www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Barisan dan Deret   ›  Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri Serta Pembahasannya
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri Serta Pembahasannya

Pada artikel ini kita akan membahas beberapa contoh soal barisan dan deret geometri. Sebelum masuk ke contoh soal, ada baiknya kita pelajari dulu beberapa definisi, istilah, notasi, dan rumus-rumus yang biasa digunakan dalam barisan dan deret geometri.

Barisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan dengan aturan tertentu, sedangkan deret bilangan adalah penjumlahan dari bilangan-bilangan pada barisan bilangan.

\( U_1, U_2, U_3, \cdots \) disebut barisan bilangan.

\( U_1+U_2+U_3+\cdots \) disebut deret bilangan.

\( U_1 \) disebut suku ke-1, \( U_2 \) disebut suku ke-2, \( U_3 \) disebut suku ke-3, dan seterusnya.

Rumus Barisan dan Deret Geometri

Berikut adalah rumus suku ke-n, jumlah n suku pertama, suku tengah, dan rumus sisipan dari barisan geometri.

rumus barisan dan deret geometri
Contoh 1:

Rasio dari barisan bilangan \( 2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \frac{2}{27}, \cdots \) adalah…

  1. \( \frac{1}{5} \)
  2. \( \frac{1}{4} \)
  3. \( \frac{1}{3} \)
  4. \( \frac{1}{2} \)
  5. \( 1 \)
Pembahasan »

Ingat bahwa rumus rasio barisan geometri yaitu \( r = \frac{U_n}{U_{n-1}} \). Dengan demikian, rasio dari barisan geometri yang diberikan pada soal ini adalah

\begin{aligned} r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} \\[8pt] &= \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \\[8pt] &= \frac{1}{3} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 2:

Diketahui \( 3^4, 3^6, 3^8, 3^{10}, \cdots \). Suku ke-12 adalah…

  1. \( 3^{28} \)
  2. \( 3^{26} \)
  3. \( 3^{24} \)
  4. \( 3^{22} \)
  5. \( 3^{20} \)
Pembahasan »

Dari barisan \( 3^4, 3^6, 3^8, 3^{10}, \cdots \), diperoleh rasio barisannya yaitu:

\begin{aligned} r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} \\[8pt] &= \frac{3^6}{3^4} = 3^{6-4} \\[8pt] &= 3^2 = 9 \end{aligned}

Dengan demikian, suku ke-12 dari barisan tersebut, yaitu:

\begin{aligned} U_n &= ar^{n-1} \\[8pt] U_{12} &= 3^4 \cdot 9^{12-1} \\[8pt] &= 3^4 \cdot (3^2)^{11} \\[8pt] &= 3^4 \cdot 3^{22} \\[8pt] &= 3^{26} \end{aligned}

Jadi, suku ke-12 dari barisan geometri \( 3^4, 3^6, 3^8, 3^{10}, \cdots \) adalah \(3^{26}\).

Jawaban B.

Contoh 3:

Diketahui barisan \( \sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, \cdots \). Suku ke-9 adalah…

  1. \( 81\sqrt{3} \)
  2. \( 81 \)
  3. \( 243 \)
  4. \( 612 \sqrt{3} \)
  5. \( 729 \)
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini, kita cari rasio barisannya dulu dan kemudian cari suku ke-9 nya menggunakan rumus \( U_n = ar^{n-1} \). Kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_3}{U_2} &= \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_9 &= \sqrt{3} \left( \sqrt{3} \right)^{9-1} \\[8pt] \Leftrightarrow U_9 &= \sqrt{3} \left( \sqrt{3} \right)^8 = \sqrt{3} \cdot 3^4 \\[8pt] \Leftrightarrow U_9 &= 81 \sqrt{3} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 4:

Diketahui barisan \( 2, 2\sqrt{2}, 4, 4\sqrt{2}, \cdots \). Suku keberapakah \( 64\sqrt{2} \) ?

  1. 11
  2. 12
  3. 13
  4. 14
  5. 15
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapatkan rasio barisannya dulu dan kemudian gunakan rumus \( U_n = ar^{n-1} \) untuk mencari \(n\) atau suku ke sekian. Kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{2\sqrt{2}}{2} &= \sqrt{2} \\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow 64\sqrt{2} &= 2 (\sqrt{2})^{n-1} \\[8pt] 32\sqrt{2} &= (\sqrt{2})^n \cdot (\sqrt{2})^{-1} \\[8pt] 2^5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} &= 2^{\frac{1}{2}n} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \\[8pt] 2^{\frac{11}{2}} &= 2^{\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}} \\[8pt] \frac{11}{2} &= \frac{1}{2}n-\frac{1}{2} \\[8pt] \frac{1}{2}n &= \frac{11}{2}+\frac{1}{2} \\[8pt] \frac{1}{2}n &= 6 \\[8pt] n &= 12 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 5:

Jumlah 5 suku pertama dari deret \( 3 + 6 + 12 + \cdots \) adalah…

  1. 62
  2. 84
  3. 93
  4. 108
  5. 152
Pembahasan »

Perhatikan bahwa deret ini merupakan deret geometri dengan suku pertama bernilai 3 \((a=3)\) . Untuk mengerjakan soal ini, kita cari dulu rasio deretnya dan kemudian gunakan rumus jumlah suku ke-n deret geometri untuk menghitung jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{6}{3} &= 2 \\[8pt] S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \Leftrightarrow S_5 &= \frac{3(2^5-1)}{2-1} \\[8pt] &= \frac{3(32-1)}{2-1} \\[8pt] &= \frac{3 \cdot 31}{1} = 93 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 6:

Jumlah 5 suku pertama dari deret \( -1+5-25+125-\cdots \) adalah…

  1. 424
  2. -315
  3. -412
  4. -521
  5. 324
Pembahasan »

Perhatikan bahwa deret ini merupakan deret geometri dengan suku pertama bernilai -1 \((a=-1)\) . Untuk mengerjakan soal ini, kita cari dulu rasio deretnya dan kemudian gunakan rumus jumlah suku ke-n deret geometri untuk menghitung jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{5}{-1} &= -5 \\[8pt] S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \Leftrightarrow S_5 &= \frac{-1(1-(-5)^5)}{1-(-5)} \\[8pt] &= \frac{-1(1+3.125)}{1+5} \\[8pt] &= \frac{-1 \times 3.126}{6} = -521 \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 7:

Jumlah 8 suku pertama dari deret \( 2+2\sqrt{3}+6+\cdots \) adalah…

  1. \( 80\sqrt{3}+80 \)
  2. \( 36\sqrt{3}+36 \)
  3. \( 60\sqrt{3}+60 \)
  4. \( 48\sqrt{3}+48 \)
  5. \( 32\sqrt{3}+32 \)
Pembahasan »

Perhatikan bahwa deret ini merupakan deret geometri dengan suku pertama bernilai 2 \((a=2)\) . Untuk mengerjakan soal ini, kita cari dulu rasio deretnya dan kemudian gunakan rumus jumlah suku ke-n deret geometri untuk menghitung jumlah 8 suku pertama deret tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{2\sqrt{3}}{2} &= \sqrt{3} \\[8pt] S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \Leftrightarrow S_8 &= \frac{2((\sqrt{3})^8-1)}{\sqrt{3}-1} \\[8pt] &= \frac{2(3^4-1)}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \\[8pt] &= \frac{160(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{160(\sqrt{3}+1)}{2} \\[8pt] &= 80\sqrt{3}+80 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 8:

Jika diketahui deret \( 4 + 8 + 16 + \cdots + x = 124 \) maka nilai \(x\) adalah…

  1. 64
  2. 128
  3. 256
  4. 132
  5. 248
Pembahasan »

Perhatikan bahwa deret ini merupakan deret geometri dengan suku pertama bernilai 4 \((a=4)\) dan mempunyai rasio 2. Gunakan rumus jumlah suku ke-n untuk mencari nilai \(x\). Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \Leftrightarrow 124 &= \frac{4(2^n-1)}{2-1} \\[8pt] 31 &= 2^n-1 \\[8pt] 32 &= 2^n \\[8pt] 2^5 &= 2^n \\[8pt] n &= 5 \\[8pt] x = U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_5 &= 4\cdot 2^{5-1} \\[8pt] &= 4 \cdot 2^4 = 64 \end{aligned}

Jadi, nilai \(x\) adalah 64.

Jawaban A.

Contoh 9:

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku pertama \( \sqrt[3]{x} \) dan suku kedua \( \sqrt{x} \). Maka \(U_5\) sama dengan….

  1. \( x \)
  2. \( x^{\frac{1}{4}} \)
  3. \( x^{\frac{2}{3}} \)
  4. \( x^{\frac{1}{2}} \)
  5. \( x^{\frac{1}{5}} \)
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( a = U_1 = \sqrt[3]{x} \) dan \( U_2 = \sqrt{x} \). Untuk mencari suku ke lima atau \( U_5 \), kita perlu cari dulu rasio deretnya dan kemudian gunakan rumus suku ke-n. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} &= \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{\frac{1}{6}} \\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_5 &= \sqrt[3]{x} \cdot \left( x^\frac{1}{6} \right)^{5-1} \\[8pt] &= x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{6}} = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} \\[8pt] &= x^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} = x \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 10:

Jika \( p\sqrt{q}, q\sqrt{p} \) merupakan dua suku pertama deret geometri, maka suku ke tiga adalah…

  1. \( p\sqrt{p} \)
  2. \( q\sqrt{q} \)
  3. \( \sqrt{p} \)
  4. \( \sqrt{q} \)
  5. \( p \)
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( a = U_1 = p\sqrt{q} \) dan \( U_2 = q\sqrt{p} \). Untuk menghitung suku ketiga kita perlu mencari rasio deretnya terlebih dahulu dan kemudian gunakan rumus suku ke-n. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{q\sqrt{p}}{p\sqrt{q}} &= \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}}\\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_3 &= p\sqrt{q} \cdot \left( \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}} \right)^{3-1} \\[8pt] &= p\sqrt{q} \cdot \left( \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}} \right)^2 \\[8pt] &= p\sqrt{q} \cdot \frac{q}{p} \\[8pt] &= q\sqrt{q} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 11:

Diketahui deret geometri \( 3+9+27+81+\cdots \). Jika deret tersebut diteruskan sampai 9 suku, maka suku tengahnya adalah…

  1. 81
  2. 124
  3. 243
  4. 729
  5. 812
Pembahasan »

Dari soal diketahui deret geometrinya memiliki suku pertama \(a = 3\) dan rasionya bernilai 3. Untuk mencari suku tengah, kita dapat gunakan rumus \( U_t = \sqrt{a \cdot U_n} \). Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_9 &= 3 \cdot 3^{9-1} = 3^9 \\[8pt] U_t &= \sqrt{a \cdot U_n} \\[8pt] &= \sqrt{3 \cdot 3^9} \\[8pt] &= \sqrt{3^{10}} = 3^5 \\[8pt] &= 243 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 12:

Tiga buah bilangan \( k-1, 2k-2, 3k+1 \) berturut-turut membentuk barisan geometri. Maka bilangan terbesar adalah…

  1. 8
  2. 16
  3. 24
  4. 32
  5. 48
Pembahasan »

Kita dapat gunakan rumus rasio geometri untuk mencari nilai \( k \) terlebih dahulu. Perhatikan hasil yang kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{U_3}{U_2} \\[8pt] U_2^2 &= U_1 \cdot U_3 \\[8pt] (2k-2)^2 &= (k-1)(3k+1) \\[8pt] 4(k-1)^2 &= (k-1)(3k+1) \\[8pt] 4(k-1) &= 3k+1 \\[8pt] 4k-3k &= 1+4 \\[8pt] k &= 5 \end{aligned}

Jadi, dari tiga buah bilangan yang diberikan, bilangan terbesar adalah \( 3k+1 = 3(5)+1 = 16 \).

Jawaban B.

Contoh 13:

Jumlah \(n\) suku pertama deret geometri dinyatakan dengan \( S_n = 2^{n+2}-4 \). Rumus suku ke-n adalah…

  1. \( 2^{n-1} \)
  2. \( 2^{n+1} \)
  3. \( 2^{n+3} \)
  4. \( 2^{n-3} \)
  5. \( 2^n \)
Pembahasan »

Dari \( S_n = 2^{n+2}-4 \) yang merupakan jumlah \(n\) suku pertama deret geometri dapat kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} S_n = 2^{n+2}-4 \Leftrightarrow S_1 &= 2^{1+2} - 4 = 4 \\[8pt] U_1 &= S_1 = 4 \\[8pt] S_n = 2^{n+2}-4 \Leftrightarrow S_2 &= 2^{2+2} - 4 = 12 \\[8pt] U_2 &= S_2-U_1 \\[8pt] &= 12-4 = 8 \\[8pt] r = \frac{U_2}{U_1} &= \frac{8}{4} = 2 \\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_n &= 4 \cdot 2^{n-1} \\[8pt] &= 2^{n+1} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 14:

Jika tiga bilangan \( q, s, \) dan \(t\) membentuk barisan geometri, maka \( \frac{q+s}{q+2s+t} = \cdots \)

  1. \( \frac{q}{q+t} \)
  2. \( \frac{s}{s+t} \)
  3. \( \frac{s}{q+s} \)
  4. \( \frac{q}{s+t} \)
  5. \( \frac{t}{q+t} \)
Pembahasan »

Diketahui bilangan \( q, s, \) dan \(t\) membentuk barisan geometri, sehingga berlaku:

\begin{aligned} U_n &= ar^{n-1} \\[8pt] U_2 &= ar^{2-1} = ar \\[8pt] s &= qr \\[8pt] U_3 &= ar^{3-1} = ar^2 \\[8pt] t &= qr^2 = sr \Leftrightarrow r = \frac{t}{s} \\[8pt] \frac{q+s}{q+2s+t} &= \frac{q+qr}{q+2qr+qr^2} = \frac{1+s}{1+2r+r^2} \\[8pt] &= \frac{1+r}{(1+r)^2} = \frac{1}{1+r} = \frac{1}{1+\frac{t}{s}} \\[8pt] &= \frac{1}{\frac{s+t}{s}} = \frac{s}{s+t} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 15:

Dari suatu deret geometri yang rasionya 2 diketahui jumlah 10 suku pertama sama dengan 3069. Hasil kali suku ke 4 dan ke 6 dari deret tersebut adalah…

  1. 3069
  2. 2304
  3. 4236
  4. 4476
  5. 5675
Pembahasan »

Diketahui rasio \(r = 2\) dan jumlah 10 suku pertama atau \(S_{10} = 3069\) sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \Leftrightarrow S_{10} = \frac{a(r^{10}-1)}{r-1} \\[8pt] 3069 &= \frac{a(2^{10}-1)}{2-1} \Leftrightarrow 3069 = \frac{a(1024-1)}{1} \\[8pt] 3069 &= a(1023) \Leftrightarrow a = \frac{3069}{1023} = 3 \\[20pt] \hline \\[1pt] U_n &= ar^{n-1} \Leftrightarrow U_4 = ar^3 = 3 \cdot 2^3 = 24 \\[8pt] U_6 &= ar^5 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96 \\[8pt] U_4 \cdot U_6 &= 24 \cdot 96 = 2.304 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 16: SBMPTN 2018

Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku dengan rasio ½ dan suatu barisan aritmetika yang terdiri atas tiga suku dengan beda \(b\). Jumlah semua suku barisan geometri tersebut dan jumlah semua suku barisan aritmetika tersebut masing-masing bernilai 1. Jika suku pertama barisan geometri tersebut sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka nilai \(b\) adalah…

  1. 1/15
  2. 2/15
  3. 1/5
  4. 1/3
  5. 8/15
Pembahasan »

Misalkan barisan geometri dengan \(r = 1/2\) adalah \( a, \frac{1}{2}a, \frac{1}{4}a, \frac{1}{8}a \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} a+\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}a+\frac{1}{8}a &= 1 \\[8pt] \frac{8+4+2+1}{8} \ a &= 1 \\[8pt] \frac{15}{8}a &= 1 \\[8pt] 15a &= 8 \\[8pt] a &= \frac{8}{15} \end{aligned}

Misalkan barisan aritmetika dengan beda \(b\) adalah \( u_1-b, u_1, u_1+b \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} (u_1-b)+u_1+(u_1+b) &= 1 \\[8pt] 3u_1 &= 1 \\[8pt] u_1 &= \frac{1}{3} \end{aligned}

Karena suku pertama barisan geometri sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka diperoleh:

\begin{aligned} a &= u_1+b \\[8pt] \frac{8}{15} &= \frac{1}{3}+b \\[8pt] b &= \frac{8}{15}-\frac{1}{3} = \frac{8-5}{15} \\[8pt] &= \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 17: UN 2014

Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian sehingga panjang potongan-potongan tali tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek 6 cm dan tali terpanjang 96 cm, maka panjang tali semula adalah…

  1. 96 cm
  2. 185 cm
  3. 186 cm
  4. 191 cm
  5. 192 cm
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( a = 6, n = 5 \) dan \(U_5=96\) sehingga panjang tali semula \( (S_5) \) dapat ditentukan sebagai berikut:

\begin{aligned} U_n = ar^{n-1} &\Leftrightarrow U_5 = 6r^4 \\[8pt] 96 = 6r^4 &\Leftrightarrow r^4 = \frac{96}{6}=16 \\[8pt] &\Leftrightarrow r = \sqrt[4]{16} = 2 \\[8pt] S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} &\Leftrightarrow S_5 = \frac{6(2^5-1)}{2-1} \\[8pt] &\Leftrightarrow S_5 = \frac{6(32-1)}{2-1} \\[8pt] &\Leftrightarrow S_5 = 6(31) = 186 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 18: UN 2007

Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyak bakteri pada waktu tiga puluh menit pertama adalah…

  1. 640 bakteri
  2. 3.200 bakteri
  3. 6.400 bakteri
  4. 12.800 bakteri
  5. 32.000 bakteri
Pembahasan »

Diketahui \( U_4 = 400 \) (lima belas menit pertama dan rasio \( r = 2\) (bakteri berkembang dua kali lipat setiap lima menit). Dengan demikian, banyak bakteri pada waktu tiga puluh menit pertama \( (U_7) \), yaitu:

\begin{aligned} U_n = ar^{n-1} &\Leftrightarrow U_4 = a \cdot 2^3 \\[8pt] 400 = 8a &\Leftrightarrow a = \frac{400}{8}=50 \\[8pt] &\Leftrightarrow U_7 = 50 \cdot 2^6 = 50 \cdot 64 \\[8pt] &\Leftrightarrow U_7 = 3.200 \ \text{bakteri} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 19: UN 2009

Sebuah ayunan mencapai lintasan pertama sejauh 90 cm dan lintasan berikutnya hanya mencapai \( \frac{5}{8} \) dari lintasan sebelumnya. Panjang lintasan seluruhnya hingga ayunan berhenti adalah…

  1. 120 cm
  2. 144 cm
  3. 240 cm
  4. 250 cm
  5. 260 cm
Pembahasan »

Lintasan ayunan akan membentuk deret tak hingga. Dari soal diketahui \(a = 90\) dan \(r = \frac{5}{8}\) sehingga panjang lintasan seluruhnya, yaitu:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{90}{1-\frac{5}{8}} \\[8pt] &= \frac{90}{3/8} = 240 \ \text{cm} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 20:

Jumlah enam suku pertama deret geometri adalah 252. Sedangkan jumlah tiga suku pertamanya adalah 28. Jumlah empat suku pertama deret itu adalah…

  1. 42
  2. 48
  3. 54
  4. 60
  5. 72
Pembahasan »

Diketahui jumlah enam suku pertama deret geometri adalah 252 dan jumlah tiga suku pertamanya adalah 28, sehingga dapat diperoleh:

\begin{aligned} U_1+U_2+U_3 &= 28 \\[8pt] a+ar+ar^2 &= 28 \\[8pt] U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+U_6 &= 252 \\[8pt] a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+ar^5 &= 252 \\[8pt] 28+ar^3+ar^4+ar^5 &= 252 \\[8pt] ar^3+ar^4+ar^5 &= 252-28 \\[8pt] r^3(a+r+ar^2) &= 224 \\[8pt] r^3 (28) &= 224 \\[8pt] r^3 = \frac{224}{28}=8 \Rightarrow r &= 2 \\[8pt] a+ar+ar^2&=28 \\[8pt] a+2a+4a &= 28 \\[8pt] 7a = 28 \Rightarrow a &= \frac{28}{7} = 4 \end{aligned}

Untuk \(a = 4\) dan \(r=2\), jumlah empat suku pertamanya adalah \(4+8+16+32=60\).

Jawaban D.

Contoh 21:

Diketahui deret geometri dengan \( S_n = 240, S_{n+1} = 248 \), dan \( S_{n+2} = 252 \). Suku pertama deret itu adalah…

  1. 64
  2. 72
  3. 84
  4. 96
  5. 128
Pembahasan »

Dari informasi yang diberikan dalam soal, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} U_{n+1} &= S_{n+1}-S_n \\[8pt] &= 248-240=8 \\[8pt] U_{n+2} &= S_{n+2}-S_{n+1} \\[8pt] &= 252-248 = 4 \\[8pt] r &= \frac{U_{n+2}}{U_{n+1}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \\[8pt] U_n &= ar^{n-1} \Leftrightarrow U_{n+1} = ar^{(n+1)-1} \\[8pt] 8 &= ar^n \\[8pt] S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \Leftrightarrow 240 = \frac{ar^n-a}{\frac{1}{2}-1} \\[8pt] 240 \times \left(-\frac{1}{2} \right) &= ar^n - a \Leftrightarrow -120 = 8-a \\[8pt] a &= 8+120=128 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 22:

Suatu deret geometri di mana semua sukunya positif. Jika \( U_1+U_2+U_3 = 10,5 \) dan \( {}^2 \! \log U_1 + {}^2 \! \log U_2+{}^2 \! \log U_3 = {}^2 \! \log U_4-2 \), maka suku keempat deret itu adalah…

  1. 32
  2. 34
  3. 36
  4. 40
  5. 42
Pembahasan »

Dari sifat logaritma, kita peroleh:

\begin{aligned} {}^2 \! \log U_1 + {}^2 \! \log U_2+{}^2 \! \log U_3 &= {}^2 \! \log U_4-2 \\[8pt] {}^2 \! \log (U_1 \cdot U_2 \cdot U_3) &= {}^2 \! \log U_4-{}^2 \! \log 2^2 \\[8pt] {}^2 \! \log (U_1 \cdot U_2 \cdot U_3) &= {}^2 \! \log \left( \frac{U_4}{4} \right) \\[8pt] U_1 \cdot U_2 \cdot U_3 &= \frac{U_4}{4} \\[8pt] a \cdot ar \cdot ar^2 &= \frac{ar^3}{4} \\[8pt] a^3 r^3 &= \frac{ar^3}{4} \\[8pt] a^2 &= \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = \pm \frac{1}{2} \end{aligned}

Untuk \( a = \frac{1}{2} \), kita peroleh:

\begin{aligned} U_1+U_2+U_3 &= 10,5 \\[8pt] a+ar+ar^2 &= 10,5 \\[8pt] \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r^2 &= 10,5 \\[8pt] 1+r+r^2 &= 21 \\[8pt] r^2+r-20 &= 0 \\[8pt] (r+5)(r-4) &= 0 \\[8pt] r=-5 \ &\text{atau} \ r = 4 \end{aligned}

Karena \(r=-5\) tidak memenuhi maka \(r=4\) sehingga:

\begin{aligned} U_4 &= ar^{4-1} = \frac{1}{2} \cdot 4^3 \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot 64 = 32 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 23:

Jika \( U_n \) adalah suku ke-n suatu barisan geometri maka jumlah 4 suku pertama barisan tersebut sama dengan…

  1. \( \frac{u_1(u_1-u_4)}{ u_1-u_2 } \)
  2. \( \frac{u_1-u_4}{ u_1-u_2 } \)
  3. \( \frac{u_1(u_1+u_5)}{ u_1-u_2 } \)
  4. \( \frac{u_1(u_1-u_5)}{ u_1-u_2 } \)
  5. \( \frac{u_1(u_1+u_4)}{ u_1-u_2 } \)
Pembahasan »

Kita tahu bahwa \( S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \) sehingga:

\begin{aligned} S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\[8pt] S_4 &= \frac{a(r^4-1)}{r-1} \times \frac{a}{a} \\[8pt] &= \frac{a(ar^4-a)}{ar-a} = \frac{u_1(u_5-u_1)}{u_2-u_1} \\[8pt] &= \frac{u_1(u_1-u_5)}{u_1-u_2} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 24:

Suatu deret geometri diketahui suku ke-n dirumuskan dengan \( U_n = 2^{3-2n} \). Rasio deret tersebut adalah…

  1. 4
  2. 1/2
  3. 1/4
  4. -1/4
  5. -1/2
Pembahasan »

Dari \( U_n = 2^{3-2n} \) dapat diperoleh:

\begin{aligned} U_n &= 2^{3-2n} \\[8pt] U_1 &= 2^{3-2 \cdot 1} = 2^1 = 2 \\[8pt] U_2 &= 2^{3-2 \cdot 2} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \\[8pt] r &= \frac{U_2}{U_1} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 25:

Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika suku tengahnya dikurangi 2 maka akan terbentuk barisan geometri dengan rasio ½. Jumlah barisan aritmatika tersebut adalah…

  1. 50
  2. 45
  3. 40
  4. 35
  5. 30
Pembahasan »

Misalkan tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika tersebut adalah \(a-b, a, a+b\). Jika suku tengah barisan aritmatika tersebut dikurangi 2, maka akan diperoleh barisan geometri dengan rasio ½, yaitu: \(a-b, a-2, a+b\) sehingga dapat kita peroleh berikut:

\begin{aligned} r &= \frac{U_2}{U_1} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{a-2}{a-b} \\[8pt] 2a-4 &= a-b \Leftrightarrow a = 4-b \\[8pt] r &= \frac{U_3}{U_2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{a+b}{a-2} \\[8pt] 2a+2b &= a-2 \Leftrightarrow a = -2b-2 \\[8pt] 4-b &= -2b-2 \\[8pt] b &= -6 \\[8pt] a &= -2b-2 = -2(-6)-2 \\[8pt] a &= 10 \end{aligned}

Untuk \(b=-6\) dan \(a=10\), maka jumlah barisan aritmatika tersebut, yaitu:

\begin{aligned} &= (a-b)+a+(a+b) \\[8pt] &= 3a = 3(10) \\[8pt] &=30 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 26:

Tiga buah bilangan merupakan barisan geometri dengan jumlah 26. Jika suku tengahnya ditambah 4 maka akan terbentuk barisan aritmatika. Suku pertama barisan itu adalah…

  1. 16
  2. 12
  3. 8
  4. 6
  5. 2
Pembahasan »

Kita misalkan bahwa tiga bilangan yang membentuk barisan geometri tersebut yaitu: \(a, ar, ar^2\) sehingga diperoleh \( a+ar+ar^2 = 26 \) atau \( a+ar^2=26-ar \). Kemudian jika suku tengah barisan geometri tersebut ditambah 4, maka akan terbentuk barisan aritmatika yaitu: \(a+(ar+4)+ar^2\), sehingga dapat diperoleh:

\begin{aligned} 2U_2 &= U_1+U_3 \\[8pt] 2(ar+4) &= a+ar^2 \\[8pt] 2ar+8 &= 26-ar \\[8pt] 2ar+ar &= 26-8 \\[8pt] 3ar &= 18 \Rightarrow r = \frac{6}{a} \\[8pt] a+ar^2 &= 26-ar \\[8pt] a+a\left( \frac{6}{a} \right)^2 &= 26-6 \Rightarrow a+\frac{36}{a} = 20 \\[8pt] a^2-20a+36 &= 0 \\[8pt] (a-18)(a-2) &= 0 \\[8pt] a = 18 \ &\text{atau} \ a = 2 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 27: SIMAK UI 2013

Diketahui bilangan \(a, b, c\) membentuk barisan geometri. Bilangan \(a, b, c-2\) membentuk barisan aritmatika dan bilangan \(a, b+2, c+10\) membentuk barisan geometri. Jumlah semua nilai yang mungkin untuk \(b\) adalah…

  1. \( \frac{14}{9} \)
  2. \( \frac{20}{9} \)
  3. \( \frac{32}{9} \)
  4. \( \frac{40}{9} \)
  5. \( \frac{80}{9} \)
Pembahasan »

Ingat bahwa untuk barisan geometri \(a, b, c\) diperoleh \(b^2=ac \cdots (1)\). Untuk barisan aritmatika \(a, b, c-2\) diperoleh \(2b=a+c-2 \cdots (2) \) dan untuk barisan geometri \(a, b+2, c+10\) diperoleh \( (b+2)^2 = a(c+10) \cdots (3) \).

Jika kita substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan (3) akan diperoleh:

\begin{aligned} (b+2)^2 &= a(c+10) \\[8pt] b^2+4b+4 &= ac+10a \\[8pt] ac+2(a+c-2)+4 &= ac+10a \\[8pt] 2a+2c-4+4 &= 10a \\[8pt] a+c &= 5a \Leftrightarrow c = 4a \cdots \text{pers.} (4) \\[8pt] 2b &= a+c-2 \\[8pt] 2b &= a+4a-2 \\[8pt] 2b+2 &= 5a \\[8pt] a &= \frac{2b+2}{5} \Leftrightarrow \cdots \text{pers.} (5) \end{aligned}

Kemudian, jika pers (4) dan (5) disubstitusikan ke pers (1), maka diperoleh:

\begin{aligned} b^2 = ac \Leftrightarrow b^2 &= a (4a) \\[8pt] b^2 = 4a^2 \Leftrightarrow b^2 &= 4 \left( \frac{2b+2}{5} \right)^2 \\[8pt] b^2 &= 4 \left( \frac{4b^2+8b+4}{25} \right) \\[8pt] 25b^2 &= 16b^2+32b+16 \\[8pt] 9b^2-32b-16 &= 0 \end{aligned}

Berdasarkan rumus jumlah persamaan kuadrat, maka jumlah semua nilai \(b\) yang mungkin adalah \( b_1+b_2 = - \frac{-32}{9} = \frac{32}{9} \).

Jawaban C.

Contoh 28:

Tiga buah bilangan \( k-1, 2k-2, 3k+1 \) berturut-turut membentuk barisan geometri. Maka bilangan terbesar adalah…

  1. 8
  2. 16
  3. 24
  4. 32
  5. 48
Pembahasan »

Kita dapat gunakan rumus rasio geometri untuk mencari nilai \( k \) terlebih dahulu. Perhatikan hasil yang kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{U_3}{U_2} \\[8pt] U_2^2 &= U_1 \cdot U_3 \\[8pt] (2k-2)^2 &= (k-1)(3k+1) \\[8pt] 4(k-1)^2 &= (k-1)(3k+1) \\[8pt] 4(k-1) &= 3k+1 \\[8pt] 4k-3k &= 1+4 \\[8pt] k &= 5 \end{aligned}

Jadi, dari tiga buah bilangan yang diberikan, bilangan terbesar adalah \( 3k+1 = 3(5)+1 = 16 \).

Jawaban B.

Contoh 29:

Diketahui deret geometri \( 3+9+27+81+\cdots \). Jika deret tersebut diteruskan sampai 9 suku, maka suku tengahnya adalah…

  1. 81
  2. 124
  3. 243
  4. 729
  5. 812
Pembahasan »

Dari soal diketahui deret geometrinya memiliki suku pertama \(a = 3\) dan rasionya bernilai 3. Untuk mencari suku tengah, kita dapat gunakan rumus \( U_t = \sqrt{a \cdot U_n} \). Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_9 &= 3 \cdot 3^{9-1} = 3^9 \\[8pt] U_t &= \sqrt{a \cdot U_n} \\[8pt] &= \sqrt{3 \cdot 3^9} \\[8pt] &= \sqrt{3^{10}} = 3^5 \\[8pt] &= 243 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 30:

Jika \( p\sqrt{q}, q\sqrt{p} \) merupakan dua suku pertama deret geometri, maka suku ke tiga adalah…

  1. \( p\sqrt{p} \)
  2. \( q\sqrt{q} \)
  3. \( \sqrt{p} \)
  4. \( \sqrt{q} \)
  5. \( p \)
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( a = U_1 = p\sqrt{q} \) dan \( U_2 = q\sqrt{p} \). Untuk menghitung suku ketiga kita perlu mencari rasio deretnya terlebih dahulu dan kemudian gunakan rumus suku ke-n. Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{q\sqrt{p}}{p\sqrt{q}} &= \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}}\\[8pt] U_n = ar^{n-1} \Leftrightarrow U_3 &= p\sqrt{q} \cdot \left( \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}} \right)^{3-1} \\[8pt] &= p\sqrt{q} \cdot \left( \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}} \right)^2 \\[8pt] &= p\sqrt{q} \cdot \frac{q}{p} \\[8pt] &= q\sqrt{q} \end{aligned}

Jawaban B.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

Artikel Terkait
img

Contoh soal barisan dan deret aritmatika serta pembahasannya

img

Contoh soal barisan dan deret tak hingga serta pembahasannya