Aljabar Linear   »   Matriks   ›  Definisi Determinan Matriks

Matriks

Definisi Determinan Matriks

Determinan matriks mempunyai penerapan-penerapan penting dalam sistem persamaan linear dan mencari invers dari suatu matriks.

Determinan matriks mempunyai penerapan-penerapan penting dalam sistem persamaan linear dan mencari invers dari suatu matriks. Oleh karena itu, pemahaman mengenai determinan matriks ini adalah hal yang fundamental.

Dalam pelajaran matematika dasar saat sekolah menengah, kita mempelajari bahwa determinan suatu matriks berukuran 2 x 2, yaitu:

dan determinan matriks berukuran 3 x 3, yaitu

Teknik mencari determinan ini dikenal dengan metode Sorrus. Mungkin ada beberapa di antara kalian yang pernah bertanya darimana rumus tersebut diperoleh? Setelah Anda selesai membaca artikel ini, Anda akan bisa menjawab pertanyaaan tersebut.

Bagi yang tidak tertarik mengenai masalah pembuktian, silahkan abaikan saja tulisan berikutnya dari artikel ini karena pada dasarnya nanti kita akan sampai pada rumus yang sama dengan yang tertera di atas.

Mari kita mulai dengan mengingat kembali konsep mengenai permutasi. Dari konsep permutasi ini nanti kita akan sampai pada pengertian mengenai determinan matriks.

Permutasi

Permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, . . . , n} adalah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut.

Sebagai contoh, ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3}. Permutasi-permutasi ini adalah:

Dari contoh ini kita lihat bahwa ada 6 permutasi dari {1, 2, 3}. Umumnya, himpunan {1, 2, 3, . . . , n} akan mempunyai

permutasi yang berbeda. Dalam Contoh di atas, n = 3, sehingga akan mempunyai \(3! = 6\) permutasi.

Inversi (inversion)

Untuk menyatakan permutasi umum dari himpunan {1, 2, . . . , n}, maka kita akan menuliskan (j₁, j₂ , . . . , j_n). Di sini, j₁ adalah bilangan bulat pertama dalam permutasian, j₂ adalah bilangan kedua, dan seterusnya. Sebuah inversi dikatakan terjadi dalam permutasi (j₁, j₂ , . . . , j_n ) jika sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan bulat yang lebih kecil.

Jumlah inversi seluruhnya yang terjadi dalam permutasi dapat diperoleh sebagai berikut: (1) carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari j₁ dan yang membawa j₁ dalam permutasi tersebut; (2) carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari j₂ dan yang membawa j₂ dalam permutasi tersebut. Teruskanlah proses penghitungan ini untuk j₃ , . . . , j_(n-1). Jumlah bilangan-bilangan ini akan sama dengan jumlah inversi seluruhnya dalam permutasi tersebut.

Permutasi Genap dan Permutasi Ganjil

Sebuah permutasi dinamakan genap (even) jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganjil (odd) jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil.

Hasil Kali Elementer

Tinjaulah matriks A berukuran \(n×n\) berikut ini.

Yang kita artikan sebagai hasil kali elementer A adalah setiap hasil kali n entri A, sedangkan dua di antaranya tidak boleh berasal dari baris yang sama atau dari kolom yang sama.

Seperti yang ditunjukkan dalam Contoh di atas, matriks \(A\) yang berukuran \(n×n\) mempunyai \(n!\) hasil kali elementer. Hasil kali elementer tersebut adalah hasil kali yang berbentuk \(a_{{1j}_1}, a_{{2j}_2}, . . . , a_{{nj}_n}\), di mana \((j_1, j_2, . . . , j_n)\) adalah permutasi himpunan \(\{1,2,…,n\}\).

Hasil Kali Elementer Bertanda

Yang kita artikan dengan hasil kali elementer bertanda \(A\) adalah hasil kali elementer \(a_{{1j}_1}, a_{{2j}_2}, . . . , a_{{nj}_n}\) dikalikan dengan \(+1\) atau \(-1\). Kita gunakan tanda \(+\) jika \((j_1, j_2, . . . , j_n)\) adalah permutasi genap dan tanda \(–\) jika \((j_1, j_2, . . . , j_n)\) adalah permutasi ganjil.

Kita sekarang sudah siap untuk mendefinisikan fungsi determinan.

Definisi determinan

Dengan melihat kembali ke Contoh 5, kita dapatkan

Untuk memudahkan teman-teman dalam mengingat rumus di atas perhatikanlah ilustrasi berikut.

Ilustrasi (a) memperlihatkan bahwa determinan matriks 2 x 2 dapat diperoleh dengan mengalikan entri-entri pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali entri-entri pada panah yang mengarah ke kiri.

Sementara pada ilustrasi (b), kita menyalin kembali kolom pertama dan kolom kedua; kemudian menyandingkannya ke sebelah kanan matriks tersebut. Determinan matriks 3 x 3 tersebut kemudian dihitung dengan menjumlahkan hasil kali pada panah-panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali pada panah-panah yang mengarah ke kiri.

Notasi penulisan determinan

Kita simpulkan bagian ini dengan beberapa komentar mengenai terminologi dan notasi. Pertama, kita perlihatkan bahwa simbol \(|A|\) merupakan notasi alternatif untuk \(\det(A)\). Sebagai contoh, determinan matriks 3 x 3 dapat kita tulis sebagai

Misalkan kita punya matriks

Maka notasi determinan dapat dituliskan sebagai

Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.