JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Matriks › Operasi Matriks
Matriks

Operasi Matriks

Sama halnya dengan bilangan, dua matriks atau lebih juga bisa ditambahkan, dikurangkan, dan dikalikan untuk menghasilkan suatu matriks baru.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Sama halnya dengan bilangan yang bisa ditambahkan, dikurangkan, dan dikalikan untuk menghasilkan bilangan yang baru, demikian pula dengan matriks yang mana juga bisa ditambahkan, dikurangkan, dan dikalikan untuk menghasilkan suatu matriks baru.

Kita akan memulai operasi penghitungan sederhana dari matriks yang meliputi kesamaan dua matriks, operasi penjumlahan dan pengurangan matriks serta perkalian matriks.

Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut juga sama. Dengan demikian, dua buah matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika \(A_{mn}=A_{nm}\) untuk setiap m dan n.

Sebagai contoh, diberikan dua matriks yakni

Gambar

Jika matriks A = B, maka \(a_{11} = b_{11}, \ a_{12} = b_{12}, \ a_{21} = b_{21}\) dan \(a_{22} = b_{22}\).

Contoh 1: Kesamaan Dua Matriks

Tinjaulah matriks-matriks berikut ini.

Gambar

Matriks A tidak sama dengan matriks C atau A ≠ C, karena A dan C mempunyai ukuran yang tidak sama. Begitu juga dengan matriks B ≠ C karena mempunyai ukuran yang berbeda. Selain itu, matriks A tidak sama dengan matriks B atau A ≠ B karena entri/elemen yang bersesuaian dari kedua matriks tidak semuanya sama.

Contoh 2: Kesamaan Dua Matriks

Tentukan x dan y jika diketahui A = B.

Gambar

Penyelesaian:

Karena A = B, maka x - 2y = -6 dan 2x + y = 8. Untuk mencari nilai x dan y, kita bisa menggunakan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) yang telah dipelajari pada pelajaran matematika dasar di sekolah menengah. Dari hasil perhitungan diperoleh nilai x dan y yang sesuai untuk matriks A di atas adalah x = 2 dan y = 4.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks baru yang diperoleh dengan menambahkan secara bersama-sama entri-entri yang bersesuain dalam kedua matriks tersebut.

Begitu juga dengan pengurangan A – B adalah matriks baru yang diperoleh dengan melakukan pengurangan secara bersama-sama entri-entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Hal yang perlu menjadi perhatian adalah bahwa matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan atau dikurangkan.

Sebagai contoh, misalkan diketahui matriks berikut.

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

Contoh 3: Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Tinjaulah matriks-matriks berikut ini.

Gambar

Hitunglah A + B dan A - B!

Penyelesaian:

Penjumlahan matriks A dan B atau A + B adalah:

Gambar

dan, pengurangan matriks A dan B atau A - B adalah:

Gambar

Untuk A + C atau A - C dan B + C atau B - C tidak bisa dihitung karena mempunyai ukuran matriks yang berbeda.

Perkalian Skalar dengan Matriks

Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu skalar, maka hasil kali (product) cA adalah matriks baru yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A dengan c.

Contoh 4: Perkalian Skalar dengan Matriks

Misalkan diketahui matriks-matriks sebagai berikut.

Gambar

Dengan demikian,

Gambar
Perkalian Matriks

Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n di mana untuk mencari entri dalam baris \(i\) dan kolom \(j\) dari AB, pilihlah baris \(i\) dari matriks A dan kolom \(j\) dari matriks B. Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut secara bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan. Untuk lebih jelasnya perhatikanlah contoh berikut.

Contoh 5: Perkalian Matriks

Tinjaulah matriks-matriks berikut.

Gambar

Karena A adalah matriks \(2 × 3\) dan B adalah matriks \(3 × 4\), maka hasilkali AB adalah matriks \(2 × 4\). Untuk menentukan, misalnya, entri dalam baris 2 dan kolom 3 dari AB, kita dapat memilih baris 2 dari A dan kolom 3 dari B. Maka, seperti yang dilukiskan di bawah, kita dapat mengalikan entri-entri yang bersesuaian bersama-sama dan menambah hasil kali ini.

Gambar

Entri dalam baris 1 dan kolom 4 dari AB dihitung sebagai berikut.

Gambar

Penghitungan-penghitungan untuk hasilkali selebihnya dan matriks AB diberikan di bawah ini.

Gambar

Hal penting yang perlu diingat adalah bahwa definisi perkalian matriks mengharuskan banyaknya kolom dari faktor pertama A harus sama seperti banyaknya baris dari faktor kedua B supaya membentuk hasilkali AB. Jika kondisi ini tidak dipenuhi, maka hasil kali tersebut tidak dapat didefinisikan.

Sebuah cara mudah untuk menentukan apakah hasil kali dua matriks dapat didefinisikan adalah dengan menulis ukuran faktor pertama, dan ke sebelah kanannya, kita menuliskan ukuran faktor kedua, seperti dalam ilustrasi berikut.

Gambar

Jika bilangan-bilangan yang di sebelah dalam (inside) adalah sama, maka hasil kalinya dapat didefinisikan. Bilangan-bilangan yang di sebelah luar (outside) akan memberikan ukuran hasil kali tersebut. Sebaliknya, jika bilangan-bilangan yang di sebelah dalam (inside) adalah tidak sama, maka hasil kali kedua matriks tidak dapat didefinisikan.

Contoh 6: Perkalian Matriks

Misalkan A adalah matriks 3 x 4, B adalah matriks 4 x 7, dan C adalah matriks 7 x 3. Maka hasilkali AB didefinisikan sebagai matriks 3 x 7; CA didefinisikan sebagai matriks 7 x 4; BC didefinisikan sebagai matriks 4 x 3. Hasilkali AC, CB, dan BA semuanya tidak dapat didefinisikan.

Secara umum, jika \(A=[a_{ij}]\) adalah matriks m x r dan \(B=[b_{ij}]\) adalah matriks r x n, maka seperti diilustrasikan oleh daerah yang diwarnai biru pada tampilan berikut,

Gambar

entri-entri \((AB)_{ij}\) pada baris \(i\) dan kolom \(j\) dari AB diberikan oleh

Gambar

Formula ini disebut aturan baris-kolom (row-column rule) untuk perkalian matriks.

Transpos Matriks

Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka transpos A dinyatakan oleh \(A^T\) dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya.

Berikut ini diberikan beberapa contoh matriks beserta transposnya.

Gambar

Perhatikanlah bahwa tidak hanya kolom-kolom \(A^T\) yang merupakan baris dari A, namun baris \(A^T\) juga merupakan kolom dari A. Oleh karena itu, entri pada baris \(i\) dan kolom \(j\) matriks \(A^T\) adalah entri pada baris \(j\) dan kolom \(i\) dari matriks A; yaitu

\[ (A^T )_{ij}=(A)_{ji} \]

(Perhatikanlah kebalikan dari subscript-nya)

Dalam kasus khusus di mana A adalah matriks persegi, transpos A bisa diperoleh dengan mempertukarkan entri yang terletak secara simetris terhadap diagonal utamanya. Pada contoh matriks berikut kita melihat bahwa \(A^T\) juga bisa diperoleh dengan “mencerminkan” A terhadap diagonal utamanya.

Gambar
Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

Jumping from failure to failure with undiminished enthusiasm is the big secret to success.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: