JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Vektor & Ruang Vektor › Kombinasi Linier Vektor
Vektor

Kombinasi Linier Vektor

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Salah satu pembahasan penting berkaitan dengan ruang vektor adalah kombinasi linear vektor. Setelah memahami kombinasi linear vektor, kita dapat memberikan definisi terhadap apa yang disebut himpunan bebas linear dan bergantung linear, serta himpunan yang membangun ruang vektor.

Kita definisikan kombinasi linear vektor berikut ini.

Definisi:

Sebuah vektor \(w\) dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor \(v_1, v_2, ..., v_r\) jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk

Gambar

di mana \(k_1, k_2,...,k_r\) adalah skalar.

Contoh 1:

Periksalah apakah \( w = (3,5) \) merupakan kombinasi linear dari \( u = (1,1) \) dan \( v = (1,2) \).

Pembahasan:

Untuk menentukan apakah \(w\) merupakan kombinasi linear dari \(u\) dan \(v\), kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar \(k_1\) dan \(k_2\) yang memenuhi \( w = k_1 u + k_2 v \), yaitu

Gambar

Berdasarkan kesamaan dua vektor, diperoleh sistem persamaan linear berikut.

Gambar

Solusi dari sistem persamaan tersebut di atas adalah \( k_1 = 1 \) dan \( k_2 = 2 \). Jadi, karena terdapat skalar-skalar \( k_1 \) dan \( k_2 \) yang memenuhi \( w = k_1 u + k_2 v \), maka \(w\) merupakan kombinasi linear dari \( u \) dan \( v \).

Contoh 2:

Periksalah apakah \( w = (5,10) \) merupakan kombinasi linear dari \( u = (1,2) \) dan \( v = (2,4) \).

Pembahasan:

Untuk menentukan apakah \(w\) merupakan kombinasi linear dari \(u\) dan \(v\), kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar \(k_1\) dan \(k_2\) yang memenuhi \( w = k_1 u + k_2 v \), yaitu

Gambar

Berdasarkan kesamaan dua vektor, diperoleh sistem persamaan linear berikut.

Gambar

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

Gambar

dengan bentuk eselon baris

Gambar

Solusi dari sistem persamaan di atas dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik, yakni

Gambar

Jadi, karena terdapat skalar-skalar \( k_1 \) dan \( k_2 \) yang memenuhi \( w = k_1 u + k_2 v \), maka \(w\) merupakan kombinasi linear dari \( u \) dan \( v \). Lebih lanjut, ada tak berhingga cara menuliskan \( w \) sebagai kombinasi linear dari \( u \) dan \( v \).

Contoh 3:

Tinjaulah vektor-vektor \(u = (1, 2, -1)\) dan \(v = (6, 4, 2)\) di R3. Perlihatkan bahwa \(w = (9, 2, 7)\) adalah kombinasi linear \(u\) dan \(v\) serta bahwa \(w'=(4, -1, 8)\) bukanlah kombinasi linear \(u\) dan \(v\).

Penyelesaian:

Supaya \(w\) merupakan kombinasi linear \(u\) dan \(v\), harus ada skalar \(k_1\) dan \(k_2\) sehingga \( w=k_1 u + k_2 v \); yakni

Gambar

Penyamaan komponen-komponen yang bersesuaian memberikan

Gambar

Dengan memecahkan sistem ini akan menghasilkan \( k_1 = -3\) dan \( k_2 = 2 \) sehingga

Gambar

Demikian juga, supaya \(w'\) merupakan kombinasi linear \(u\) dan \(v\), harus ada skalar \(k_1\) dan \(k_2\) sehingga \( w'=k_1 u + k_2 v \); yaitu

Gambar

Dengan menyamakan komponen yang bersesuaian memberikan

Gambar

Sistem persamaan-persamaan ini tidak konsisten, sehingga tidak ada skalar-skalar seperti itu. Sebagai konsekuensinya, maka \(w'\) bukanlah kombinasi linear \(u\) dan \(v\).

Contoh 4:

Periksalah apakah \( w = (3,5,7) \) merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor \( u_1 = (1,1,2)\), \(u_2 = (1,0,1)\), dan \( u_3 = (2,1,3) \).

Pembahasan:

Kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar \( k_1, k_2, \) dan \( k_3 \) yang memenuhi

Gambar

Berdasarkan kesamaan dua vektor, diperoleh sistem persamaan linear

Gambar

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

Gambar

Dengan serangkaian operasi baris elementer, diperoleh bentuk eselon baris dari matriks di atas, yaitu

Gambar

Persamaan yang bersesuaian dengan baris ketiga adalah \( 0 = -1 \) yang jelas bernilai salah. Akibatnya, Gambar tidak mempunyai solusi. Dengan demikian, \( w \) bukan kombinasi linear dari \( u_1, u_2 \) dan \( u_3 \).

Artikel Terkait

Too many of us are not living our dreams because we are living our fears.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: