JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Matriks › Definisi Determinan Matriks
Matriks

Definisi Determinan Matriks

Determinan matriks mempunyai penerapan-penerapan penting dalam sistem persamaan linear dan mencari invers dari suatu matriks.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Determinan matriks mempunyai penerapan-penerapan penting dalam sistem persamaan linear dan mencari invers dari suatu matriks. Oleh karena itu, pemahaman mengenai determinan matriks ini adalah hal yang fundamental.

Dalam pelajaran matematika dasar saat sekolah menengah, kita mempelajari bahwa determinan suatu matriks berukuran 2 x 2, yaitu:

Gambar

dan determinan matriks berukuran 3 x 3, yaitu

Gambar

Teknik mencari determinan ini dikenal dengan metode Sorrus. Mungkin ada beberapa di antara kalian yang pernah bertanya darimana rumus tersebut diperoleh? Setelah Anda selesai membaca artikel ini, Anda akan bisa menjawab pertanyaaan tersebut.

Bagi yang tidak tertarik mengenai masalah pembuktian, silahkan abaikan saja tulisan berikutnya dari artikel ini karena pada dasarnya nanti kita akan sampai pada rumus yang sama dengan yang tertera di atas.

Mari kita mulai dengan mengingat kembali konsep mengenai permutasi. Dari konsep permutasi ini nanti kita akan sampai pada pengertian mengenai determinan matriks.

Permutasi

Permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, . . . , n} adalah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut.

Sebagai contoh, ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3}. Permutasi-permutasi ini adalah:

Gambar

Dari contoh ini kita lihat bahwa ada 6 permutasi dari {1, 2, 3}. Umumnya, himpunan {1, 2, 3, . . . , n} akan mempunyai

Gambar

permutasi yang berbeda. Dalam Contoh di atas, n = 3, sehingga akan mempunyai \(3! = 6\) permutasi.

Inversi (inversion)

Untuk menyatakan permutasi umum dari himpunan {1, 2, . . . , n}, maka kita akan menuliskan (j1, j2 , . . . , jn). Di sini, j1 adalah bilangan bulat pertama dalam permutasian, j2 adalah bilangan kedua, dan seterusnya. Sebuah inversi dikatakan terjadi dalam permutasi (j1, j2 , . . . , jn ) jika sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan bulat yang lebih kecil.

Jumlah inversi seluruhnya yang terjadi dalam permutasi dapat diperoleh sebagai berikut: (1) carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari j1 dan yang membawa j1 dalam permutasi tersebut; (2) carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari j2 dan yang membawa j2 dalam permutasi tersebut. Teruskanlah proses penghitungan ini untuk j3 , . . . , j(n-1). Jumlah bilangan-bilangan ini akan sama dengan jumlah inversi seluruhnya dalam permutasi tersebut.

Contoh 2: Inversi

Tentukanlah banyaknya inversi dalam permutasi-permutasi berikut: (i) (6, 1, 3, 4, 5, 2), (ii) (2, 4, 1, 4), (iii) (1, 2, 3, 4)

Pembahasan:

  1. Banyaknya inversi adalah 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8
  2. Banyaknya inversi adalah 1 + 2 + 0 = 3.
  3. Tidak ada inversi dalam permutasi ini.
Permutasi Genap dan Permutasi Ganjil

Sebuah permutasi dinamakan genap (even) jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganjil (odd) jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil.

Contoh 3:

Tabel berikut mengklasifikasikan berbagai permutasi dari \(\{1, 2, 3\}\) sebagai genap atau ganjil.

Gambar
Hasil Kali Elementer

Tinjaulah matriks A berukuran \(n×n\) berikut ini.

Gambar

Yang kita artikan sebagai hasil kali elementer A adalah setiap hasil kali n entri A, sedangkan dua di antaranya tidak boleh berasal dari baris yang sama atau dari kolom yang sama.

Contoh 4: Hasil Kali Elementer

Daftarkanlah semua hasil kali elementer dari matriks-matriks

Gambar

Pembahasan:

  1. Karena setiap hasil kali elementer mempunyai dua faktor, dan karena setiap faktor berasal dari baris yang berbeda, maka hasil kali elementer dapat dituliskan dalam bentuk
  2. Gambar

    di mana titik kosong menandakan nomor kolom. Karena tidak terdapat dua faktor dalam hasil kali tersebut berasal dari kolom yang sama, nomor kolom haruslah 1 2 atau 2 1. Maka, hasil kali elementer hanyalah \(a_{11}, a_{22}\) dan \(a_{12}, a_{21}\).

  3. karena setiap hasil kali elementer mempunyai tiga faktor, yang masing-masing berasal dari baris yang berbeda, maka hasil kali elementer dapat dituliskan dalam bentuk
  4. Gambar

    Karena tidak terdapat dua faktor dalam hasil kali tersebut berasal dari kolom yang sama, maka nomor kolom tidak mempunyai pengulangan; sebagai konsekuensinya, maka nomor kolom tersebut harus membentuk permutasi himpunan {1, 2, 3}. Di sini permutasi 3! = 6 menghasilkan daftar hasil kali elementer berikut.

    Gambar

Seperti yang ditunjukkan dalam Contoh di atas, matriks \(A\) yang berukuran \(n×n\) mempunyai \(n!\) hasil kali elementer. Hasil kali elementer tersebut adalah hasil kali yang berbentuk \(a_{{1j}_1}, a_{{2j}_2}, . . . , a_{{nj}_n}\), di mana \((j_1, j_2, . . . , j_n)\) adalah permutasi himpunan \(\{1,2,…,n\}\).

Hasil Kali Elementer Bertanda

Yang kita artikan dengan hasil kali elementer bertanda \(A\) adalah hasil kali elementer \(a_{{1j}_1}, a_{{2j}_2}, . . . , a_{{nj}_n}\) dikalikan dengan \(+1\) atau \(-1\). Kita gunakan tanda \(+\) jika \((j_1, j_2, . . . , j_n)\) adalah permutasi genap dan tanda \(–\) jika \((j_1, j_2, . . . , j_n)\) adalah permutasi ganjil.

Contoh 5: Hasil Kali Elementer Bertanda

Daftarkanlah semua hasil kali elementer bertanda dari matriks-matriks

Gambar

Pembahasan:

  1. Hasil kali elementer, permutasi terasosiasi, permutasi genap atau ganjil, dan hasil kali elementer bertanda diberikan pada tabel berikut:
  2. Gambar
  3. Hasil kali elementer, permutasi terasosiasi, permutasi genap atau ganjil, dan hasil kali elementer bertanda diberikan pada tabel berikut:
  4. Gambar

Kita sekarang sudah siap untuk mendefinisikan fungsi determinan.

Definisi determinan

Definisi: Determinasi

Misalkan \(A\) adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh \(\det\), dan kita definisikan \(\det(A)\) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari \(A\). Jumlah \(\det(A)\) kita namakan determinan \(A\).

Dengan melihat kembali ke Contoh 5, kita dapatkan

Gambar

Untuk memudahkan teman-teman dalam mengingat rumus di atas perhatikanlah ilustrasi berikut.

Gambar

Ilustrasi (a) memperlihatkan bahwa determinan matriks 2 x 2 dapat diperoleh dengan mengalikan entri-entri pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali entri-entri pada panah yang mengarah ke kiri.

Sementara pada ilustrasi (b), kita menyalin kembali kolom pertama dan kolom kedua; kemudian menyandingkannya ke sebelah kanan matriks tersebut. Determinan matriks 3 x 3 tersebut kemudian dihitung dengan menjumlahkan hasil kali pada panah-panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali pada panah-panah yang mengarah ke kiri.

Contoh 6: Menghitung Determinan

Hitunglah determinan-determinan dari matriks A berukuran 2 x 2 dan matriks B berukuran 3 x 3 berikut ini.

Gambar

Penyelesaian:

Gambar
Notasi penulisan determinan

Kita simpulkan bagian ini dengan beberapa komentar mengenai terminologi dan notasi. Pertama, kita perlihatkan bahwa simbol \(|A|\) merupakan notasi alternatif untuk \(\det(A)\). Sebagai contoh, determinan matriks 3 x 3 dapat kita tulis sebagai

Gambar

Misalkan kita punya matriks

Gambar

Maka notasi determinan dapat dituliskan sebagai

Gambar
Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

A pessimist sees the difficulty in every opportunity; an optimist sees the opportunity in every difficulty.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: