JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Nilai Eigen & Vektor Eigen › Nilai Eigen dari Pangkat Suatu Matriks
Eigen

Nilai Eigen dari Pangkat Suatu Matriks

Untuk mencari pangkat tinggi suatu matriks \(A^k\) khususnya untuk \(k\) yang besar, kita bisa menentukan nilai eigen dari matriks A tersebut kemudian mendiagonalisasi A.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Sering kali kita perlu menghitung pangkat yang tinggi dari suatu matriks, misalnya \(A^{10}\) atau \(A^{100}\) atau bahkan \(A^{1000}\). Untuk mempermudah penghitungan pangkat tinggi suatu matriks \(A^k\), khususnya untuk \(k\) yang besar, pertama kita bisa mencari nilai eigen dari matriks \(A\) tersebut kemudian mendiagonalisasi \(A\).

Materi diagonalisasi matriks akan kita bahas di bagian berikutnya. Sedangkan di sini kita hanya fokus mengenai bagaimana mencari nilai eigen dari pangkat suatu matriks.

Sebagai ilustrasi, misalnya \(λ\) adalah nilai eigen dari \(A\) dan eigen vektor yang bersesuaian dengan \(λ\) adalah \(x\). Maka

Gambar

yang mana menunjukkan bahwa \(λ^2\) tidak hanya merupakan nilai eigen dari \(A^2\) tetapi juga \(x\) merupakan vektor eigen yang bersesuaian. Secara umum, kita mempunyai hasil berikut:

Teorema:

Jika \(k\) adalah bilangan bulat positif, \(λ\) adalah nilai eigen dari matriks \(A\), dan \(x\) adalah vektor eigen yang bersesuaian, maka \(λ^k\) adalah nilai eigen dari \(A^k\) yang bersesuaian dengan vektor eigen \(x\).

Contoh 1:

Misalkan diketahui matriks

Gambar

Carilah nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks \(A^7\)!

Pembahasan:

Nilai eigen dan vektor eigen dari matriks \(A\) tersebut yaitu

Gambar

Sehingga sesuai dengan teorema di atas maka nilai eigen dari matriks \(A^7\) yaitu \(λ=2^7=128\) dan \(λ=1^7=7\). Vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan \(λ=1\) dan \(λ=128\) sama dengan vektor-vektor eigen untuk matriks \(A\).

Sifat-Sifat Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Teorema:

Misalkan \(A\) adalah matriks bujursangkar dengan nilai eigen \(λ\) dan vektor eigen yang bersesuaian adalah \(x\).

  1. Untuk sebarang bilangan bulat positif \(n\), maka \(λ^n\) adalah nilai eigen dari \(A^n\) yang bersesuaian dengan vektor eigen \(x\).
  2. Jika \(A\) matriks yang dapat dibalik (invertible), maka \(1/λ\) adalah nilai eigen dari \(A^{-1}\) dengan vektor eigen yang bersesuaian adalah \(x\).
  3. Untuk sebarang bilangan bulat \(n\), maka \(λ^n\) adalah nilai eigen dari \(A^n\) dengan vektor eigen yang bersesuaian adalah \(x\).
Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

Sometimes you can’t see yourself clearly until you see yourself through the eyes of others.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: