JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Vektor & Ruang Vektor › Rentang
Vektor

Rentang

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Jika \(v_1, v_2,…, v_r\) adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear \(v_1, v_2,…, v_r\) maka kita mengatakan bahwa vektor-vektor ini merentang V. Atau dapat kita nyatakan dalam definisi sebagai berikut.

Definisi:

Misalkan V adalah ruang vektor dan Andaikan \(S = \{v_1, v_2,…, v_r \} \) adalah subset dari V. Kita katakan bahwa S merentang V jika setiap vektor v dalam V bisa dituliskan sebagai kombinasi linear vektor dalam S, yakni

\[ v = k_1v_1 + k_2v_2 + \cdots + k_n v_n \]

Contoh 1: Rentang

Vektor-vektor \(i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0)\), dan \(k = (0, 0, 1)\) merentang \(R^3\) karena setiap vektor \((a, b, c)\) pada \(R^3\) dapat kita tuliskan sebagai

Gambar

Contoh 2: Rentang

Tentukan apakah \(v_1 = (1, 2, 3), v_2 = (1, 4, 6)\), dan \(v_3 = (2, -3, -5)\) merentangkan ruang vektor \(R^3\).

Pembahasan:

Kita harus menentukan apakah sebarang vektor \(b = (b_1, b_2, b_3)\) di \(R^3\) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor \(v_1, v_2\), dan \(v_3\) dalam bentuk persamaan:

Gambar

Penyamaan komponen-komponen yang bersesuaian memberikan

Gambar

Selanjutnya adalah kita perlu menentukan apakah sistem persamaan linier di atas mempunyai solusi untuk semua nilai \(b = (b_1, b_2, b_3)\). Sistem persamaan linier nonhomogen di atas akan konsisten atau mempunyai solusi apabila matriks koefisiennya memiliki determinan bukan nol.

Gambar

Karena determinan \(A = -1\), maka sistem persamaan linier di atas konsisten atau memiliki solusi, sehingga dapat dibuat kombinasi linier dari \(v_1, v_2\), dan \(v_3\). Karena itu dikatakan \(v_1, v_2\), dan \(v_3\) merentangkan ruang vektor \(R^3\).

Contoh 3: Rentang

Tentukan apakah \(v_1 = (1, 1, 2), v_2 = (1, 0, 1)\) dan \(v_3 = (2, 1, 3)\) merentang \(R^3\).

Pembahasan:

Kita harus menentukan apakah sebarang vektor \(b = (b_1, b_2, b_3)\) pada \(R^3\) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

Gambar

dari vektor-vektor \(v_1, v_2\), dan \(v_3\). Dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponen maka akan memberikan

Gambar

Penyamaan komponen-komponen yang bersesuaian memberikan

Gambar

Jadi soal tersebut direduksi untuk menentukan apakah sistem ini konsisten atau tidak bagi semua nilai \(b_1, b_2\), dan \(b_3\). Sistem persamaan ini akan konsisten untuk semua nilai \(b_1, b_2\), dan \(b_3\) jika dan hanya jika matriks koefisien-koefisien

Gambar

dapat dibalik. Tetapi \(\det(A) = 0\), sehingga \(A\) tidak dapat dibalik, dan sebagai konsekuensinya, maka \(v_1, v_2\), dan \(v_3\) tidak merentang \(R^3\).

Contoh 4: Rentang

Tentukan apakah \(v_1 = (1, 1, 1, -3), v_2 = (1, 1, -2, 0)\), dan \(v_3 = (1, -1, 0, 0)\) merentangkan vektor \(u = (2, -1, 2, -3)\) pada ruang vektor \(R^4\)?

Pembahasan:

Kita harus menentukan apakah vektor \(u = (2, -1, 2, -3)\) di \(R^4\) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor \(v_1, v_2\), dan \(v_3\) dalam bentuk persamaan:

Gambar

Penyamaan komponen-komponen yang bersesuaian memberikan

Gambar

Dari persamaan (4) didapat \(k_1 = 1\). Dengan melakukan substitusi balik ke persamaan (3), (2), dan (1) akan diperoleh solusi untuk sistem persamaan tersebut, yakni: \(k_1 = 1, k_2 = -0,5, k_3 = 1,5\). Dengan demikian ,dapat disimpulkan bahwa \(v_1, v_2\), dan \(v_3\) merentangkan vektor \(u = (2, -1, 2, -3)\) pada ruang vektor \(R^4\).

Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

I believe every human has a finite number of heartbeats. I don’t intend to waste any of mine.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: