Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri Serta Pembahasannya

Contoh 1:

Rasio dari barisan bilangan \( 2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \frac{2}{27}, \cdots \) adalah…

\( \frac{1}{5} \)
\( \frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{3} \)
\( \frac{1}{2} \)
\( 1 \)

Pembahasan:

Ingat bahwa rumus rasio barisan geometri yaitu \( r = \frac{U_n}{U_{n-1}} \). Dengan demikian, rasio dari barisan geometri yang diberikan pada soal ini adalah

\begin{aligned} r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} \\[8pt] &= \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \\[8pt] &= \frac{1}{3} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 2:

Diketahui \( 3^4, 3^6, 3^8, 3^{10}, \cdots \). Suku ke-12 adalah…

\( 3^{28} \)
\( 3^{26} \)
\( 3^{24} \)
\( 3^{22} \)
\( 3^{20} \)

Pembahasan:

Dari barisan \( 3^4, 3^6, 3^8, 3^{10}, \cdots \), diperoleh rasio barisannya yaitu:

\begin{aligned} r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} \\[8pt] &= \frac{3^6}{3^4} = 3^{6-4} \\[8pt] &= 3^2 = 9 \end{aligned}

Dengan demikian, suku ke-12 dari barisan tersebut, yaitu:

\begin{aligned} U_n &= ar^{n-1} \\[8pt] U_{12} &= 3^4 \cdot 9^{12-1} \\[8pt] &= 3^4 \cdot (3^2)^{11} \\[8pt] &= 3^4 \cdot 3^{22} \\[8pt] &= 3^{26} \end{aligned}

Jadi, suku ke-12 dari barisan geometri \( 3^4, 3^6, 3^8, 3^{10}, \cdots \) adalah \(3^{26}\).

Jawaban B.

Contoh 3:

Diketahui barisan \( \sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, \cdots \). Suku ke-9 adalah…

\( 81\sqrt{3} \)
\( 81 \)
\( 243 \)
\( 612 \sqrt{3} \)
\( 729 \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita cari rasio barisannya dulu dan kemudian cari suku ke-9 nya menggunakan rumus \( U_n = ar^{n-1} \). Kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_3}{U_2} &= \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_9 &= \sqrt{3} \left( \sqrt{3} \right)^{9-1} \\[8pt] \Leftrightarrow U_9 &= \sqrt{3} \left( \sqrt{3} \right)^8 = \sqrt{3} \cdot 3^4 \\[8pt] \Leftrightarrow U_9 &= 81 \sqrt{3} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 4:

Diketahui barisan \( 2, 2\sqrt{2}, 4, 4\sqrt{2}, \cdots \). Suku keberapakah \( 64\sqrt{2} \) ?

11
12
13
14
15

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapatkan rasio barisannya dulu dan kemudian gunakan rumus \( U_n = ar^{n-1} \) untuk mencari \(n\) atau suku ke sekian. Kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{2\sqrt{2}}{2} &= \sqrt{2} \\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow 64\sqrt{2} &= 2 (\sqrt{2})^{n-1} \\[8pt] 32\sqrt{2} &= (\sqrt{2})^n \cdot (\sqrt{2})^{-1} \\[8pt] 2^5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} &= 2^{\frac{1}{2}n} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \\[8pt] 2^{\frac{11}{2}} &= 2^{\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}} \\[8pt] \frac{11}{2} &= \frac{1}{2}n-\frac{1}{2} \\[8pt] \frac{1}{2}n &= \frac{11}{2}+\frac{1}{2} \\[8pt] \frac{1}{2}n &= 6 \\[8pt] n &= 12 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 5:

Jumlah 5 suku pertama dari deret \( 3 + 6 + 12 + \cdots \) adalah…

62
84
93
108
152

Pembahasan:

Perhatikan bahwa deret ini merupakan deret geometri dengan suku pertama bernilai 3 \((a=3)\) . Untuk mengerjakan soal ini, kita cari dulu rasio deretnya dan kemudian gunakan rumus jumlah suku ke-n deret geometri untuk menghitung jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{6}{3} &= 2 \\[8pt] S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \Leftrightarrow S_5 &= \frac{3(2^5-1)}{2-1} \\[8pt] &= \frac{3(32-1)}{2-1} \\[8pt] &= \frac{3 \cdot 31}{1} = 93 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 6:

Jumlah 5 suku pertama dari deret \( -1+5-25+125-\cdots \) adalah…

424
-315
-412
-521
324

Pembahasan:

Perhatikan bahwa deret ini merupakan deret geometri dengan suku pertama bernilai -1 \((a=-1)\) . Untuk mengerjakan soal ini, kita cari dulu rasio deretnya dan kemudian gunakan rumus jumlah suku ke-n deret geometri untuk menghitung jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{5}{-1} &= -5 \\[8pt] S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \Leftrightarrow S_5 &= \frac{-1(1-(-5)^5)}{1-(-5)} \\[8pt] &= \frac{-1(1+3.125)}{1+5} \\[8pt] &= \frac{-1 \times 3.126}{6} = -521 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 7:

Jumlah 8 suku pertama dari deret \( 2+2\sqrt{3}+6+\cdots \) adalah…

\( 80\sqrt{3}+80 \)
\( 36\sqrt{3}+36 \)
\( 60\sqrt{3}+60 \)
\( 48\sqrt{3}+48 \)
\( 32\sqrt{3}+32 \)

Pembahasan:

Perhatikan bahwa deret ini merupakan deret geometri dengan suku pertama bernilai 2 \((a=2)\) . Untuk mengerjakan soal ini, kita cari dulu rasio deretnya dan kemudian gunakan rumus jumlah suku ke-n deret geometri untuk menghitung jumlah 8 suku pertama deret tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{2\sqrt{3}}{2} &= \sqrt{3} \\[8pt] S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \Leftrightarrow S_8 &= \frac{2((\sqrt{3})^8-1)}{\sqrt{3}-1} \\[8pt] &= \frac{2(3^4-1)}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \\[8pt] &= \frac{160(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{160(\sqrt{3}+1)}{2} \\[8pt] &= 80\sqrt{3}+80 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 8:

Jika diketahui deret \( 4 + 8 + 16 + \cdots + x = 124 \) maka nilai \(x\) adalah…

64
128
256
132
248

Pembahasan:

Perhatikan bahwa deret ini merupakan deret geometri dengan suku pertama bernilai 4 \((a=4)\) dan mempunyai rasio 2. Gunakan rumus jumlah suku ke-n untuk mencari nilai \(x\). Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \Leftrightarrow 124 &= \frac{4(2^n-1)}{2-1} \\[8pt] 31 &= 2^n-1 \\[8pt] 32 &= 2^n \\[8pt] 2^5 &= 2^n \\[8pt] n &= 5 \\[8pt] x = U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_5 &= 4\cdot 2^{5-1} \\[8pt] &= 4 \cdot 2^4 = 64 \end{aligned}

Jadi, nilai \(x\) adalah 64.

Jawaban A.

Contoh 9:

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku pertama \( \sqrt[3]{x} \) dan suku kedua \( \sqrt{x} \). Maka \(U_5\) sama dengan….

\( x \)
\( x^{\frac{1}{4}} \)
\( x^{\frac{2}{3}} \)
\( x^{\frac{1}{2}} \)
\( x^{\frac{1}{5}} \)

Pembahasan:

Dari soal diketahui \( a = U_1 = \sqrt[3]{x} \) dan \( U_2 = \sqrt{x} \). Untuk mencari suku ke lima atau \( U_5 \), kita perlu cari dulu rasio deretnya dan kemudian gunakan rumus suku ke-n. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} &= \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{\frac{1}{6}} \\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_5 &= \sqrt[3]{x} \cdot \left( x^\frac{1}{6} \right)^{5-1} \\[8pt] &= x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{6}} = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} \\[8pt] &= x^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} = x \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 10:

Jika \( p\sqrt{q}, q\sqrt{p} \) merupakan dua suku pertama deret geometri, maka suku ke tiga adalah…

\( p\sqrt{p} \)
\( q\sqrt{q} \)
\( \sqrt{p} \)
\( \sqrt{q} \)
\( p \)

Pembahasan:

Dari soal diketahui \( a = U_1 = p\sqrt{q} \) dan \( U_2 = q\sqrt{p} \). Untuk menghitung suku ketiga kita perlu mencari rasio deretnya terlebih dahulu dan kemudian gunakan rumus suku ke-n. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{q\sqrt{p}}{p\sqrt{q}} &= \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}}\\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_3 &= p\sqrt{q} \cdot \left( \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}} \right)^{3-1} \\[8pt] &= p\sqrt{q} \cdot \left( \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}} \right)^2 \\[8pt] &= p\sqrt{q} \cdot \frac{q}{p} \\[8pt] &= q\sqrt{q} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 11:

Diketahui deret geometri \( 3+9+27+81+\cdots \). Jika deret tersebut diteruskan sampai 9 suku, maka suku tengahnya adalah…

81
124
243
729
812

Pembahasan:

Dari soal diketahui deret geometrinya memiliki suku pertama \(a = 3\) dan rasionya bernilai 3. Untuk mencari suku tengah, kita dapat gunakan rumus \( U_t = \sqrt{a \cdot U_n} \). Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_9 &= 3 \cdot 3^{9-1} = 3^9 \\[8pt] U_t &= \sqrt{a \cdot U_n} \\[8pt] &= \sqrt{3 \cdot 3^9} \\[8pt] &= \sqrt{3^{10}} = 3^5 \\[8pt] &= 243 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 12:

Tiga buah bilangan \( k-1, 2k-2, 3k+1 \) berturut-turut membentuk barisan geometri. Maka bilangan terbesar adalah…

8
16
24
32
48

Pembahasan:

Kita dapat gunakan rumus rasio geometri untuk mencari nilai \( k \) terlebih dahulu. Perhatikan hasil yang kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{U_3}{U_2} \\[8pt] U_2^2 &= U_1 \cdot U_3 \\[8pt] (2k-2)^2 &= (k-1)(3k+1) \\[8pt] 4(k-1)^2 &= (k-1)(3k+1) \\[8pt] 4(k-1) &= 3k+1 \\[8pt] 4k-3k &= 1+4 \\[8pt] k &= 5 \end{aligned}

Jadi, dari tiga buah bilangan yang diberikan, bilangan terbesar adalah \( 3k+1 = 3(5)+1 = 16 \).

Jawaban B.

Contoh 13:

Jumlah \(n\) suku pertama deret geometri dinyatakan dengan \( S_n = 2^{n+2}-4 \). Rumus suku ke-n adalah…

\( 2^{n-1} \)
\( 2^{n+1} \)
\( 2^{n+3} \)
\( 2^{n-3} \)
\( 2^n \)

Pembahasan:

Dari \( S_n = 2^{n+2}-4 \) yang merupakan jumlah \(n\) suku pertama deret geometri dapat kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} S_n = 2^{n+2}-4 \Leftrightarrow S_1 &= 2^{1+2} - 4 = 4 \\[8pt] U_1 &= S_1 = 4 \\[8pt] S_n = 2^{n+2}-4 \Leftrightarrow S_2 &= 2^{2+2} - 4 = 12 \\[8pt] U_2 &= S_2-U_1 \\[8pt] &= 12-4 = 8 \\[8pt] r = \frac{U_2}{U_1} &= \frac{8}{4} = 2 \\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_n &= 4 \cdot 2^{n-1} \\[8pt] &= 2^{n+1} \end{aligned}

Jawaban B.

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika » Barisan dan Deret › Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri Serta Pembahasannya