JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Vektor & Ruang Vektor › Kebebasan Linier
Vektor

Kebebasan Linier

Sekelompok vektor disebut bebas linear (linearly independent) apabila masing-masing vektor tersebut tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Bebas linear merupakan salah satu syarat yang harus dipenuhi oleh suatu himpunan untuk menjadi basis ruang vektor.

Dalam aljabar linear, sekelompok vektor disebut bebas linear (linearly independent) apabila masing-masing vektor tersebut tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain. Sekelompok vektor yang tidak memenuhi syarat ini dinamakan bergantung linier (linearly dependent). Kita nyatakan definisinya sebagai berikut.

Definisi:

Jika \(S = {v_1, v_2,…, v_r}\) adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor

Gambar

mempunyai paling sedikti satu pemecahan, yakni

Gambar

Jika ini adalah satu-satuya pemecahan, maka \(S\) kita namakan himpunan bebas linear (linearly independent). Jika ada pemecahan lain, maka \(S\) kita namakan himpunan tak bebas linear (linearly dependent).

Teorema:

Himpunan \(S\) dengan dua vektor atau lebih adalah

  1. Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak satu diantara vektor \(S\) dapat dnyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor \(S\) lainnya.
  2. Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor \(S\) yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam vektor \(S\) lainnya.

Teorema:

  1. Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu takbebas linear.
  2. Sebuah himpunan mempunyai persis dua vektor takbebas linear jika dan hanya jika salah satu dari vektor itu adalah perkalian dari skalar lainnya.

Contoh 1:

Periksa apakah himpunan \(S=\{(1,2),(2,5)\}\) bebas linear dalam ruang vektor \(\mathbb{R}^2\).

Pembahasan:

Perhatikan bahwa (1,2) bukan kelipatan skalar dari (2,5) dan begitupun sebaliknya. Dengan demikian, berdasarkan teorema di atas, maka himpunan \(S\) adalah bebas linear.

Contoh 2:

Tinjaulah vektor-vektor \(i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) \) dan \(k = (0, 0, 1)\) pada \(R^3\). Perlihatkan bahwa himpunan vektor-vektor tersebut saling bebas linear.

Pembahasan:

Vektor-vektor tersebut saling bebas linear jika persamaan

Gambar

hanya dipenuhi oleh \( k_1 = k_2 = k_3 = 0 \) atau secara ekivalen menjadi

Gambar

Perhatikan bahwa \(k_1 = 0, k_2 = 0, k_3 = 0\); sehingga himpunan \(S = (i, j, k)\) bebas linear. Uraian serupa dapat digunakan untuk memperlihatkan bahwa vektor-vektor \(e_1 = (1, 0, 0,…, 0), e_2 = (0, 1, 0,…, 0),…, e_n = (0, 0, 0,…, 1)\) membentuk himpunan bebas linear pada \(R^n\).

Contoh 3:

Tentukanlah apakah vektor-vektor

Gambar

membentuk himpunan takbebas linear atau himpunan bebas linear.

Pembahasan:

Kebebasan linear atau ketidakbebasan linear dari vektor-vektor ini ditentukan oleh persamaan vektor:

Gambar

Kita tulis ulang dalam bentuk komponen:

Gambar

Dengan menyamakan komponen yang bersesuaian akan memberikan

Gambar

Jadi, \(v_1, v_2\), dan \(v_3\) membentuk himpunan takbebas linear jika sistem ini mempunyai pemecahan takrivial, atau membentuk himpunan bebas linear jika sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial. Dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkan

Gambar

Karena sistem tersebut mempunyai pemecahan taktrivial maka \(v_1, v_2\), dan \(v_3\) membentuk himpunan tak bebas linear.

Karena kita telah menetapkan bahwa vektor \(v_1, v_2\), dan \(v_3\) adalah takbebas linear, maka setidaknya salah satu dari vektor-vektor tersebut adalah kombinasi linear dari yang lain. Seperti yang bisa dilihat, vektor \( v_3 \) adalah kombinasi linear dari vektor \( v_1 \) dan \( v_2 \).

Gambar

Pada Contoh 3 di atas, secara alternatif, kita bisa menunjukkan adanya pemecahan taktrivial tanpa memecah sistem tersebut dengan memperlihatkan bahwa matriks koefisien mempunyai determinan nol dan sebagai konsekuensinya maka matriks koefisien tersebut tidak dapat dibalik.

Teorema:

Misalkan A adalah matriks persegi. Persamaan \( A\vec{x} = \vec{0} \) hanya mempunyai solusi trivial jika dan hanya jika \( \det A \neq 0 \).

Contoh 4:

Diketahui \(\vec{v}_1=(1,1,2)\), \(\vec{v}_2=(1,0,1)\), dan \(\vec{v_3}=(2,1,3)\). Periksa apakah \(S=\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v_3} \}\) bebas linear dalam ruang vektor \(\mathbb{R}^3\).

Pembahasan:

Untuk menentukan himpunan \(S\) bebas linear atau tidak, perlu diperiksa apakah persamaan

Gambar

hanya dipenuhi oleh \(k_1=k_2=k_3=0\). Perhatikan bahwa

Gambar

Berdasarkan kesamaan vektor pada \(\mathbb{R}^3\), diperoleh

Gambar

Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah

Gambar

Determinan dari matriks A adalah nol yakni

Gambar

Dengan demikian, persamaan (1) mempunyai solusi non trivial. Akibatnya, himpunan \( S \) bergantung linear.

Dalam \(R^2\) atau \(R^3\), satu vektor adalah kelipatan skalar dari vektor lainnya jika dan hanya jika kedua vektor yang terletak pada garis yang sama yang melalui titik asal ditempatkan pada titik awalnya melalui titik asal. Jadi, dalam \(R^2\) atau \(R^3\) dua vektor yang berbentuk himpunan takbebas linear adalah jika dan hanya jika vektor itu terletak pada garis yang sama melalui titik asal yang ditempatkan pada titik awalnya melalui titik asal itu sendiri. Lihat Gambar 1 berikut.

Gambar

Gambar 1.

Jika \(v_1, v_2\), dan \(v_3\) adalah tiga vektor pada \(R^3\), maka himpunan \(S=\{v_1, v_2,v_3\}\) takbebas linear jika dan hanya jika ketiga vektor tersebut terletak pada bidang yang sama melalui titik asal bila vektor-vektor tersebut ditempatkan dengan titik-titik awalnya di titik asal (lihat Gambar 2).

Gambar

Gambar 2.

Himpunan bebas linear pada Rn dapat mengandung paling banyak \(n\) vektor. Kita nyatakan dalam teorema berikut.

Teorema:

Misalkan \(S=\{v_1, v_2,…, v_r\}\) adalah himpunan vektor-vektor pada \(R^n\). Jika \(r > n\), maka \(S\) takbebas linear.

Bukti:

Misalkan

Gambar

Tinjaulah persamaan

Gambar

Jika kita menyatakan kedua ruas dari persamaan ini dalam komponen-komponennya dan kemudian menyamakan komponen-komponen yang bersesuaian, kita dapatkan sistem

Gambar

Ini merupakan sistem homogen dari \(n\) persamaan pada \(r\) bilangan tak diketahui \(k_1,…, k_r\). Karena \(r > n\), maka sistem tersebut mempunyai pemecahan taktrivial. Jadi, \(S=\{v_1, v_2,…, v_r\}\) adalah himpunan tak bebas linear.

Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

If you spend your whole life waiting for the storm, you’ll never enjoy the sunshine.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: