4r^4 &= 3 \\[8pt] 4r^4 &= 1 \\[8pt] r^4 &= \frac{1}{4} \\[8pt] r^2 &= \frac{1}{2} \end{aligned}

Jawaban D.