JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Nilai Eigen & Vektor Eigen › Basis-Basis untuk Ruang Eigen
Eigen

Basis-Basis untuk Ruang Eigen

Secara definisi, vektor eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen \(λ\) adalah vektor taknol dalam ruang solusi dari sistem linear yang memenuhi \((λI-A)x = 0\). Ruang solusi ini disebut ruang eigen (eigenspace) dari A yang bersesuaian dengan \(λ\).


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Setelah kita mengetahui cara menemukan nilai eigen dari sebuah matriks, selanjutnya kita akan menentukan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut. Secara definisi, vektor eigen dari matriks \(A\) yang bersesuaian dengan nilai eigen \(λ\) adalah vektor taknol yang memenuhi \[ (λI-A)x = 0 \]

Jadi, kita bisa mencari vektor eigen dari matriks \(A\) yang bersesuaian dengan \(λ\) dengan mencari vektor taknol dalam ruang solusi dari sistem linear ini. Ruang solusi ini disebut ruang eigen (eigenspace) dari \(A\) yang bersesuaian dengan \(λ\).

Contoh 1: Basis untuk Ruang Eigen

Carilah basis untuk ruang eigen dari matriks

Gambar

Pembahasan:

Persamaan karakteristik dari \(A\) adalah


Gambar

sehingga nilai eigen dari \(A\) adalah \(λ=2\) dan \(λ=-3\). Oleh karena itu, terdapat dua ruang eigen dari \(A\), satu untuk masing-masing nilai eigen.

Secara definisi,

Gambar

merupakan vektor eigen dari \(A\) yang bersesuaian dengan nilai eigen \(λ\) jika dan hanya jika \((λI-A)x=0\), yaitu,

Gambar

Dalam kasus di mana \(λ=2\), persamaan ini menjadi

Gambar

yang mana solusi umumnya adalah

\[ x_1 = t, \quad x_2 = t \]

Karena ini bisa ditulis dalam bentuk matriks sebagai

Gambar

maka

Gambar

merupakan sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=2\). Dengan cara yang sama dengan di atas, maka

Gambar

merupakan sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=-3\).

Contoh 2: Vektor Eigen dan Basis untuk Ruang Eigen

Carilah basis untuk ruang eigen dari matriks

Gambar

Pembahasan:

Persamaan karakteristik dari \(A\) adalah \(λ^3-5λ^2+8λ-4=0\), atau dalam bentuk faktorial, \((λ-1)(λ-2)^2=0\). Oleh karena itu, nilai eigen yang berbeda dari \(A\) adalah \(λ=1\) dan \(λ=2\), sehingga terdapat dua ruang eigen dari \(A\).

Secara definisi,

Gambar

merupakan vektor eigen dari \(A\) yang bersesuai dengan \(λ\) jika dan hanya jika \(x\) merupakan solusi taktrivial dari \((λI-A)x=0\), atau dalam bentuk matriks

Gambar (1)

Dalam kasus di mana \(λ=2\), rumus (1) menjadi

Gambar

Menyelesaikan sistem ini menggunakan eliminasi Gaussian akan menghasilkan

Gambar

Sehingga, vektor eigen dari \(A\) yang bersesuaian dengan \(λ=2\) adalah vektor taknol dari bentuk

Gambar

Karena

Gambar

adalah bebas secara linear (linearly independent), maka vektor tersebut membentuk sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=2\).

Jika \(λ=1\), maka rumus (1) menjadi

Gambar

Menyelesaikan sistem ini akan menghasilkan

Gambar

Dengan demikian, vektor eigen yang bersesuaian dengan \(λ=1\) adalah vektor taknol dari bentuk

Gambar

Sehingga

Gambar

merupakan basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan \(λ=1\).

Prosedur Menentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Prosedur dalam menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks \(A\) berukuran \(n×n\) adalah sebagai berikut:

  1. Tentukan polinomial karakteristik \(det⁡(λI-A)=0\) dari matriks \(A\)
  2. Tentukan nilai eigen \(A\) dengan menyelesaikan persamaan karakteristik \(det⁡(λI-A)=0\) untuk \(λ\).
  3. Untuk tiap nilai eigen \(λ\), tentukan ruang-null dari matriks \((λI-A)\). Vektor tak nol yang berhubungan dengan itu merupakan vektor eigen dari \(A\).
  4. Tentukan basis untuk ruang eigen tersebut.

Teorema berikutnya menyatakan hubungan antara nilai eigen dan keterbalikan atau invers dari suatu matriks (the invertibility of a matrix).

Teorema:

Sebuah matriks persegi \(A\) adalah dapat dibalik jika dan hanya jika \(λ=0\) bukan merupakan nilai eigen dari \(A\).

Bukti:

Asumsikan bahwa \(A\) adalah matriks berukuran \(n×n\) dan perhatikanlah bahwa \(λ=0\) adalah solusi persamaan karakteristik

Gambar

jika dan hanya jika bentuk konstanta \(c_n\) adalah nol. Oleh karena itu, matriks \(A\) dapat dibalik jika dan hanya jika \(c_n≠0\).

Kita juga bisa menggunakan cara yang lain, misalnya kita tahu bahwa,

Gambar

Dengan menetapkan \(λ=0\),

Gambar

Jadi, \(det⁡(A)=0\) jika dan hanya jika \(c_n=0\), atau matriks \(A\) dapat dibalik jika dan hanya jika \(c_n≠0\)


Contoh 3: Nilai Eigen dan Keterbalikan Suatu Matriks

Matriks \(A\) dalam Contoh 2 dapat dibalik atau mempunyai invers karena nilai eigen \(λ=1\) dan \(λ=2\), bukan bernilai nol. Anda juga bisa mengecek bahwa \(det⁡(A)≠0\).

Sumber:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Artikel Terkait

You must not lose faith in humanity. Humanity is an ocean; if a few drops of the ocean are dirty, the ocean does not become dirty.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: