Aljabar Linear   »   Nilai Eigen & Vektor Eigen   ›  Nilai Eigen dari Pangkat Matriks: Contoh Soal dan Pembahasan

Nilai Eigen dari Pangkat Matriks: Contoh Soal dan Pembahasan

Untuk mencari pangkat tinggi suatu matriks \(A^k\) khususnya untuk \(k\) yang besar, kita bisa menentukan nilai eigen dari matriks A tersebut kemudian mendiagonalisasi A.

Sering kali kita perlu menghitung pangkat yang tinggi dari suatu matriks, misalnya \(A^{10}\) atau \(A^{100}\) atau bahkan \(A^{1000}\). Untuk mempermudah penghitungan pangkat tinggi suatu matriks \(A^k\), khususnya untuk \(k\) yang besar, pertama kita bisa mencari nilai eigen dari matriks \(A\) tersebut kemudian mendiagonalisasi \(A\).

Materi diagonalisasi matriks akan kita bahas di bagian berikutnya. Sedangkan di sini kita hanya fokus mengenai bagaimana mencari nilai eigen dari pangkat suatu matriks.

Sebagai ilustrasi, misalnya \(λ\) adalah nilai eigen dari \(A\) dan eigen vektor yang bersesuaian dengan \(λ\) adalah \(x\). Maka

yang mana menunjukkan bahwa \(λ^2\) tidak hanya merupakan nilai eigen dari \(A^2\) tetapi juga \(x\) merupakan vektor eigen yang bersesuaian. Secara umum, kita mempunyai hasil berikut:

Contoh 1:

Misalkan diketahui matriks

Carilah nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks \(A^7\)!

Pembahasan:

Nilai eigen dan vektor eigen dari matriks \(A\) tersebut yaitu

Sehingga sesuai dengan teorema di atas maka nilai eigen dari matriks \(A^7\) yaitu \(λ=2^7=128\) dan \(λ=1^7=7\). Vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan \(λ=1\) dan \(λ=128\) sama dengan vektor-vektor eigen untuk matriks \(A\).

Sifat-Sifat Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.