JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Aljabar Linear » Matriks Kebalikan Umum › Menghitung Matriks Kebalikan Umum (General Inverse)
General Inverse

Menghitung Matriks Kebalikan Umum (General Inverse)

Secara umum, terdapat dua cara atau metode untuk memperoleh matriks kebalikan umum (general inverse) yakni metode penrose dan metode full-rank.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Secara umum, terdapat dua cara atau metode untuk memperoleh matriks kebalikan umum (general inverse atau g-inverse). Kedua metode tersebut adalah metode penrose dan metode full-rank. Kita akan membahas kedua metode tersebut pada artikel ini.

Metode Penrose

Misalkan matriks \(A\) berukuran \(n×n\) dan mempunyai rank \(r\). Jika determinan \(A\) tidak sama dengan nol (\(|A| \neq 0\)), maka g-inverse dapat dicari seperti halnya saat mencari invers biasa, \(A^- = A^{-1} \). Namun, jika determinan \(A\) sama dengan nol (\(|A| = 0\)), maka g-inverse dapat dicari dengan

\[ A^- = \frac{rC_rA^T}{tr(C_rB)} \]

Cara menghitung g-inverse ini dikenal sebagai metode penrose.

Langkah-langkah menghitungnya adalah sebagai berikut:

  1. Hitung \(B = A^TA\)
  2. \(C_1=I \)
  3. \( C_{i+1} = I⋅\left(\frac{1}{i}\right)⋅tr(C_rB)-C_1B \), untuk \( i=1,2,\dots,r-1 \)
  4. \( A^- = \frac{rC_rA^T}{tr(C_rB)} \)

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan terkait langkah-langkah di atas yakni: \( C_{r+1} = 0 \) dan \( tr(C_rB) \neq 0 \).

Untuk memahami penjelasan di atas, mari kita lihat beberapa contoh kasus berikut:

Contoh 1: Kasus determinan tidak sama dengan nol

Hitung g-inverse dari matriks berikut:

Gambar

Pembahasan:

Karena \(\det(A)=1\), atau tidak sama dengan nol, maka g-inverse dari \(A = A^{-1}\). Cara mencari invers matriks ini telah kita pelajari. Dari hasil perhitungan diperoleh:

Gambar

Contoh 2: Matriks berukuran \(n×n\)

Carilah g-inverse dari matriks berikut:

Gambar

Pembahasan:

Dengan menggunakan langkah-langkah teorema di atas, kita peroleh

Langkah 1: Hitung matriks \( B= A^TA \), yakni

Gambar

Langkah 2: Cari \( C_r \), yakni

Gambar Gambar

Perhatikan bahwa kita hanya menghitung sampai \( C_3 \) karena \(r\) tidak lebih besar dari 3 (r = 3) dan \( C_3B\neq0\)

Langkah 4: Hitung g-invers

Gambar

Anda juga bisa menghitung g-inverse dari matriks berukuran \(m×n\) dengan metode penrose.

Contoh 3: Matriks berukuran \(m×n\)

Tentukan g-inverse dari matriks \(A\) berikut:

Gambar

Dengan menggunakan langkah-langkah teorema di atas, kita peroleh

Langkah 1: Hitung matriks \( B= A^TA \), yakni

Gambar

Langkah 2: Cari \( C_r \), yakni

Gambar Gambar

Perhatikan bahwa kita hanya menghitung sampai \( C_3 \) karena \(r\) tidak lebih besar dari 3 (r = 3) dan \( C_3B\neq0\)

Langkah 4: Hitung g-inverse

Gambar
Metode Full Rank

Cara lain mencari matriks kebalikan umum (g-inverse) adalah menggunakan metode full rank. Untuk dapat menerapkan metode ini, perlu pemahaman mengenai rank suatu matriks. Konsep mengenai rank telah kita pelajari di artikel lain, sehingga kita tidak perlu menjelaskannya lagi di sini. Metode ini kita nyatakan dalam teorema berikut:

Teorema:

Untuk matriks \(A\) berukuran \(m×n\) dan full rank, maka g-inverse dapat dihitung sebagai berikut:

  1. Jika nilai rank sama dengan banyaknya baris (m), maka g-invers dapat dihitung dari rumus: \[ A^- = A^T (AA^T)^{-1} \]
  2. Jika nilai rank sama dengan banyaknya kolom (n), maka g-invers dapat dihitung dari rumus: \[ A^- = (A^TA)^{-1}A^T \]

Contoh 4: Kasus rank \(= m\)

Cari g-inverse dari matriks berikut:

Gambar

Pembahasan:

Karena \(r = 2\), maka berdasarkan teorema 2 di atas g-inverse dapat dicari dengan rumus:

Gambar

Dari hasil perhitungan diperoleh

Gambar
Sistem Persamaan Linear

Teorema:

  1. Sistem persamaan linear \(Ax = g\) adalah konsisten jika dan hanya jika: \[ AA^-g = g \]
  2. Jika persamaan linear \(Ax = g\) mempunyai solusi, maka untuk setiap vektor \(h\) berukuran \(n×1\), vektor \(x\) merupakan solusi di mana: \[ x = A^-g + (I - A^-A) h \]

Contoh 5:

Tentukan apakah SPL berikut konsisten atau inkonsisten. Jika konsisten, cari vektor jawab (solusi) \(x_0 = A^-g + (I - A^-A) h\) untuk sembarang vektor \(h\) dari SPL tersebut ini.

Gambar

Pembahasan:

Jika kita tulis persamaan SPL tersebut ke dalam bentuk \(AX = g\) maka,

Gambar

Matriks \(A\) mempunyai rank = 3 yang mana sama dengan banyaknya baris matriks \(A\) sehingga metode yang digunakan adalah full rank (baris) dengan rumus:

Gambar

Dari hasil perhitungan diperoleh

Gambar

Selanjutnya, untuk membuktikan apakah persamaan di atas konsisten, anda perlu untuk membuktikan apakah \(AA^-g = g\). Jika itu terpenuhi maka persamaan SPL di atas adalah konsisten. Dari pemeriksaan diperoleh

Gambar

Jadi, terbukti bahwa \(AA^-g = g\).

Kemudian, untuk mencari solusi dari persamaan \(x_0 = A^-g + (I - A^-A) h\) dengan sembarang vektor \(h\), maka pertama anda harus memisalkan vektor \(h\) tersebut. Misalkan sembarang vektor \(h\) tersebut adalah (anda bisa menggunakan nilai sembarang vektor \(h\) lainnya):

Gambar

Sehingga,

Gambar Gambar

Dengan demikian,

Gambar
Artikel Terkait

As you know, life is an echo; we get what we give.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: